0:00:00.000,0:00:00.800 Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix. 0:00:00.800,0:00:04.100 Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix. 0:00:04.100,0:00:05.770 Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes. 0:00:05.770,0:00:07.220 Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes. 0:00:07.220,0:00:09.150 Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het 0:00:09.150,0:00:11.020 Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het 0:00:11.020,0:00:12.760 heb ik eerst de andere manier uitgelegd. 0:00:12.760,0:00:14.900 heb ik eerst de andere manier uitgelegd. 0:00:14.900,0:00:16.170 Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk. 0:00:16.170,0:00:20.140 Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk. 0:00:20.140,0:00:21.310 Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe, 0:00:21.310,0:00:23.780 Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe 0:00:23.780,0:00:26.670 je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is. 0:00:26.670,0:00:28.790 je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is. 0:00:30.430,0:00:32.880 Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken. 0:00:32.880,0:00:34.380 Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken. 0:00:34.380,0:00:39.070 Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later. 0:00:39.070,0:00:41.170 Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later. 0:00:41.170,0:00:43.820 Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten. 0:00:43.820,0:00:46.550 Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten. 0:00:46.550,0:00:49.730 Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer? 0:00:49.730,0:00:51.090 Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer? 0:00:51.090,0:00:52.280 Die uit de vorige video... 0:00:52.280,0:01:03.850 Het was 1, 0, 1..., 0, 2, 1..., 1, 1, 1. 0:01:03.850,0:01:07.160 En we wilden de inverse weten van deze matrix. [br]Dus dat gaan we nu doen. 0:01:07.160,0:01:08.910 En we wilden de inverse weten van deze matrix. [br]Dus dat gaan we nu doen. 0:01:08.910,0:01:12.710 De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe je dat doet, 0:01:12.710,0:01:13.720 De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe ja dat doet 0:01:13.720,0:01:15.840 lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult 0:01:15.840,0:01:18.860 lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult 0:01:18.860,0:01:20.370 begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is.[br]We breiden deze matrix eerst uit. 0:01:20.370,0:01:22.770 begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is.[br]We breiden deze matrix eerst uit. 0:01:22.770,0:01:23.560 Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg.[br]Ik trek eerst een scheidslijn... 0:01:23.560,0:01:25.440 Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg.[br]Ik trek eerst een scheidslijn... 0:01:25.440,0:01:26.830 Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn. 0:01:26.830,0:01:28.486 Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn. 0:01:28.486,0:01:31.290 Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn. 0:01:31.290,0:01:34.080 Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn?[br]Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte. 0:01:34.080,0:01:37.640 Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn?[br]Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte. 0:01:37.640,0:01:41.140 Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix.[br]Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1. 0:01:41.140,0:01:51.600 Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix.[br]Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1. 0:01:51.600,0:01:54.870 Wat doen we nu? 0:01:54.870,0:01:58.670 Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd. 0:01:58.670,0:01:59.620 Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd. 0:01:59.620,0:02:02.940 Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn. 0:02:02.940,0:02:04.610 Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn. 0:02:04.610,0:02:07.440 Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen. 0:02:07.440,0:02:09.360 Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen. 0:02:09.360,0:02:12.690 Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de 0:02:12.690,0:02:14.150 Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de 0:02:14.150,0:02:15.830 rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix 0:02:15.830,0:02:18.690 rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix 0:02:18.690,0:02:21.320 krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids-[br]matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant 0:02:21.320,0:02:23.310 krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids-[br]matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant 0:02:23.310,0:02:26.400 de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen. 0:02:26.400,0:02:28.690 de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen. 0:02:28.690,0:02:32.680 Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm. 0:02:32.680,0:02:34.950 Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm. 0:02:34.950,0:02:36.320 Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het 0:02:36.320,0:02:39.200 Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het 0:02:39.200,0:02:41.480 zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk. 0:02:41.480,0:02:44.790 zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk. 0:02:44.790,0:02:45.180 Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt... 0:02:45.180,0:02:47.290 Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt... 0:02:47.290,0:02:49.460 Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen. 0:02:49.460,0:02:51.610 Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen. 0:02:51.610,0:02:52.280 Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd. 0:02:52.280,0:02:53.950 Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd. 0:02:53.950,0:02:55.720 Er zijn een aantal dingen die je kunt doen. 0:02:55.720,0:02:57.920 Er zijn een aantal dingen die je kunt doen. 0:02:57.920,0:03:01.970 Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan. 0:03:01.970,0:03:03.680 Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan. 0:03:03.680,0:03:04.960 Ik kan rijen met elkaar verwisselen. 0:03:04.960,0:03:08.260 Ik kan rijen met elkaar verwisselen. 0:03:08.260,0:03:10.850 En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen. 0:03:10.850,0:03:12.450 En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen. 0:03:12.450,0:03:17.410 Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij 0:03:17.410,0:03:20.590 Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij 0:03:20.590,0:03:23.790 vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld. [br]Je zult zo zien wat ik precies bedoel. 0:03:23.790,0:03:25.520 vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld. [br]Je zult zo zien wat ik precies bedoel. 0:03:25.520,0:03:27.500 En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan 0:03:27.500,0:03:29.880 En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan 0:03:29.880,0:03:32.580 dan tel ik deze rij erbij op. 0:03:32.580,0:03:36.690 Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen, 0:03:36.690,0:03:40.290 Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen, 0:03:40.290,0:03:42.510 dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te 0:03:42.510,0:03:45.990 dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te 0:03:45.990,0:03:48.130 geven, en dat zal ik je later ook laten zien. [br]Maar nu ga ik eerst een paar elementaire 0:03:48.130,0:03:51.430 geven, en dat zal ik je later ook laten zien. [br]Maar nu ga ik eerst een paar elementaire 0:03:51.430,0:03:55.100 rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij-[br]trapvorm te krijgen, oftewel we gaan de matrix 0:03:55.100,0:03:57.780 rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij-[br]trapvorm te krijgen, oftewel laten we de matrix 0:03:57.780,0:03:59.610 vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen? 0:03:59.610,0:04:00.660 vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen? 0:04:00.660,0:04:02.290 We willen allemaal enen op de diagonaal.[br]En de rest moet allemaal 0 worden. 0:04:02.290,0:04:03.750 We willen allemaal enen op de diagonaal.[br]En de rest moet allemaal 0 worden. 0:04:03.750,0:04:07.870 Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken?[br]Ik schrijf de matrix nog een keer op. 0:04:07.870,0:04:10.560 Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken?[br]Ik schrijf de matrix nog een keer op. 0:04:10.560,0:04:16.350 Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ...[br]dat zou goed uitkomen. 0:04:16.350,0:04:17.445 Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ...[br]dat zou goed uitkomen. 0:04:17.445,0:04:19.769 Ik laat de twee bovenste rijen nu nog ongemoeid. 0:04:19.769,0:04:21.209 1, 0, 1... 0:04:21.209,0:04:23.000 en hier mijn scheidslijn, 0:04:23.000,0:04:24.370 1, 0, 0, 0:04:24.370,0:04:25.450 hier heb ik niets mee gedaan.[br]Ik doe ook niets met de tweede rij. 0:04:25.450,0:04:27.000 hier heb ik niets mee gedaan.[br]Ik doe ook niets met de tweede rij. 0:04:27.000,0:04:28.875 0, 2, 1. 0:04:33.460,0:04:36.700 0, 1, 0. 0:04:36.700,0:04:40.120 Wat ik nu ga doen is de onderste rij vervangen door.. 0:04:40.120,0:04:42.260 mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen. 0:04:42.260,0:04:43.490 mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen. 0:04:43.490,0:04:46.540 Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde. 0:04:46.540,0:04:48.200 Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde. 0:04:48.200,0:04:50.080 Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij. 0:04:50.080,0:04:55.750 Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij. 0:04:55.750,0:04:57.280 Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij. 0:04:57.280,0:05:00.000 Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij? 0:05:00.000,0:05:01.630 Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij? 0:05:01.630,0:05:04.040 Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij? 0:05:04.040,0:05:07.340 1 - 1 = 0 0:05:07.340,0:05:10.670 1 - 0 = 1 0:05:10.670,0:05:13.860 1 - 1 = 0 0:05:13.860,0:05:16.150 En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste 0:05:16.150,0:05:16.900 En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste 0:05:16.900,0:05:20.300 aftrekken. Daar gaan we. 0:05:20.300,0:05:24.010 0 - 1 = -1 0:05:24.010,0:05:26.610 0 - 0 = 0 0:05:26.610,0:05:29.810 1 - 0 = 1 0:05:29.810,0:05:31.270 oké. En wat nu? 0:05:31.270,0:05:32.800 oké. En wat nu? 0:05:32.800,0:05:37.830 Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben 0:05:37.830,0:05:40.530 Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben 0:05:40.530,0:05:41.720 in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen? 0:05:41.720,0:05:43.470 in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen? 0:05:43.470,0:05:45.360 Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen. 0:05:45.360,0:05:46.740 Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen. 0:05:46.740,0:05:49.590 Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde, 0:05:49.590,0:05:50.950 Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde, 0:05:50.950,0:05:54.790 1, 0, 1. 0:05:54.790,0:05:57.760 Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om. 0:05:57.760,0:06:01.830 Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om. 0:06:01.830,0:06:05.020 Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant. 0:06:05.020,0:06:06.990 Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant. 0:06:06.990,0:06:09.520 Dat wordt dus -1, 0, 1. 0:06:09.520,0:06:12.540 Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was... 0:06:12.540,0:06:14.450 Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was... 0:06:14.450,0:06:15.450 Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was... 0:06:15.450,0:06:17.920 0, 2, 1. 0:06:17.920,0:06:21.990 en rechts 0, 1, 0. 0:06:21.990,0:06:23.160 Ok. En wat doen we nu? 0:06:23.160,0:06:24.770 En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had... 0:06:24.770,0:06:26.910 En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had... 0:06:26.910,0:06:30.070 Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar? 0:06:30.070,0:06:32.260 Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar? 0:06:32.260,0:06:37.390 Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek? [br]Want 1 x 2 = 2... 0:06:37.390,0:06:40.360 Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek? [br]Want 1 x 2 = 2... 0:06:40.360,0:06:44.920 En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul.[br]Laten we dat doen. 0:06:44.920,0:06:47.140 En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul.[br]Laten we dat doen. 0:06:47.140,0:06:50.250 De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst. 0:06:50.250,0:06:51.260 De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst. 0:06:51.260,0:06:52.580 De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst. 0:06:52.580,0:06:58.670 1, 0, 1... 1, 0, 0. 0:06:58.670,0:07:02.120 De tweede rij blijft ook hetzelfde nu.[br]-1, 0, 1. 0:07:02.120,0:07:05.430 De tweede rij blijft ook hetzelfde nu.[br]-1, 0, 1. 0:07:05.430,0:07:07.110 Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken. 0:07:07.110,0:07:13.240 Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken. 0:07:13.240,0:07:18.960 Oké, 0 - 2 x 0 = 0, 0:07:18.960,0:07:23.990 2 - 2 x 1 = 0, 0:07:23.990,0:07:29.150 1 - 2 x 0 = 1. 0:07:29.150,0:07:38.210 0 - 2 x -1 = .... 0:07:38.210,0:07:39.880 twee keer min één, 0:07:39.880,0:07:44.520 dat wordt 0 - - 2, dat is 0 + 2 = 2 0:07:44.520,0:07:47.970 1 - 2 x 0 = 1 0:07:47.970,0:07:49.810 nog steeds 1 dus. 0:07:49.810,0:07:53.240 0 - 2 x 1 = -2 0:07:53.240,0:07:54.490 Dus hier nu -2. 0:07:57.190,0:07:58.130 Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken... 0:07:58.130,0:07:58.810 Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken... 0:07:58.810,0:08:04.800 0 - 2 x ... klopt, 2 x -1 = - 2 0:08:04.800,0:08:06.910 en ik trek het ervan af, dus het is plus. 0:08:06.910,0:08:08.150 Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 0:08:08.150,0:08:11.140 Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 0:08:11.140,0:08:11.680 Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 0:08:11.680,0:08:12.950 Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen? 0:08:12.950,0:08:16.740 Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen? 0:08:16.740,0:08:18.450 Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen? 0:08:18.450,0:08:23.170 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 0:08:23.170,0:08:24.060 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 0:08:24.060,0:08:25.480 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 0:08:25.480,0:08:26.550 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 0:08:26.550,0:08:27.790 Kom we doen het. 0:08:27.790,0:08:29.720 Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij. 0:08:29.720,0:08:31.790 Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij. 0:08:31.790,0:08:35.570 1 - 0 = 1 0:08:35.570,0:08:38.659 0 - 0 = 0 0:08:38.659,0:08:41.000 1 - 1 = 0 0:08:41.000,0:08:43.559 Dat is hoe we het willen hebben. 0:08:43.559,0:08:48.000 En 1 - 2 = -1, 0:08:48.000,0:08:53.490 0 - 1 = -1, 0:08:53.490,0:08:58.950 0 - -2, dat is 0 + 2 = 2 0:08:58.950,0:09:02.460 En de andere rijen blijven gelijk. 0:09:02.460,0:09:07.590 0, 1, 0... -1, 0 ,1 0:09:07.590,0:09:15.550 en 0, 0,1... 2, 1, -2. 0:09:15.550,0:09:16.640 En klaar is Kees, ehh Sal. 0:09:16.640,0:09:18.650 We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant. 0:09:18.650,0:09:19.720 We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant. 0:09:19.720,0:09:21.380 En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant. 0:09:21.380,0:09:22.960 En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant. 0:09:22.960,0:09:25.670 De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 0:09:25.670,0:09:27.410 De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 0:09:27.410,0:09:30.530 En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit? 0:09:30.530,0:09:32.180 En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit? 0:09:32.180,0:09:36.570 Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de 0:09:36.570,0:09:38.960 Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de 0:09:38.960,0:09:46.750 eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen. 0:09:46.750,0:09:47.580 eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen. 0:09:47.580,0:09:49.700 En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan 0:09:49.700,0:09:53.260 En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan 0:09:53.260,0:09:56.310 bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten. 0:09:56.310,0:09:58.110 bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten. 0:09:58.110,0:09:59.990 En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt. 0:09:59.990,0:10:01.420 En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt. 0:10:01.420,0:10:06.910 Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om 0:10:06.910,0:10:10.570 Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om 0:10:10.570,0:10:12.370 van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die, 0:10:12.370,0:10:14.500 van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die, 0:10:14.500,0:10:16.240 als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert. 0:10:16.240,0:10:17.670 als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert. 0:10:17.670,0:10:20.250 En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen. 0:10:20.250,0:10:21.550 En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen. 0:10:21.550,0:10:24.250 Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen. 0:10:24.250,0:10:26.440 Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen. 0:10:26.440,0:10:28.500 We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je 0:10:28.500,0:10:31.410 We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je 0:10:31.410,0:10:34.070 feitelijk met de inverse.[br]Wat zeg ik nu eigenlijk? 0:10:34.070,0:10:35.590 feitelijk met de inverse.[br]Wat zeg ik nu eigenlijk? 0:10:35.590,0:10:43.470 Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix. 0:10:43.470,0:10:47.300 Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix. 0:10:47.300,0:10:49.630 Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan 0:10:49.630,0:10:51.990 Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan 0:10:51.990,0:10:55.250 het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1], 0:10:55.250,0:10:58.470 het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1], 0:10:58.470,0:11:01.120 We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen. 0:11:01.120,0:11:03.670 We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen. 0:11:03.670,0:11:05.740 En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix. 0:11:05.740,0:11:07.220 En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix. 0:11:07.220,0:11:07.970 Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt. 0:11:07.970,0:11:09.160 Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt. 0:11:09.160,0:11:10.940 Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt. 0:11:10.940,0:11:12.830 Hier wisselden we de rijen om 0:11:12.830,0:11:16.150 Hier wisselden we de rijen om 0:11:16.150,0:11:17.070 Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen. 0:11:17.070,0:11:21.240 Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen. 0:11:21.240,0:11:24.730 We verwisselden rij 2 met rij 3. 0:11:24.730,0:11:28.830 En de volgende eliminatie matrix?[br]Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3. 0:11:28.830,0:11:31.110 En de volgende eliminatie matrix?[br]Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3. 0:11:31.110,0:11:34.030 Rij 3, kolom 2 0:11:34.030,0:11:36.270 Rij 3, kolom 2 0:11:36.270,0:11:39.320 Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie 0:11:39.320,0:11:40.470 Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie 0:11:40.470,0:11:41.740 matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1 0:11:41.740,0:11:44.220 matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1 0:11:44.220,0:11:47.200 Dus elimineerde we rij 1, kolom 3. 0:11:47.200,0:11:49.590 Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. 0:11:49.590,0:11:51.420 Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt. 0:11:51.420,0:11:53.210 Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt. 0:11:53.210,0:11:55.530 Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een 0:11:55.530,0:11:58.600 Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een 0:11:58.600,0:12:01.040 bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die 0:12:01.040,0:12:03.510 bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die 0:12:03.510,0:12:06.760 matrices tot de eenheidsmatrix, 0:12:06.760,0:12:07.930 hier links. 0:12:07.930,0:12:11.450 Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn, 0:12:11.450,0:12:13.600 Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn, 0:12:13.600,0:12:15.370 de inverse van A. 0:12:15.370,0:12:18.420 Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse. 0:12:18.420,0:12:22.420 Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse. 0:12:22.420,0:12:23.680 Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse. 0:12:23.680,0:12:26.130 Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse. 0:12:26.130,0:12:28.630 Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn 0:12:28.630,0:12:31.780 Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn 0:12:31.780,0:12:36.400 en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix. deze 0:12:36.400,0:12:40.620 en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix, deze 0:12:40.620,0:12:41.270 hiermee, deze 0:12:41.270,0:12:42.970 daarmee, en 0:12:42.970,0:12:44.510 deze hiermee, 0:12:44.510,0:12:45.360 enzovoort.. 0:12:45.360,0:12:48.870 Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix. 0:12:48.870,0:12:53.050 Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix. 0:12:53.050,0:12:55.520 Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen, 0:12:55.520,0:12:56.470 Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen, 0:12:56.470,0:12:57.910 het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb. 0:12:57.910,0:13:00.370 het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb. 0:13:00.370,0:13:03.500 Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig 0:13:03.500,0:13:07.800 Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig 0:13:07.800,0:13:10.450 met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix. 0:13:10.450,0:13:13.080 met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix. 0:13:13.080,0:13:14.300 met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix. 0:13:14.300,0:13:16.740 Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix. 0:13:16.740,0:13:19.130 Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix. 0:13:19.130,0:13:20.990 In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt. 0:13:20.990,0:13:22.410 In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt. 0:13:22.410,0:13:25.130 Ik zal laten nog wel wat meer concrete voorbeelden laten zien. 0:13:25.130,0:13:27.850 Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde 0:13:27.850,0:13:30.115 Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde 0:13:30.115,0:13:32.540 matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video! 0:13:32.540,0:13:35.290 matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video!