1 00:00:00,000 --> 00:00:00,800 Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix. 2 00:00:00,800 --> 00:00:04,100 Ik ga jullie nu mijn favoriete manier laten zien om de inverse van een 3 bij 3 matrix. 3 00:00:04,100 --> 00:00:05,770 Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes. 4 00:00:05,770 --> 00:00:07,220 Ik vind deze manier echt veel leuker, en je hebt ook minder kans op foutjes. 5 00:00:07,220 --> 00:00:09,150 Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het 6 00:00:09,150 --> 00:00:11,020 Maar dit is volgens mij niet de manier waarop je het leert bij Algebra 2 geloof ik, en daarom heb ik het 7 00:00:11,020 --> 00:00:12,760 heb ik eerst de andere manier uitgelegd. 8 00:00:12,760 --> 00:00:14,900 heb ik eerst de andere manier uitgelegd. 9 00:00:14,900 --> 00:00:16,170 Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk. 10 00:00:16,170 --> 00:00:20,140 Ik laat je nu zien hoe het werkt, en in een volgende video leg ik uit waarom, want dat is ook belangrijk. 11 00:00:20,140 --> 00:00:21,310 Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe, 12 00:00:21,310 --> 00:00:23,780 Dit is één van de weinige onderwerpen in de lineaire algebra waarvan ik denk dat je eerst moet weten hoe 13 00:00:23,780 --> 00:00:26,670 je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is. 14 00:00:26,670 --> 00:00:28,790 je het doet, en daarna pas waarom je het doet. Dit omdat het erg 'mechanisch' werkje is. 15 00:00:30,430 --> 00:00:32,880 Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken. 16 00:00:32,880 --> 00:00:34,380 Om de klus te klaren hoef je eigenlijk alleen maar simpele rekensommetjes te maken. 17 00:00:34,380 --> 00:00:39,070 Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later. 18 00:00:39,070 --> 00:00:41,170 Maar het waarom ervan gaat best diep, dus dat bewaren we nog even voor later. 19 00:00:41,170 --> 00:00:43,820 Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten. 20 00:00:43,820 --> 00:00:46,550 Vaak kun je juist dieper nadenken over dingen waarvan je goed weet hoe ze moeten. 21 00:00:46,550 --> 00:00:49,730 Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer? 22 00:00:49,730 --> 00:00:51,090 Ok, laten we nu terugggaan naar onze matrix. Wat was de originele matrix ook al weer? 23 00:00:51,090 --> 00:00:52,280 Die uit de vorige video... 24 00:00:52,280 --> 00:01:03,850 Het was 1, 0, 1..., 0, 2, 1..., 1, 1, 1. 25 00:01:03,850 --> 00:01:07,160 En we wilden de inverse weten van deze matrix. Dus dat gaan we nu doen. 26 00:01:07,160 --> 00:01:08,910 En we wilden de inverse weten van deze matrix. Dus dat gaan we nu doen. 27 00:01:08,910 --> 00:01:12,710 De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe je dat doet, 28 00:01:12,710 --> 00:01:13,720 De manier waarop we nu inverse gaan bepalen, heet Gauss-Jordan eliminatie. En hoe ja dat doet 29 00:01:13,720 --> 00:01:15,840 lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult 30 00:01:15,840 --> 00:01:18,860 lijkt misschien een beetje op toveren, of voodoo met cijfers, maar ik denk dat je in latere video's zult 31 00:01:18,860 --> 00:01:20,370 begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is. We breiden deze matrix eerst uit. 32 00:01:20,370 --> 00:01:22,770 begrijpen dat het eigenlijk heel logisch is. We breiden deze matrix eerst uit. 33 00:01:22,770 --> 00:01:23,560 Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg. Ik trek eerst een scheidslijn... 34 00:01:23,560 --> 00:01:25,440 Ik bedoel daarmee dat ik er iets aan toevoeg. Ik trek eerst een scheidslijn... 35 00:01:25,440 --> 00:01:26,830 Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn. 36 00:01:26,830 --> 00:01:28,486 Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn. 37 00:01:28,486 --> 00:01:31,290 Dat hoeft niet persé, sommige mensen doen dat niet, maar ik doe dat wel. Ik teken een scheidslijn. 38 00:01:31,290 --> 00:01:34,080 Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn? Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte. 39 00:01:34,080 --> 00:01:37,640 Wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn? Ik zet daar de eenheidsmatrix van dezelfde grootte. 40 00:01:37,640 --> 00:01:41,140 Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix. Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1. 41 00:01:41,140 --> 00:01:51,600 Dit is een 3 bij 3, dus een 3 bij 3 eenheidsmatrix. Dat is dus 1, 0, 0 ... 0, 1, 0... 0, 0, 1. 42 00:01:51,600 --> 00:01:54,870 Wat doen we nu? 43 00:01:54,870 --> 00:01:58,670 Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd. 44 00:01:58,670 --> 00:01:59,620 Ik ga een serie elementaire rij-operaties uitvoeren, ook wel 'de matrix vegen' genoemd. 45 00:01:59,620 --> 00:02:02,940 Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn. 46 00:02:02,940 --> 00:02:04,610 Ik zal je eerst vertellen wat geldige elementaire rij-operaties op deze matrix zijn. 47 00:02:04,610 --> 00:02:07,440 Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen. 48 00:02:07,440 --> 00:02:09,360 Alles wat ik doe met de rijen links, moet ik ook met de corresponderende rijen rechts doen. 49 00:02:09,360 --> 00:02:12,690 Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de 50 00:02:12,690 --> 00:02:14,150 Mijn doel is om een aantal bewerkingen uit te voeren op de linker matrix, die dan uiteraard ook op de 51 00:02:14,150 --> 00:02:15,830 rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix 52 00:02:15,830 --> 00:02:18,690 rechter moeten worden uitgevoerd, zodat we uiteindelijk aan de linkerkant de eenheidsmatrix 53 00:02:18,690 --> 00:02:21,320 krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids- matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant 54 00:02:21,320 --> 00:02:23,310 krijgen. En als we aan de linkerkant de eenheids- matrix hebben, dan zullen we aan de rechterkant 55 00:02:23,310 --> 00:02:26,400 de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen. 56 00:02:26,400 --> 00:02:28,690 de inverse hebben van de originele matrix waarmee we begonnen. 57 00:02:28,690 --> 00:02:32,680 Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm. 58 00:02:32,680 --> 00:02:34,950 Als dit een eenheidsmatrix wordt, dan noemen we dat overigens een matrix in rij-trapvorm. 59 00:02:34,950 --> 00:02:36,320 Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het 60 00:02:36,320 --> 00:02:39,200 Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn heel wat namen en labels in de lineaire algebra. Maar het 61 00:02:39,200 --> 00:02:41,480 zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk. 62 00:02:41,480 --> 00:02:44,790 zijn eigenlijk redelijke simpele concepten. Laten we het nu gewoon gaan doen, dan wordt alles duidelijk. 63 00:02:44,790 --> 00:02:45,180 Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt... 64 00:02:45,180 --> 00:02:47,290 Het veegproces zal in elk geval duidelijk worden. Alleen misschien nog niet waarom het werkt... 65 00:02:47,290 --> 00:02:49,460 Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen. 66 00:02:49,460 --> 00:02:51,610 Ik zei dus dat ik in de eerste plaats een aantal eenvoudige bewerkingen zou doen. 67 00:02:51,610 --> 00:02:52,280 Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd. 68 00:02:52,280 --> 00:02:53,950 Wat zijn de toegestane bewerkingen? Ze worden elementaire rij-operaties genoemd. 69 00:02:53,950 --> 00:02:55,720 Er zijn een aantal dingen die je kunt doen. 70 00:02:55,720 --> 00:02:57,920 Er zijn een aantal dingen die je kunt doen. 71 00:02:57,920 --> 00:03:01,970 Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan. 72 00:03:01,970 --> 00:03:03,680 Ik kan een rij vermenigvuldigen met een willekeurig getal. Dat is toegestaan. 73 00:03:03,680 --> 00:03:04,960 Ik kan rijen met elkaar verwisselen. 74 00:03:04,960 --> 00:03:08,260 Ik kan rijen met elkaar verwisselen. 75 00:03:08,260 --> 00:03:10,850 En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen. 76 00:03:10,850 --> 00:03:12,450 En als ik dat hier doe, bijvoorbeeld de 1e en de 2e rij, dan moet ik dat daar ook doen. 77 00:03:12,450 --> 00:03:17,410 Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij 78 00:03:17,410 --> 00:03:20,590 Ik kan ook de ene rij bij de andere rij optellen, of juist ervan aftrekken. Ik kan bijvoorbeeld deze rij 79 00:03:20,590 --> 00:03:23,790 vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld. Je zult zo zien wat ik precies bedoel. 80 00:03:23,790 --> 00:03:25,520 vervangen door deze rij met die rij erbij opgeteld. Je zult zo zien wat ik precies bedoel. 81 00:03:25,520 --> 00:03:27,500 En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan 82 00:03:27,500 --> 00:03:29,880 En als je het combineert, dan kun je bijvoorbeeld zeggen: ik neem deze rij keer min één, en dan 83 00:03:29,880 --> 00:03:32,580 dan tel ik deze rij erbij op. 84 00:03:32,580 --> 00:03:36,690 Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen, 85 00:03:36,690 --> 00:03:40,290 Dus als je nu denkt: hé dit lijkt een beetje op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen, 86 00:03:40,290 --> 00:03:42,510 dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te 87 00:03:42,510 --> 00:03:45,990 dan is dat geen toeval! Want matrices zijn eigenlijk een hele goede manier om zulke stelsels weer te 88 00:03:45,990 --> 00:03:48,130 geven, en dat zal ik je later ook laten zien. Maar nu ga ik eerst een paar elementaire 89 00:03:48,130 --> 00:03:51,430 geven, en dat zal ik je later ook laten zien. Maar nu ga ik eerst een paar elementaire 90 00:03:51,430 --> 00:03:55,100 rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij- trapvorm te krijgen, oftewel we gaan de matrix 91 00:03:55,100 --> 00:03:57,780 rij-operaties uitvoeren om de linker matrix in rij- trapvorm te krijgen, oftewel laten we de matrix 92 00:03:57,780 --> 00:03:59,610 vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen? 93 00:03:59,610 --> 00:04:00,660 vegen, totdat deze in de eenheidsmatrix is veranderd. Dus wat zullen we als eerste doen? 94 00:04:00,660 --> 00:04:02,290 We willen allemaal enen op de diagonaal. En de rest moet allemaal 0 worden. 95 00:04:02,290 --> 00:04:03,750 We willen allemaal enen op de diagonaal. En de rest moet allemaal 0 worden. 96 00:04:03,750 --> 00:04:07,870 Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken? Ik schrijf de matrix nog een keer op. 97 00:04:07,870 --> 00:04:10,560 Hoe kunnen we dat efficiënt aanpakken? Ik schrijf de matrix nog een keer op. 98 00:04:10,560 --> 00:04:16,350 Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ... dat zou goed uitkomen. 99 00:04:16,350 --> 00:04:17,445 Als we hier nu eens een nul van kunnen maken ... dat zou goed uitkomen. 100 00:04:17,445 --> 00:04:19,769 Ik laat de twee bovenste rijen nu nog ongemoeid. 101 00:04:19,769 --> 00:04:21,209 1, 0, 1... 102 00:04:21,209 --> 00:04:23,000 en hier mijn scheidslijn, 103 00:04:23,000 --> 00:04:24,370 1, 0, 0, 104 00:04:24,370 --> 00:04:25,450 hier heb ik niets mee gedaan. Ik doe ook niets met de tweede rij. 105 00:04:25,450 --> 00:04:27,000 hier heb ik niets mee gedaan. Ik doe ook niets met de tweede rij. 106 00:04:27,000 --> 00:04:28,875 0, 2, 1. 107 00:04:33,460 --> 00:04:36,700 0, 1, 0. 108 00:04:36,700 --> 00:04:40,120 Wat ik nu ga doen is de onderste rij vervangen door.. 109 00:04:40,120 --> 00:04:42,260 mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen. 110 00:04:42,260 --> 00:04:43,490 mijn doel is dus, laat dat duidelijk zijn, om hier een nul te krijgen. 111 00:04:43,490 --> 00:04:46,540 Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde. 112 00:04:46,540 --> 00:04:48,200 Zodat ik een stapje dichter ben bij de eenheidsmatrix aan de linkerzijde. 113 00:04:48,200 --> 00:04:50,080 Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij. 114 00:04:50,080 --> 00:04:55,750 Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij. 115 00:04:55,750 --> 00:04:57,280 Hoe krijg ik hier een 0? Ik zou deze rij kunnen vervangen door deze rij min de bovenste rij. 116 00:04:57,280 --> 00:05:00,000 Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij? 117 00:05:00,000 --> 00:05:01,630 Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij? 118 00:05:01,630 --> 00:05:04,040 Ik vervang dus de derde rij door de derde rij min de eerste rij. Wat is de derde min de eerste rij? 119 00:05:04,040 --> 00:05:07,340 1 - 1 = 0 120 00:05:07,340 --> 00:05:10,670 1 - 0 = 1 121 00:05:10,670 --> 00:05:13,860 1 - 1 = 0 122 00:05:13,860 --> 00:05:16,150 En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste 123 00:05:16,150 --> 00:05:16,900 En wat we links hebben gedaan, moeten we ook rechts doen, dus moet ik van deze rij ook de eerste 124 00:05:16,900 --> 00:05:20,300 aftrekken. Daar gaan we. 125 00:05:20,300 --> 00:05:24,010 0 - 1 = -1 126 00:05:24,010 --> 00:05:26,610 0 - 0 = 0 127 00:05:26,610 --> 00:05:29,810 1 - 0 = 1 128 00:05:29,810 --> 00:05:31,270 oké. En wat nu? 129 00:05:31,270 --> 00:05:32,800 oké. En wat nu? 130 00:05:32,800 --> 00:05:37,830 Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben 131 00:05:37,830 --> 00:05:40,530 Kijk de onderste rij hier, heeft 0 - 1 - 0, dat lijkt verdacht veel op wat ik op de tweede rij wil hebben 132 00:05:40,530 --> 00:05:41,720 in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen? 133 00:05:41,720 --> 00:05:43,470 in mijn eenheidsmatrix. Dus zullen we deze twee rijen gewoon omruilen? 134 00:05:43,470 --> 00:05:45,360 Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen. 135 00:05:45,360 --> 00:05:46,740 Zullen we de 2e en de 3e rij met elkaar verwisselen? Laten we dat doen. 136 00:05:46,740 --> 00:05:49,590 Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde, 137 00:05:49,590 --> 00:05:50,950 Ik ga de tweede en de derde rij verwisselen, dus de eerste blijft hetzelfde, 138 00:05:50,950 --> 00:05:54,790 1, 0, 1. 139 00:05:54,790 --> 00:05:57,760 Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om. 140 00:05:57,760 --> 00:06:01,830 Ook aan de andere kant. En ik ruil de tweede en de derde om. 141 00:06:01,830 --> 00:06:05,020 Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant. 142 00:06:05,020 --> 00:06:06,990 Mijn tweede rij wordt nu dus 0, 1, 0. En dan doe ik dus ook aan de rechterkant. 143 00:06:06,990 --> 00:06:09,520 Dat wordt dus -1, 0, 1. 144 00:06:09,520 --> 00:06:12,540 Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was... 145 00:06:12,540 --> 00:06:14,450 Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was... 146 00:06:14,450 --> 00:06:15,450 Ik verwissel ze alleen maar. Dus de derde rij wordt nu wat eerst de tweede rij was... 147 00:06:15,450 --> 00:06:17,920 0, 2, 1. 148 00:06:17,920 --> 00:06:21,990 en rechts 0, 1, 0. 149 00:06:21,990 --> 00:06:23,160 Ok. En wat doen we nu? 150 00:06:23,160 --> 00:06:24,770 En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had... 151 00:06:24,770 --> 00:06:26,910 En wat doen we nu? Het zou leuk zijn als ik hier een nul had... 152 00:06:26,910 --> 00:06:30,070 Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar? 153 00:06:30,070 --> 00:06:32,260 Dan zou ik weer een stap dichter bij de eenheidsmatrix zijn. Dus hoe krijg ik dat voor elkaar? 154 00:06:32,260 --> 00:06:37,390 Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek? Want 1 x 2 = 2... 155 00:06:37,390 --> 00:06:40,360 Als ik nu eens 2x rij twee van rij drie aftrek? Want 1 x 2 = 2... 156 00:06:40,360 --> 00:06:44,920 En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul. Laten we dat doen. 157 00:06:44,920 --> 00:06:47,140 En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een nul. Laten we dat doen. 158 00:06:47,140 --> 00:06:50,250 De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst. 159 00:06:50,250 --> 00:06:51,260 De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst. 160 00:06:51,260 --> 00:06:52,580 De eerste rij heeft tot nu toe mazzel gehad. Er is niets mee gebeurd. Die is nog net zo als eerst. 161 00:06:52,580 --> 00:06:58,670 1, 0, 1... 1, 0, 0. 162 00:06:58,670 --> 00:07:02,120 De tweede rij blijft ook hetzelfde nu. -1, 0, 1. 163 00:07:02,120 --> 00:07:05,430 De tweede rij blijft ook hetzelfde nu. -1, 0, 1. 164 00:07:05,430 --> 00:07:07,110 Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken. 165 00:07:07,110 --> 00:07:13,240 Wat ging ik ookal weer doen? Ik ga 2x de tweede rij van de derde aftrekken. 166 00:07:13,240 --> 00:07:18,960 Oké, 0 - 2 x 0 = 0, 167 00:07:18,960 --> 00:07:23,990 2 - 2 x 1 = 0, 168 00:07:23,990 --> 00:07:29,150 1 - 2 x 0 = 1. 169 00:07:29,150 --> 00:07:38,210 0 - 2 x -1 = .... 170 00:07:38,210 --> 00:07:39,880 twee keer min één, 171 00:07:39,880 --> 00:07:44,520 dat wordt 0 - - 2, dat is 0 + 2 = 2 172 00:07:44,520 --> 00:07:47,970 1 - 2 x 0 = 1 173 00:07:47,970 --> 00:07:49,810 nog steeds 1 dus. 174 00:07:49,810 --> 00:07:53,240 0 - 2 x 1 = -2 175 00:07:53,240 --> 00:07:54,490 Dus hier nu -2. 176 00:07:57,190 --> 00:07:58,130 Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken... 177 00:07:58,130 --> 00:07:58,810 Heb ik alles goed gedaan? Voor de zekerheid even nakijken... 178 00:07:58,810 --> 00:08:04,800 0 - 2 x ... klopt, 2 x -1 = - 2 179 00:08:04,800 --> 00:08:06,910 en ik trek het ervan af, dus het is plus. 180 00:08:06,910 --> 00:08:08,150 Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 181 00:08:08,150 --> 00:08:11,140 Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 182 00:08:11,140 --> 00:08:11,680 Ok, ik ben er bijna! Dit lijkt al heel erg veel op een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 183 00:08:11,680 --> 00:08:12,950 Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen? 184 00:08:12,950 --> 00:08:16,740 Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen? 185 00:08:16,740 --> 00:08:18,450 Behalve die 1 hier. Dus nu ga ik met de bovenste rij aan de slag. Wat kan ik doen? 186 00:08:18,450 --> 00:08:23,170 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 187 00:08:23,170 --> 00:08:24,060 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 188 00:08:24,060 --> 00:08:25,480 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 189 00:08:25,480 --> 00:08:26,550 Ik veeg de bovenste rij door de onderste rij ervan af te trekken. Als ik dat doe, dan krijg ik hier een 0. 190 00:08:26,550 --> 00:08:27,790 Kom we doen het. 191 00:08:27,790 --> 00:08:29,720 Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij. 192 00:08:29,720 --> 00:08:31,790 Ik trek de onderste rij van de bovenste rij af en zet het resultaat hiervan op de bovenste rij. 193 00:08:31,790 --> 00:08:35,570 1 - 0 = 1 194 00:08:35,570 --> 00:08:38,659 0 - 0 = 0 195 00:08:38,659 --> 00:08:41,000 1 - 1 = 0 196 00:08:41,000 --> 00:08:43,559 Dat is hoe we het willen hebben. 197 00:08:43,559 --> 00:08:48,000 En 1 - 2 = -1, 198 00:08:48,000 --> 00:08:53,490 0 - 1 = -1, 199 00:08:53,490 --> 00:08:58,950 0 - -2, dat is 0 + 2 = 2 200 00:08:58,950 --> 00:09:02,460 En de andere rijen blijven gelijk. 201 00:09:02,460 --> 00:09:07,590 0, 1, 0... -1, 0 ,1 202 00:09:07,590 --> 00:09:15,550 en 0, 0,1... 2, 1, -2. 203 00:09:15,550 --> 00:09:16,640 En klaar is Kees, ehh Sal. 204 00:09:16,640 --> 00:09:18,650 We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant. 205 00:09:18,650 --> 00:09:19,720 We hebben een serie bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de linkerkant. 206 00:09:19,720 --> 00:09:21,380 En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant. 207 00:09:21,380 --> 00:09:22,960 En we hebben dezelfde bewerkingen uitgevoerd op de matrix aan de rechterkant. 208 00:09:22,960 --> 00:09:25,670 De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 209 00:09:25,670 --> 00:09:27,410 De linker is nu een eenheidsmatrix, of een matrix in rij-trapvorm. 210 00:09:27,410 --> 00:09:30,530 En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit? 211 00:09:30,530 --> 00:09:32,180 En dat hebben we voor elkaar gekregen door gebruik van Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit? 212 00:09:32,180 --> 00:09:36,570 Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de 213 00:09:36,570 --> 00:09:38,960 Dit is de inverse van de originele matrix. Als je deze vermenigvuldigd met die krijg je de 214 00:09:38,960 --> 00:09:46,750 eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen. 215 00:09:46,750 --> 00:09:47,580 eenheidsmatrix. Dus als dit A is, is dit de inverse van A. Meer hoef je niet te doen. 216 00:09:47,580 --> 00:09:49,700 En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan 217 00:09:49,700 --> 00:09:53,260 En zoals je ziet, deed ik hier maar half zolang over, en had ik veel minder wollige wiskunde nodig dan 218 00:09:53,260 --> 00:09:56,310 bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten. 219 00:09:56,310 --> 00:09:58,110 bij gebruik van de geadjugeerde matrix, cofactoren en de determinanten. 220 00:09:58,110 --> 00:09:59,990 En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt. 221 00:09:59,990 --> 00:10:01,420 En voor als je erover wil nadenken, zal ik je hint geven over waarom dit werkt. 222 00:10:01,420 --> 00:10:06,910 Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om 223 00:10:06,910 --> 00:10:10,570 Elke bewerking die ik aan de linkerkant heb gedaan, kun je zien als een soort van vermenigvuldiging, om 224 00:10:10,570 --> 00:10:12,370 van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die, 225 00:10:12,370 --> 00:10:14,500 van dit naar dat te maken, heb ik vermenigvuldigd. Je zou kunnen zeggen dat er een matrix bestaat die, 226 00:10:14,500 --> 00:10:16,240 als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert. 227 00:10:16,240 --> 00:10:17,670 als ik daarmee zou vermenigvuldigen, deze bewerking uitvoert. 228 00:10:17,670 --> 00:10:20,250 En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen. 229 00:10:20,250 --> 00:10:21,550 En om deze bewerking uit te voeren, zou ik weer met een andere matrix kunnen vermenigvuldigen. 230 00:10:21,550 --> 00:10:24,250 Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen. 231 00:10:24,250 --> 00:10:26,440 Eigenlijk hebben we dus vermenigvuldigd met een serie matrices, om dit hier te krijgen. 232 00:10:26,440 --> 00:10:28,500 We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je 233 00:10:28,500 --> 00:10:31,410 We noemen deze eliminatie matrices, en als je ze met elkaar zou vermenigvuldigen, vermenigvuldig je 234 00:10:31,410 --> 00:10:34,070 feitelijk met de inverse. Wat zeg ik nu eigenlijk? 235 00:10:34,070 --> 00:10:35,590 feitelijk met de inverse. Wat zeg ik nu eigenlijk? 236 00:10:35,590 --> 00:10:43,470 Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix. 237 00:10:43,470 --> 00:10:47,300 Dat om van hier naar daar te komen, moeten we A vermenigvuldigen met een eliminatie matrix. 238 00:10:47,300 --> 00:10:49,630 Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan 239 00:10:49,630 --> 00:10:51,990 Dit kan je nu volledig vreemd in de oren klinken, in dat geval: vergeet het, maar zoniet, dan kan 240 00:10:51,990 --> 00:10:55,250 het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1], 241 00:10:55,250 --> 00:10:58,470 het verhelderend zijn. We hebben rij 3, kolom 1 geëlimineerd, [3,1], 242 00:10:58,470 --> 00:11:01,120 We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen. 243 00:11:01,120 --> 00:11:03,670 We hebben dus vermenigvuldigd met de eliminatie matrix E [3,1] om dit te krijgen. 244 00:11:03,670 --> 00:11:05,740 En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix. 245 00:11:05,740 --> 00:11:07,220 En vervolgens hebben we weer vermenigvuldig met een andere matrix. 246 00:11:07,220 --> 00:11:07,970 Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt. 247 00:11:07,970 --> 00:11:09,160 Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt. 248 00:11:09,160 --> 00:11:10,940 Ik zal je laten zien hoe je deze eliminatie matrices maakt. 249 00:11:10,940 --> 00:11:12,830 Hier wisselden we de rijen om 250 00:11:12,830 --> 00:11:16,150 Hier wisselden we de rijen om 251 00:11:16,150 --> 00:11:17,070 Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen. 252 00:11:17,070 --> 00:11:21,240 Je zou het een 'swap matrix' kunnen noemen. 253 00:11:21,240 --> 00:11:24,730 We verwisselden rij 2 met rij 3. 254 00:11:24,730 --> 00:11:28,830 En de volgende eliminatie matrix? Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3. 255 00:11:28,830 --> 00:11:31,110 En de volgende eliminatie matrix? Daarmee elimineerde we de 2 uit rij 3. 256 00:11:31,110 --> 00:11:34,030 Rij 3, kolom 2 257 00:11:34,030 --> 00:11:36,270 Rij 3, kolom 2 258 00:11:36,270 --> 00:11:39,320 Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie 259 00:11:39,320 --> 00:11:40,470 Tenslotte vermenigvuldigden we met een eliminatie 260 00:11:40,470 --> 00:11:41,740 matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1 261 00:11:41,740 --> 00:11:44,220 matrix, want moesten we nog een 1 kwijt uit rij 1 262 00:11:44,220 --> 00:11:47,200 Dus elimineerde we rij 1, kolom 3. 263 00:11:47,200 --> 00:11:49,590 Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. 264 00:11:49,590 --> 00:11:51,420 Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt. 265 00:11:51,420 --> 00:11:53,210 Nu is het nog niet belang wat voor matrices dit zijn. Ik laat je alleen zien hoe je ze maakt. 266 00:11:53,210 --> 00:11:55,530 Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een 267 00:11:55,530 --> 00:11:58,600 Ik wil dat je mij op mijn woord geloofd dat al deze bewerking kunnen worden uitgevoerd door met een 268 00:11:58,600 --> 00:12:01,040 bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die 269 00:12:01,040 --> 00:12:03,510 bepaalde matrix te vermenigvuldigen. Uiteindelijk kom je door te vermenigvuldigen met al die 270 00:12:03,510 --> 00:12:06,760 matrices tot de eenheidsmatrix, 271 00:12:06,760 --> 00:12:07,930 hier links. 272 00:12:07,930 --> 00:12:11,450 Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn, 273 00:12:11,450 --> 00:12:13,600 Dus de combinatie van al deze matrices, met elkaar vermenigvuldigd, dat moet de inverse zijn, 274 00:12:13,600 --> 00:12:15,370 de inverse van A. 275 00:12:15,370 --> 00:12:18,420 Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse. 276 00:12:18,420 --> 00:12:22,420 Dus vermenigvuldig deze eliminatie matrices en de swap matrix met elkaar en je krijgt de inverse. 277 00:12:22,420 --> 00:12:23,680 Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse. 278 00:12:23,680 --> 00:12:26,130 Want als je ze met A vermenigvuldigd krijg je de inverse. 279 00:12:26,130 --> 00:12:28,630 Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn 280 00:12:28,630 --> 00:12:31,780 Als deze samen vermenigvuldigd de inverse zijn 281 00:12:31,780 --> 00:12:36,400 en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix. deze 282 00:12:36,400 --> 00:12:40,620 en ik vermenigvuldig ze met de eenheidmatrix, deze 283 00:12:40,620 --> 00:12:41,270 hiermee, deze 284 00:12:41,270 --> 00:12:42,970 daarmee, en 285 00:12:42,970 --> 00:12:44,510 deze hiermee, 286 00:12:44,510 --> 00:12:45,360 enzovoort.. 287 00:12:45,360 --> 00:12:48,870 Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix. 288 00:12:48,870 --> 00:12:53,050 Feitelijk vermenigvuldig ik de inverse matrix met de eenheidsmatrix. 289 00:12:53,050 --> 00:12:55,520 Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen, 290 00:12:55,520 --> 00:12:56,470 Ik wil het niet moeilijker maken dan het is, ik wil alleen even het grote plaatje schetsen, 291 00:12:56,470 --> 00:12:57,910 het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb. 292 00:12:57,910 --> 00:13:00,370 het is prima als je nu alleen maar begrijpt wat ik gedaan heb. 293 00:13:00,370 --> 00:13:03,500 Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig 294 00:13:03,500 --> 00:13:07,800 Wat ik eigen doe in al die stapjes, is dat ik beide zijden van deze uitgebreide matrix, vermenigvuldig 295 00:13:07,800 --> 00:13:10,450 met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix. 296 00:13:10,450 --> 00:13:13,080 met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix. 297 00:13:13,080 --> 00:13:14,300 met de inverse van A. De linkerzijde vermenigvuldigd met de inverse geeft de eenheidsmatrix. 298 00:13:14,300 --> 00:13:16,740 Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix. 299 00:13:16,740 --> 00:13:19,130 Maar als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix, krijg ik uiteraard de inverse matrix. 300 00:13:19,130 --> 00:13:20,990 In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt. 301 00:13:20,990 --> 00:13:22,410 In elk geval, ik wilde je niet verwarren, ik hoop dat je zo er een beetje gevoel voor krijgt. 302 00:13:22,410 --> 00:13:25,130 Ik zal laten nog wel wat meer concrete voorbeelden laten zien. 303 00:13:25,130 --> 00:13:27,850 Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde 304 00:13:27,850 --> 00:13:30,115 Ik hoop wel dat je ziet dat dit een stuk minder bewerkelijk is dan de methode met de geadjugeerde 305 00:13:30,115 --> 00:13:32,540 matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video! 306 00:13:32,540 --> 00:13:35,290 matrix, cofactoren en de determinanten. Oké, ik zie je in de volgende video!