Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent

To, czego chcemy dowieść w tym filmiku, to kilka

dowodów związanych z równoległobokiem

Zacznijmy od takiego:

Dany jest równoległobok ABCD

udowonijmy, że przeciwległe boki mają takie same długości

Zatem dowiedźmy, że AB jest równe DC i AD jest równe BC

Narysujmy przekątną

A zatem do dzieła!

Ta przekątna, w zależności od tego punktu widzenia, przecina

dwa zbiory równoległych prostych, więc można ją rozważać

jako poprzeczną

Faktycznie, narysujmy trochę wyraźniej

Mogę to zrobić lepiej

Więc, no nie, to wcale nie jest lepiej

To jest mniej więcej tak jak jestem w stanie zrobić

Zatem, jeśli spojrzymy na przekątną DB, możemy dostrzec w niej

prostą przecinającą AB i DC

I jeśli spojrzymy na o w ten sposób, możemy zauważyć, że kąt ABD

jest równy pewnemu innemu kątowi

Zatem, kąt ABD, to ten kąt właśnie tu, jest

przystający do kąta BDC, ponieważ to są kąty naprzemianległe

Mamy mamy prostą przecinającą dwie proste równoległe i te proste

Wiemy więc, że kąt ABD jest przystający

do kąta BDC

Teraz mozemy rozpatrzeć przekątną DB jako

prostą przecinającą dwie proste

zbudowane na innej parze boków równoległych: AD i BC

Jeśli spojrzymy na to w ten sposób, natychmiast spostrzeżemy, że kąt

DBC, o tam, kąt DBC jest przystający do kąta

ADB z takiego samego powodu jak poprzednio, są to kąty naprzemianległe

poprzecznej przecinającej dwie równoległe proste

Mogłbym więc napisać napisać tak:

To znaczy, że ocpowidające kąty wewnętrzne są przystające, gdy mamy

prostą przecinająca dwie równoległe proste

Widzimy także, że oba z tych trójkątów,

trójkąt ADB i trójkąt CDB mają wspólny bok o tutaj

Jest on oczywiście równy samemu sobie

A teraz, dlaczego to jest potrzebne

Cóż, można zdac sobie sprawę, że właśnie pokazaliśmy, że oba z tych

trójkątów mają ten różowy kąt i ten bok

wspólne oraz mają zielony kąt

Różowy kąt, wspólny bok i w końcu zielony kąt

Zatem właśnie udowodniliśmy korzystając z zasady przystawania trójkątów kąt-bok-kąt, że te

dwa trójkąty są przystające

Zapiszmy więc

Pokazaliśmy, że trójkąt-- przejdę z nie oznaczonego do różowego

nie oznaczony do różowego do zielonego-- CBD i to wynika

z zasady przystawania kąt-bok-kąt

Zatem, to jest z zasady przystawania trójkątów kąt-bok-kąt

A więc, co to dla nas znaczy

Jeśli dwa trójkąty są przystające, to wszystkie odpowiadające

elementy tych dwóch trójkątów są przystające

W szczególności, bok DC odpowiada bokowi BA--

bok DC w tym trójkącie na dole odpowiada bokowi BA

w górnym trójkącie

Muszą więc być takie przystające

Zatem, DC

Więc, DC jest równy BA ponieważ

są to odpowiadające boki przystających trójkątów

Więc muszą być sobie równe, podobnie

AD odpowiada CB

AD jest równe CB i z to tego samego powodu:

są to odpowiadające boki przystających trójkątów

I skończone!

Udowodniliśmy, że przeciwległe boki są przystające

Teraz, rozważmy sytuację odwrotną

Powiedzmy, że mamy pewien typ czworokąta

i wiemy, że przeciwległe boki są przystające

i wiemy, że przeciwległe boki są przystające
czy możemy udowodnić, że jest to równoległobok

W sumie, to dowód jest ten sam tylko, ze... odwrócony

Narysujmy więc przekątną tutaj

ponieważ wiemy dużo o trójkątch

zatem rysuję

mamy

to najtrudniejsza sprawa

o ta może być

W porządku

oczywistym jest, że CB jest równe CB

zaznaczę to w ten sposób

jest to oczywiste gdyż jest to ten sam odcinek

mamy teraz coś interesującego

podzieliliśmy czworokąt na dwa trójkąty: trójkąt ACB i

trójkąt DBC

Zauważmy że wszystkie trzy boki tych trójkątów

są równe

zatem wiemy z zasady bok-bok-bok że są one przystające

więc trójkąt, zacznę od A i potem wzdłuż boku z jedną kreską

więc ACB jest przystający do trójkąta DBC

na mocy zasady bok-bok-bok

co nam to daje?

wiemy zatem że wszystkie odpowiadające sobie kąty

są równe co do miary

na przykład kąt ABC jest równy kątowi DCB co do miary

widzimy, ABC-- jest przystający do DCB

kąta DCB i możemy powiedzieć odpowiadające kąty

przystające od odpowiednich przystających trójkątów

Użyłem tu skrótu

Zatem kąt ABC jest równy kątowi DCB co do miary

zatem te dwa kąty są równe co do miary

jest to istotne gdyż mamy prostą CB przecinającą

proste AB i CD i widzimy, że te dwa

kąty są kątami naprzemianległymi wewnętrznie i

są sobie równe co do miary

a z tego faktu wynika że

prosta AB musi być równoległa do prostej CD

zatem to musi być równoległe do tego

zatem wiemy że AB jest równoległe do CD z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie utworzonych

przez prostą przecinającą

teraz możemy zastosować to samo rozumowanie

kąt ACB jest równy co do miary kątowi DBC

gdyż są to odpowiadające

kąty trójkątów przystających

zatem ten kąt ma równą miarę co ten kąt

zatem ponownie są to kąty naprzemianległe wewnętrznie

istotnie mamy linię przecinającą

dwie proste o których nie wiemy czy są równoległe

ale z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie

wynika ich równoległość

zatem to jest równoległe do tego

mamy że AC jest równoległe do BD co wynika z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie

zatem zakończyliśmy dowód

wykazaliśmy ciekawą rzecz:

mając dowolny równoległobok wiemy że

naprzeciwległe boki mają tę samą długość

i jeśli w dowolnym czworokącie naprzeciwległe boki mają tę samą długość to jest to

równoległobok

zatem udowodniliśmy to w obydwie strony

jest to więc warunek

konieczny i dostateczny

można powiedzieć: "jeżeli naprzeciwległe boki czworokąta są równoległe"

lub inaczej "naprzeciwległeboki czworokąta są równoległe

wtedy i tylko wtedy gdy ich długości są równe"równoległe

I możemy powiedzieć: "wtedy i tylko wtedy"

mówimy wtedy i tylko wtedy co oznacza: jeżeli są równoległe to ich długości są równe

oraz tylko wtedy gdy ich długości są równe to są one równoległe

udowodniliśmy to w obydwie strony