To, czego chcemy dowieść w tym filmiku, to kilka dowodów związanych z równoległobokiem Zacznijmy od takiego: Dany jest równoległobok ABCD udowonijmy, że przeciwległe boki mają takie same długości Zatem dowiedźmy, że AB jest równe DC i AD jest równe BC Narysujmy przekątną A zatem do dzieła! Ta przekątna, w zależności od tego punktu widzenia, przecina dwa zbiory równoległych prostych, więc można ją rozważać jako poprzeczną Faktycznie, narysujmy trochę wyraźniej Mogę to zrobić lepiej Więc, no nie, to wcale nie jest lepiej To jest mniej więcej tak jak jestem w stanie zrobić Zatem, jeśli spojrzymy na przekątną DB, możemy dostrzec w niej prostą przecinającą AB i DC I jeśli spojrzymy na o w ten sposób, możemy zauważyć, że kąt ABD jest równy pewnemu innemu kątowi Zatem, kąt ABD, to ten kąt właśnie tu, jest przystający do kąta BDC, ponieważ to są kąty naprzemianległe Mamy mamy prostą przecinającą dwie proste równoległe i te proste Wiemy więc, że kąt ABD jest przystający do kąta BDC Teraz mozemy rozpatrzeć przekątną DB jako prostą przecinającą dwie proste zbudowane na innej parze boków równoległych: AD i BC Jeśli spojrzymy na to w ten sposób, natychmiast spostrzeżemy, że kąt DBC, o tam, kąt DBC jest przystający do kąta ADB z takiego samego powodu jak poprzednio, są to kąty naprzemianległe poprzecznej przecinającej dwie równoległe proste Mogłbym więc napisać napisać tak: To znaczy, że ocpowidające kąty wewnętrzne są przystające, gdy mamy prostą przecinająca dwie równoległe proste Widzimy także, że oba z tych trójkątów, trójkąt ADB i trójkąt CDB mają wspólny bok o tutaj Jest on oczywiście równy samemu sobie A teraz, dlaczego to jest potrzebne Cóż, można zdac sobie sprawę, że właśnie pokazaliśmy, że oba z tych trójkątów mają ten różowy kąt i ten bok wspólne oraz mają zielony kąt Różowy kąt, wspólny bok i w końcu zielony kąt Zatem właśnie udowodniliśmy korzystając z zasady przystawania trójkątów kąt-bok-kąt, że te dwa trójkąty są przystające Zapiszmy więc Pokazaliśmy, że trójkąt-- przejdę z nie oznaczonego do różowego nie oznaczony do różowego do zielonego-- CBD i to wynika z zasady przystawania kąt-bok-kąt Zatem, to jest z zasady przystawania trójkątów kąt-bok-kąt A więc, co to dla nas znaczy Jeśli dwa trójkąty są przystające, to wszystkie odpowiadające elementy tych dwóch trójkątów są przystające W szczególności, bok DC odpowiada bokowi BA-- bok DC w tym trójkącie na dole odpowiada bokowi BA w górnym trójkącie Muszą więc być takie przystające Zatem, DC Więc, DC jest równy BA ponieważ są to odpowiadające boki przystających trójkątów Więc muszą być sobie równe, podobnie AD odpowiada CB AD jest równe CB i z to tego samego powodu: są to odpowiadające boki przystających trójkątów I skończone! Udowodniliśmy, że przeciwległe boki są przystające Teraz, rozważmy sytuację odwrotną Powiedzmy, że mamy pewien typ czworokąta i wiemy, że przeciwległe boki są przystające i wiemy, że przeciwległe boki są przystające czy możemy udowodnić, że jest to równoległobok W sumie, to dowód jest ten sam tylko, ze... odwrócony Narysujmy więc przekątną tutaj ponieważ wiemy dużo o trójkątch zatem rysuję mamy to najtrudniejsza sprawa o ta może być W porządku oczywistym jest, że CB jest równe CB zaznaczę to w ten sposób jest to oczywiste gdyż jest to ten sam odcinek mamy teraz coś interesującego podzieliliśmy czworokąt na dwa trójkąty: trójkąt ACB i trójkąt DBC Zauważmy że wszystkie trzy boki tych trójkątów są równe zatem wiemy z zasady bok-bok-bok że są one przystające więc trójkąt, zacznę od A i potem wzdłuż boku z jedną kreską więc ACB jest przystający do trójkąta DBC na mocy zasady bok-bok-bok co nam to daje? wiemy zatem że wszystkie odpowiadające sobie kąty są równe co do miary na przykład kąt ABC jest równy kątowi DCB co do miary widzimy, ABC-- jest przystający do DCB kąta DCB i możemy powiedzieć odpowiadające kąty przystające od odpowiednich przystających trójkątów Użyłem tu skrótu Zatem kąt ABC jest równy kątowi DCB co do miary zatem te dwa kąty są równe co do miary jest to istotne gdyż mamy prostą CB przecinającą proste AB i CD i widzimy, że te dwa kąty są kątami naprzemianległymi wewnętrznie i są sobie równe co do miary a z tego faktu wynika że prosta AB musi być równoległa do prostej CD zatem to musi być równoległe do tego zatem wiemy że AB jest równoległe do CD z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie utworzonych przez prostą przecinającą teraz możemy zastosować to samo rozumowanie kąt ACB jest równy co do miary kątowi DBC gdyż są to odpowiadające kąty trójkątów przystających zatem ten kąt ma równą miarę co ten kąt zatem ponownie są to kąty naprzemianległe wewnętrznie istotnie mamy linię przecinającą dwie proste o których nie wiemy czy są równoległe ale z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie wynika ich równoległość zatem to jest równoległe do tego mamy że AC jest równoległe do BD co wynika z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie zatem zakończyliśmy dowód wykazaliśmy ciekawą rzecz: mając dowolny równoległobok wiemy że naprzeciwległe boki mają tę samą długość i jeśli w dowolnym czworokącie naprzeciwległe boki mają tę samą długość to jest to równoległobok zatem udowodniliśmy to w obydwie strony jest to więc warunek konieczny i dostateczny można powiedzieć: "jeżeli naprzeciwległe boki czworokąta są równoległe" lub inaczej "naprzeciwległeboki czworokąta są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy ich długości są równe"równoległe I możemy powiedzieć: "wtedy i tylko wtedy" mówimy wtedy i tylko wtedy co oznacza: jeżeli są równoległe to ich długości są równe oraz tylko wtedy gdy ich długości są równe to są one równoległe udowodniliśmy to w obydwie strony