-
Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix.
-
Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix.
-
Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes.
-
Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes.
-
Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het
-
Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het
-
heb ik eerst de andere manier uitgelegd.
-
heb ik eerst de andere manier uitgelegd.
-
Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk.
-
Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk.
-
Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe,
-
Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe
-
je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is.
-
je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is.
-
Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken.
-
Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken.
-
Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later.
-
Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later.
-
Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten.
-
Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten.
-
Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer?
-
Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer?
-
Die uit de vorige video...
-
Het was 1, 0, 1..., 0, 2, 1..., 1, 1, 1.
-
En we wilden de inverse weten van deze matrix.
Dus dat gaan we nu doen.
-
En we wilden de inverse weten van deze matrix.
Dus dat gaan we nu doen.
-
De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe je dat doet,
-
De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe ja dat doet
-
lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult
-
lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult
-
begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is.
We breiden deze matrix eerst uit.
-
begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is.
We breiden deze matrix eerst uit.
-
Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg.
Ik trek eerst een scheidslijn...
-
Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg.
Ik trek eerst een scheidslijn...
-
Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn.
-
Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn.
-
Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn.
-
Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn?
Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte.
-
Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn?
Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte.
-
Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix.
Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1.
-
Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix.
Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1.
-
Wat doen we nu?
-
Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd.
-
Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd.
-
Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn.
-
Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn.
-
Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen.
-
Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen.
-
Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de
-
Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de
-
rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix
-
rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix
-
krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids-
matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant
-
krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids-
matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant
-
de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen.
-
de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen.
-
Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm.
-
Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm.
-
Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het
-
Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het
-
zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk.
-
zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk.
-
Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt...
-
Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt...
-
Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen.
-
Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen.
-
Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd.
-
Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd.
-
Er zijn een aantal dingen die je kunt doen.
-
Er zijn een aantal dingen die je kunt doen.
-
Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan.
-
Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan.
-
Ik kan rijen met elkaar verwisselen.
-
Ik kan rijen met elkaar verwisselen.
-
En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen.
-
En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen.
-
Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij
-
Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij
-
vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld.
Je zult zo zien wat ik precies bedoel.
-
vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld.
Je zult zo zien wat ik precies bedoel.
-
En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan
-
En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan
-
dan tel ik deze rij erbij op.
-
Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen,
-
Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen,
-
dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te
-
dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te
-
geven, en dat zal ik je later ook laten zien.
Maar nu ga ik eerst een paar elementaire
-
geven, en dat zal ik je later ook laten zien.
Maar nu ga ik eerst een paar elementaire
-
rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij-
trapvorm te krijgen, oftewel we gaan de matrix
-
rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij-
trapvorm te krijgen, oftewel laten we de matrix
-
vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen?
-
vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen?
-
We willen allemaal enen op de diagonaal.
En de rest moet allemaal 0 worden.
-
We willen allemaal enen op de diagonaal.
En de rest moet allemaal 0 worden.
-
Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken?
Ik schrijf de matrix nog een keer op.
-
Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken?
Ik schrijf de matrix nog een keer op.
-
Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ...
dat zou goed uitkomen.
-
Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ...
dat zou goed uitkomen.
-
Ik laat de twee bovenste rijen nu nog ongemoeid.
-
1, 0, 1...
-
en hier mijn scheidslijn,
-
1, 0, 0,
-
hier heb ik niets mee gedaan.
Ik doe ook niets met de tweede rij.
-
hier heb ik niets mee gedaan.
Ik doe ook niets met de tweede rij.
-
0, 2, 1.
-
0, 1, 0.
-
Wat ik nu ga doen is de onderste rij vervangen door..
-
mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen.
-
mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen.
-
Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde.
-
Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde.
-
Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij.
-
Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij.
-
Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij.
-
Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij?
-
Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij?
-
Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij?
-
1 - 1 = 0
-
1 - 0 = 1
-
1 - 1 = 0
-
En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste
-
En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste
-
aftrekken. Daar gaan we.
-
0 - 1 = -1
-
0 - 0 = 0
-
1 - 0 = 1
-
oké. En wat nu?
-
oké. En wat nu?
-
Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben
-
Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben
-
in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen?
-
in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen?
-
Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen.
-
Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen.
-
Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde,
-
Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde,
-
1, 0, 1.
-
Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om.
-
Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om.
-
Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant.
-
Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant.
-
Dat wordt dus -1, 0, 1.
-
Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was...
-
Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was...
-
Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was...
-
0, 2, 1.
-
en rechts 0, 1, 0.
-
Ok. En wat doen we nu?
-
En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had...
-
En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had...
-
Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar?
-
Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar?
-
Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek?
Want 1 x 2 = 2...
-
Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek?
Want 1 x 2 = 2...
-
En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul.
Laten we dat doen.
-
En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul.
Laten we dat doen.
-
De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst.
-
De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst.
-
De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst.
-
1, 0, 1... 1, 0, 0.
-
De tweede rij blijft ook hetzelfde nu.
-1, 0, 1.
-
De tweede rij blijft ook hetzelfde nu.
-1, 0, 1.
-
Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken.
-
Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken.
-
Oké, 0 - 2 x 0 = 0,
-
2 - 2 x 1 = 0,
-
1 - 2 x 0 = 1.
-
0 - 2 x -1 = ....
-
twee keer min één,
-
dat wordt 0 - - 2, dat is 0 + 2 = 2
-
1 - 2 x 0 = 1
-
nog steeds 1 dus.
-
0 - 2 x 1 = -2
-
Dus hier nu -2.
-
Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken...
-
Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken...
-
0 - 2 x ... klopt, 2 x -1 = - 2
-
en ik trek het ervan af, dus het is plus.
-
Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
-
Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
-
Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
-
Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen?
-
Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen?
-
Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen?
-
Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0.
-
Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0.
-
Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0.
-
Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0.
-
Kom we doen het.
-
Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij.
-
Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij.
-
1 - 0 = 1
-
0 - 0 = 0
-
1 - 1 = 0
-
Dat is hoe we het willen hebben.
-
En 1 - 2 = -1,
-
0 - 1 = -1,
-
0 - -2, dat is 0 + 2 = 2
-
En de andere rijen blijven gelijk.
-
0, 1, 0... -1, 0 ,1
-
en 0, 0,1... 2, 1, -2.
-
En klaar is Kees, ehh Sal.
-
We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant.
-
We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant.
-
En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant.
-
En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant.
-
De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
-
De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
-
En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit?
-
En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit?
-
Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de
-
Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de
-
eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen.
-
eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen.
-
En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan
-
En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan
-
bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten.
-
bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten.
-
En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt.
-
En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt.
-
Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om
-
Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om
-
van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die,
-
van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die,
-
als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert.
-
als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert.
-
En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen.
-
En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen.
-
Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen.
-
Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen.
-
We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je
-
We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je
-
feitelijk met de inverse.
Wat zeg ik nu eigenlijk?
-
feitelijk met de inverse.
Wat zeg ik nu eigenlijk?
-
Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix.
-
Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix.
-
Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan
-
Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan
-
het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1],
-
het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1],
-
We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen.
-
We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen.
-
En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix.
-
En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix.
-
Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt.
-
Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt.
-
Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt.
-
Hier wisselden we de rijen om
-
Hier wisselden we de rijen om
-
Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen.
-
Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen.
-
We verwisselden rij 2 met rij 3.
-
En de volgende eliminatie matrix?
Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3.
-
En de volgende eliminatie matrix?
Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3.
-
Rij 3, kolom 2
-
Rij 3, kolom 2
-
Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie
-
Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie
-
matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1
-
matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1
-
Dus elimineerde we rij 1, kolom 3.
-
Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn.
-
Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt.
-
Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt.
-
Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een
-
Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een
-
bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die
-
bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die
-
matrices tot de eenheidsmatrix,
-
hier links.
-
Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn,
-
Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn,
-
de inverse van A.
-
Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse.
-
Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse.
-
Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse.
-
Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse.
-
Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn
-
Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn
-
en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix. deze
-
en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix, deze
-
hiermee, deze
-
daarmee, en
-
deze hiermee,
-
enzovoort..
-
Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix.
-
Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix.
-
Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen,
-
Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen,
-
het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb.
-
het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb.
-
Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig
-
Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig
-
met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix.
-
met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix.
-
met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix.
-
Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix.
-
Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix.
-
In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt.
-
In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt.
-
Ik zal laten nog wel wat meer concrete voorbeelden laten zien.
-
Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde
-
Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde
-
matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video!
-
matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video!
