WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:04.350
To, czego chcemy dowieść w tym filmiku, to kilka

00:00:04.360 --> 00:00:07.440
dowodów związanych z równoległobokiem

00:00:07.450 --> 00:00:08.750
Zacznijmy od takiego:

00:00:08.760 --> 00:00:10.870
Dany jest równoległobok ABCD

00:00:10.880 --> 00:00:13.970
udowonijmy, że przeciwległe boki mają takie same długości

00:00:13.980 --> 00:00:19.570
Zatem dowiedźmy, że AB jest równe DC i AD jest równe BC

00:00:19.580 --> 00:00:21.760
Narysujmy przekątną

00:00:21.770 --> 00:00:24.160
A zatem do dzieła!

00:00:24.590 --> 00:00:27.580
Ta przekątna, w zależności od tego punktu widzenia, przecina

00:00:27.590 --> 00:00:31.010
dwa zbiory równoległych prostych, więc można ją rozważać

00:00:31.020 --> 00:00:32.340
jako poprzeczną

00:00:32.350 --> 00:00:34.170
Faktycznie, narysujmy trochę wyraźniej

00:00:34.180 --> 00:00:35.390
Mogę to zrobić lepiej

00:00:35.760 --> 00:00:37.960
Więc, no nie, to wcale nie jest lepiej

00:00:38.450 --> 00:00:40.840
To jest mniej więcej tak jak jestem w stanie zrobić

00:00:41.120 --> 00:00:44.970
Zatem, jeśli spojrzymy na przekątną DB, możemy dostrzec w niej

00:00:44.980 --> 00:00:48.880
prostą przecinającą AB i DC

00:00:48.890 --> 00:00:54.340
I jeśli spojrzymy na o w ten sposób, możemy zauważyć, że kąt ABD

00:00:54.350 --> 00:00:55.600
jest równy pewnemu innemu kątowi

00:00:55.610 --> 00:00:58.430
Zatem, kąt ABD, to ten kąt właśnie tu, jest

00:00:58.440 --> 00:01:03.400
przystający do kąta BDC, ponieważ to są kąty naprzemianległe

00:01:03.410 --> 00:01:05.320
Mamy mamy prostą przecinającą dwie proste równoległe i te proste

00:01:05.330 --> 00:01:10.640
Wiemy więc, że kąt ABD jest przystający

00:01:10.650 --> 00:01:13.620
do kąta BDC

00:01:15.950 --> 00:01:19.730
Teraz mozemy rozpatrzeć przekątną DB jako

00:01:19.740 --> 00:01:22.430
prostą przecinającą dwie proste

00:01:22.440 --> 00:01:27.360
zbudowane na innej parze boków równoległych: AD i BC

00:01:27.370 --> 00:01:31.260
Jeśli spojrzymy na to w ten sposób, natychmiast spostrzeżemy, że kąt

00:01:31.270 --> 00:01:40.520
DBC, o tam, kąt DBC jest przystający do kąta

00:01:40.530 --> 00:01:49.650
ADB z takiego samego powodu jak poprzednio, są to kąty naprzemianległe

00:01:49.660 --> 00:01:52.860
poprzecznej przecinającej dwie równoległe proste

00:01:53.190 --> 00:01:54.260
Mogłbym więc napisać napisać tak:

00:01:54.270 --> 00:02:03.080
To znaczy, że ocpowidające kąty wewnętrzne są przystające, gdy mamy

00:02:03.090 --> 00:02:06.410
prostą przecinająca dwie równoległe proste

00:02:06.720 --> 00:02:09.630
Widzimy także, że oba z tych trójkątów,

00:02:09.640 --> 00:02:16.120
trójkąt ADB i trójkąt CDB mają wspólny bok o tutaj

00:02:16.130 --> 00:02:18.020
Jest on oczywiście równy samemu sobie

00:02:18.030 --> 00:02:20.030
A teraz, dlaczego to jest potrzebne

00:02:20.040 --> 00:02:23.250
Cóż, można zdac sobie sprawę, że właśnie pokazaliśmy, że oba z tych

00:02:23.260 --> 00:02:26.780
trójkątów mają ten różowy kąt i ten bok

00:02:26.790 --> 00:02:28.860
wspólne oraz mają zielony kąt

00:02:28.870 --> 00:02:32.510
Różowy kąt, wspólny bok i w końcu zielony kąt

00:02:32.520 --> 00:02:35.830
Zatem właśnie udowodniliśmy korzystając z zasady przystawania trójkątów kąt-bok-kąt, że te

00:02:35.840 --> 00:02:37.910
dwa trójkąty są przystające

00:02:37.920 --> 00:02:39.450
Zapiszmy więc

00:02:39.460 --> 00:02:44.160
Pokazaliśmy, że trójkąt-- przejdę z nie oznaczonego do różowego

00:02:50.040 --> 00:03:00.240
nie oznaczony do różowego do zielonego-- CBD i to wynika

00:03:00.450 --> 00:03:03.160
z zasady przystawania kąt-bok-kąt

00:03:03.410 --> 00:03:09.340
Zatem, to jest z zasady przystawania trójkątów kąt-bok-kąt

00:03:09.350 --> 00:03:10.940
A więc, co to dla nas znaczy

00:03:10.950 --> 00:03:14.790
Jeśli dwa trójkąty są przystające, to wszystkie odpowiadające

00:03:14.800 --> 00:03:17.960
elementy tych dwóch trójkątów są przystające

00:03:17.970 --> 00:03:24.280
W szczególności, bok DC odpowiada bokowi BA--

00:03:24.290 --> 00:03:27.940
bok DC w tym trójkącie na dole odpowiada bokowi BA

00:03:27.950 --> 00:03:28.950
w górnym trójkącie

00:03:28.960 --> 00:03:31.040
Muszą więc być takie przystające

00:03:31.050 --> 00:03:32.420
Zatem, DC

00:03:32.430 --> 00:03:39.070
Więc, DC jest równy BA ponieważ

00:03:39.080 --> 00:03:46.990
są to odpowiadające boki przystających trójkątów

00:03:47.000 --> 00:03:51.300
Więc muszą być sobie równe, podobnie

00:03:51.310 --> 00:03:54.920
AD odpowiada CB

00:03:58.440 --> 00:04:02.730
AD jest równe CB i z to tego samego powodu:

00:04:02.740 --> 00:04:05.140
są to odpowiadające boki przystających trójkątów

00:04:05.150 --> 00:04:06.270
I skończone!

00:04:06.590 --> 00:04:09.670
Udowodniliśmy, że przeciwległe boki są przystające

00:04:09.680 --> 00:04:11.340
Teraz, rozważmy sytuację odwrotną

00:04:13.240 --> 00:04:16.410
Powiedzmy, że mamy pewien typ czworokąta

00:04:16.420 --> 00:04:18.890
i wiemy, że przeciwległe boki są przystające

00:04:18.900 --> 00:04:22.130
i wiemy, że przeciwległe boki są przystające
czy możemy udowodnić, że jest to równoległobok

00:04:22.140 --> 00:04:24.530
W sumie, to dowód jest ten sam tylko, ze... odwrócony

00:04:24.540 --> 00:04:26.740
Narysujmy więc przekątną tutaj

00:04:26.750 --> 00:04:28.870
ponieważ wiemy dużo o trójkątch

00:04:28.880 --> 00:04:30.700
zatem rysuję

00:04:31.630 --> 00:04:33.120
mamy

00:04:34.020 --> 00:04:35.650
to najtrudniejsza sprawa

00:04:35.660 --> 00:04:37.830
o ta może być

00:04:37.840 --> 00:04:38.590
W porządku

00:04:38.600 --> 00:04:42.420
oczywistym jest, że CB jest równe CB

00:04:42.430 --> 00:04:44.080
zaznaczę to w ten sposób

00:04:44.090 --> 00:04:46.860
jest to oczywiste gdyż jest to ten sam odcinek

00:04:46.870 --> 00:04:48.460
mamy teraz coś interesującego

00:04:48.470 --> 00:04:53.110
podzieliliśmy czworokąt na dwa trójkąty: trójkąt ACB i

00:04:53.120 --> 00:04:56.410
trójkąt DBC

00:04:56.420 --> 00:05:00.530
Zauważmy że wszystkie trzy boki tych trójkątów

00:05:00.540 --> 00:05:01.750
są równe

00:05:01.760 --> 00:05:04.890
zatem wiemy z zasady bok-bok-bok że są one przystające

00:05:04.900 --> 00:05:11.790
więc trójkąt, zacznę od A i potem wzdłuż boku z jedną kreską

00:05:11.800 --> 00:05:21.650
więc ACB jest przystający do trójkąta DBC

00:05:24.000 --> 00:05:30.550
na mocy zasady bok-bok-bok

00:05:30.560 --> 00:05:32.320
co nam to daje?

00:05:32.330 --> 00:05:34.720
wiemy zatem że wszystkie odpowiadające sobie kąty

00:05:34.730 --> 00:05:36.130
są równe co do miary

00:05:36.350 --> 00:05:42.150
na przykład kąt ABC jest równy kątowi DCB co do miary

00:05:49.250 --> 00:05:52.860
widzimy, ABC-- jest przystający do DCB

00:05:54.490 --> 00:06:02.600
kąta DCB i możemy powiedzieć odpowiadające kąty

00:06:02.610 --> 00:06:06.790
przystające od odpowiednich przystających trójkątów

00:06:06.800 --> 00:06:08.980
Użyłem tu skrótu

00:06:08.990 --> 00:06:12.280
Zatem kąt ABC jest równy kątowi DCB co do miary

00:06:12.290 --> 00:06:15.180
zatem te dwa kąty są równe co do miary

00:06:15.190 --> 00:06:18.230
jest to istotne gdyż mamy prostą CB przecinającą

00:06:18.240 --> 00:06:23.030
proste AB i CD i widzimy, że te dwa

00:06:23.040 --> 00:06:26.770
kąty są kątami naprzemianległymi wewnętrznie i

00:06:26.780 --> 00:06:27.760
są sobie równe co do miary

00:06:27.770 --> 00:06:30.840
a z tego faktu wynika że

00:06:30.850 --> 00:06:33.950
prosta AB musi być równoległa do prostej CD

00:06:33.960 --> 00:06:36.830
zatem to musi być równoległe do tego

00:06:36.840 --> 00:06:47.490
zatem wiemy że AB jest równoległe do CD z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie utworzonych

00:06:47.500 --> 00:06:51.530
przez prostą przecinającą

00:06:51.540 --> 00:06:53.870
teraz możemy zastosować to samo rozumowanie

00:06:57.020 --> 00:07:04.590
kąt ACB jest równy co do miary kątowi DBC

00:07:09.390 --> 00:07:12.890
gdyż są to odpowiadające

00:07:14.040 --> 00:07:18.630
kąty trójkątów przystających

00:07:18.640 --> 00:07:22.320
zatem ten kąt ma równą miarę co ten kąt

00:07:22.330 --> 00:07:25.480
zatem ponownie są to kąty naprzemianległe wewnętrznie

00:07:25.490 --> 00:07:27.460
istotnie mamy linię przecinającą

00:07:27.470 --> 00:07:29.960
dwie proste o których nie wiemy czy są równoległe

00:07:29.970 --> 00:07:33.110
ale z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie

00:07:33.120 --> 00:07:34.700
wynika ich równoległość

00:07:34.710 --> 00:07:36.960
zatem to jest równoległe do tego

00:07:36.970 --> 00:07:44.510
mamy że AC jest równoległe do BD co wynika z równości kątów naprzemianległych wewnętrznie

00:07:48.630 --> 00:07:49.550
zatem zakończyliśmy dowód

00:07:49.560 --> 00:07:51.430
wykazaliśmy ciekawą rzecz:

00:07:51.440 --> 00:07:55.630
mając dowolny równoległobok wiemy że

00:07:55.640 --> 00:07:57.440
naprzeciwległe boki mają tę samą długość

00:07:57.450 --> 00:08:00.130
i jeśli w dowolnym czworokącie naprzeciwległe boki mają tę samą długość to jest to

00:08:00.140 --> 00:08:01.160
równoległobok

00:08:01.170 --> 00:08:03.540
zatem udowodniliśmy to w obydwie strony

00:08:03.550 --> 00:08:04.730
jest to więc warunek

00:08:04.740 --> 00:08:06.880
konieczny i dostateczny

00:08:06.890 --> 00:08:11.720
można powiedzieć: "jeżeli naprzeciwległe boki czworokąta są równoległe"

00:08:11.730 --> 00:08:15.750
lub inaczej "naprzeciwległeboki czworokąta są równoległe

00:08:15.760 --> 00:08:18.780
wtedy i tylko wtedy gdy ich długości są równe"równoległe

00:08:18.790 --> 00:08:20.050
I możemy powiedzieć: "wtedy i tylko wtedy"

00:08:20.060 --> 00:08:23.100
mówimy wtedy i tylko wtedy co oznacza: jeżeli są równoległe to ich długości są równe

00:08:23.110 --> 00:08:26.680
oraz tylko wtedy gdy ich długości są równe to są one równoległe

00:08:26.690 --> 00:08:29.010
udowodniliśmy to w obydwie strony