Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix.
Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes.
Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het
heb ik eerst de andere manier uitgelegd.
Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk.
Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe,
Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe
je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is.
Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken.
Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later.
Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten.
Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer?
Die uit de vorige video...
Het was 1, 0, 1..., 0, 2, 1..., 1, 1, 1.
En we wilden de inverse weten van deze matrix. Dus dat gaan we nu doen.
De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe je dat doet,
De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe ja dat doet
lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult
begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is. We breiden deze matrix eerst uit.
Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg. Ik trek eerst een scheidslijn...
Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn.
Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn? Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte.
Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix. Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1.
Wat doen we nu?
Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd.
Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn.
Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen.
Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de
rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix
krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids- matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant
de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen.
Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm.
Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het
zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk.
Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt...
Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen.
Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd.
Er zijn een aantal dingen die je kunt doen.
Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan.
Ik kan rijen met elkaar verwisselen.
En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen.
Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij
vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld. Je zult zo zien wat ik precies bedoel.
En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan
dan tel ik deze rij erbij op.
Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen,
dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te
geven, en dat zal ik je later ook laten zien. Maar nu ga ik eerst een paar elementaire
rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij- trapvorm te krijgen, oftewel we gaan de matrix
rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij- trapvorm te krijgen, oftewel laten we de matrix
vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen?
We willen allemaal enen op de diagonaal. En de rest moet allemaal 0 worden.
Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken? Ik schrijf de matrix nog een keer op.
Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ... dat zou goed uitkomen.
Ik laat de twee bovenste rijen nu nog ongemoeid.
1, 0, 1...
en hier mijn scheidslijn,
1, 0, 0,
hier heb ik niets mee gedaan. Ik doe ook niets met de tweede rij.
0, 2, 1.
0, 1, 0.
Wat ik nu ga doen is de onderste rij vervangen door..
mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen.
Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde.
Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij.
Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij?
1 - 1 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste
aftrekken. Daar gaan we.
0 - 1 = -1
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
oké. En wat nu?
Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben
in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen?
Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen.
Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde,
1, 0, 1.
Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om.
Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant.
Dat wordt dus -1, 0, 1.
Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was...
0, 2, 1.
en rechts 0, 1, 0.
Ok. En wat doen we nu?
En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had...
Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar?
Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek? Want 1 x 2 = 2...
En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul. Laten we dat doen.
De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst.
1, 0, 1... 1, 0, 0.
De tweede rij blijft ook hetzelfde nu. -1, 0, 1.
Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken.
Oké, 0 - 2 x 0 = 0,
2 - 2 x 1 = 0,
1 - 2 x 0 = 1.
0 - 2 x -1 = ....
twee keer min één,
dat wordt 0 - - 2, dat is 0 + 2 = 2
1 - 2 x 0 = 1
nog steeds 1 dus.
0 - 2 x 1 = -2
Dus hier nu -2.
Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken...
0 - 2 x ... klopt, 2 x -1 = - 2
en ik trek het ervan af, dus het is plus.
Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen?
Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0.
Kom we doen het.
Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij.
1 - 0 = 1
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0
Dat is hoe we het willen hebben.
En 1 - 2 = -1,
0 - 1 = -1,
0 - -2, dat is 0 + 2 = 2
En de andere rijen blijven gelijk.
0, 1, 0... -1, 0 ,1
en 0, 0,1... 2, 1, -2.
En klaar is Kees, ehh Sal.
We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant.
En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant.
De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm.
En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit?
Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de
eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen.
En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan
bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten.
En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt.
Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om
van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die,
als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert.
En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen.
Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen.
We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je
feitelijk met de inverse. Wat zeg ik nu eigenlijk?
Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix.
Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan
het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1],
We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen.
En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix.
Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt.
Hier wisselden we de rijen om
Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen.
We verwisselden rij 2 met rij 3.
En de volgende eliminatie matrix? Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3.
Rij 3, kolom 2
Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie
matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1
Dus elimineerde we rij 1, kolom 3.
Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn.
Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt.
Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een
bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die
matrices tot de eenheidsmatrix,
hier links.
Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn,
de inverse van A.
Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse.
Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse.
Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn
en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix. deze
en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix, deze
hiermee, deze
daarmee, en
deze hiermee,
enzovoort..
Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix.
Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen,
het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb.
Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig
met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix.
Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix.
In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt.
Ik zal laten nog wel wat meer concrete voorbeelden laten zien.
Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde
matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video!