1
00:00:01,150 --> 00:00:02,679
Máme tady zadání:
2
00:00:02,679 --> 00:00:09,802
Vydělte 6 + 3i
komplexním číslem 7 - 5i.
3
00:00:09,802 --> 00:00:13,971
Máme tady tedy dělení
dvou komplexních čísel
4
00:00:14,238 --> 00:00:18,968
a jako výsledek bychom tedy chtěli
logicky dostat opět komplexní číslo,
5
00:00:18,968 --> 00:00:23,096
které bude mít reálnou
část a imaginární část.
6
00:00:23,367 --> 00:00:26,332
Zkuste si video zastavit
a zkuste si to sami.
7
00:00:26,570 --> 00:00:29,771
Pokud Vás nic nenapadá,
mám tady jeden návrh.
8
00:00:29,987 --> 00:00:32,765
Když dělíme, tak je to stejné,
9
00:00:32,765 --> 00:00:36,314
jako bychom tato dvě komplexní
čísla zapsali do zlomku.
10
00:00:36,531 --> 00:00:39,081
A to 6 + 3i do čitatele
11
00:00:39,468 --> 00:00:42,251
a 7 - 5i do jmenovatele.
12
00:00:42,545 --> 00:00:49,208
Tohleto je stejné jako
tady toto prvotní zadání.
13
00:00:49,707 --> 00:00:53,372
No, to je sice hezké, řeknete si,
ale co s tím budeme dělat dál?
14
00:00:53,561 --> 00:00:56,841
Máme to ve zlomku, to nevypadá
o moc líp než to zadání.
15
00:00:57,044 --> 00:01:00,473
Pojďme si vzpomenout na něco,
co už jsme probírali v minulých videích,
16
00:01:00,473 --> 00:01:03,707
čemu říkáme komplexně sdružené číslo.
17
00:01:03,844 --> 00:01:09,825
Chtěli bychom se ideálně zbavit tady té
imaginární jednotky ve jmenovateli,
18
00:01:09,825 --> 00:01:11,473
dostat tady reálné číslo.
19
00:01:11,473 --> 00:01:12,595
A my už víme,
20
00:01:12,595 --> 00:01:17,886
že když vynásobíme komplexní číslo číslem
k němu komplexně sdruženým,
21
00:01:17,934 --> 00:01:21,004
tak dostaneme číslo reálné.
22
00:01:21,217 --> 00:01:25,038
Takže co kdybychom
čitatele i jmenovatele
23
00:01:25,600 --> 00:01:32,174
vynásobili číslem komplexně sdruženým
k tomu komplexnímu číslu ve jmenovateli.
24
00:01:32,187 --> 00:01:35,627
Potom bychom ve jmenovateli
násobili komplexní číslo
25
00:01:35,627 --> 00:01:39,576
číslem k němu komplexně sdruženým
a dostaneme číslo reálné.
26
00:01:39,576 --> 00:01:44,376
Takže komplexně sdružené
číslo k tomuto je 7 + 5i,
27
00:01:44,492 --> 00:01:48,264
takže bychom mohli provést tuto úpravu.
28
00:01:48,337 --> 00:01:49,417
Jak už jsem řekla,
29
00:01:49,417 --> 00:01:55,139
tady z toho dole dostaneme reálné číslo
a tady toto nahoře prostě roznásobíme.
30
00:01:55,223 --> 00:02:00,693
7 + 5i lomeno 7 + 5i, to je jedna,
takže to vlastně násobíme jedničkou,
31
00:02:00,693 --> 00:02:05,410
neměníme nijak hodnotu tohoto
prvotního původního zlomku.
32
00:02:05,410 --> 00:02:09,372
Nahoře to jednoduše roznásobíme
mezi sebou tak, jak jsme zvyklí.
33
00:02:09,372 --> 00:02:15,778
6 krát 7 je 42,
6 krát +5i je 30i,
34
00:02:16,321 --> 00:02:25,428
3i krát 7 je +21i,
3i krát 5i je 15i na druhou.
35
00:02:25,428 --> 00:02:29,952
To si napíšeme tady bokem,
15i na druhou.
36
00:02:29,952 --> 00:02:32,457
My víme, že i na druhou je -1,
37
00:02:32,457 --> 00:02:38,219
takže je to vlastně jako
15 krát -1 a tedy -15.
38
00:02:38,439 --> 00:02:42,685
Takže poslední člen tady je -15.
39
00:02:42,685 --> 00:02:44,036
Jak na tom bude jmenovatel?
40
00:02:44,057 --> 00:02:48,677
Mohli bychom si všimnout, že tady
vlastně máme (a - b) krát (a + b),
41
00:02:48,677 --> 00:02:51,495
což nám potom dává
rozdíl druhých mocnin,
42
00:02:51,855 --> 00:02:55,213
ale abychom si nemuseli
pamatovat ten vzorec,
43
00:02:55,213 --> 00:02:59,464
můžeme si to zkusit roznásobit
stejně jako nahoře.
44
00:02:59,464 --> 00:03:07,481
Takže 7 krát 7 je 49,
7 krát 5i je +35i,
45
00:03:07,686 --> 00:03:16,950
-5i krát 7 je -35i,
-5i krát 5i je -25i na druhou.
46
00:03:17,765 --> 00:03:21,164
Opět si to tady napíšeme, jenom
abyste viděli, jak jsme k tomu došli.
47
00:03:21,164 --> 00:03:30,012
-25i na druhou, i na druhou je -1,
-25 krát -1 je +25.
48
00:03:30,012 --> 00:03:33,673
Takže tady poslední člen je +25.
49
00:03:34,043 --> 00:03:34,919
Výborně.
50
00:03:35,085 --> 00:03:37,823
Teď budu chtít udělat
naši klasickou úpravu,
51
00:03:37,823 --> 00:03:46,795
tedy sečíst části reálné a potom
části imaginární takto.
52
00:03:46,795 --> 00:03:58,508
Takže 42 minus 15 je 27,
+30i plus 21i je 51i.
53
00:03:58,648 --> 00:04:00,575
A co bude v tom jmenovateli.
54
00:04:00,771 --> 00:04:05,100
+35i minus 35i,
to se nám krásně vyruší.
55
00:04:05,100 --> 00:04:10,577
Zbyde nám 49 plus 25, což je 74.
56
00:04:10,951 --> 00:04:12,674
A už jsme skoro na konci.
57
00:04:12,674 --> 00:04:15,307
Jenom bych to ráda
dostala do tvaru,
58
00:04:15,307 --> 00:04:20,997
v jakém normálně vídáme
komplexní číslo, tedy a+bi.
59
00:04:20,997 --> 00:04:33,298
Takže to můžu přepsat jako
27/74 plus 51/74i.
60
00:04:33,392 --> 00:04:38,342
Jenom jsme si toto přepsali
do trochu hezčího tvaru.
61
00:04:38,394 --> 00:04:40,514
Toto je náš výsledek.
62
00:04:40,514 --> 00:04:43,179
Komplexní číslo ve tvaru a+bi,
63
00:04:43,179 --> 00:04:47,729
které jsme dostali po vydělení
tohoto komplexního čísla tímto.
64
00:04:48,246 --> 00:04:50,207
A upravili jsme to tak,
65
00:04:50,207 --> 00:04:54,871
že jsme použili číslo komplexně sdružené
k tomu číslu ve jmenovateli
66
00:04:54,871 --> 00:05:00,417
a díky tomu se nám podařilo ve
jmenovateli dostat reálné číslo
67
00:05:00,417 --> 00:05:02,948
a takto krásně to upravit.