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Worüber ich in diesem Video nachdenken möchte, ist,
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angenommen, wir haben ein Monopol auf etwas,
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und in diesem Beispiel, in diesem Video,
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werden wir ein Monopol auf Orangen haben.
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Angenommen, wir haben ein Monopol auf Orangen
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und eine Nachfragekurve für Orangen auf dem Markt,
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wie maximieren wir unseren Gewinn?
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Um diese Frage zu beantworten, werden
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wir unsere Gesamteinnahmen für verschiedene
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Mengen betrachten.
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Und daraus erhalten wir den Grenzerlös
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für verschiedene Mengen.
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Dann können wir das mit der Grenzkostenkurve vergleichen.
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Das sollte uns ein gutes Gefühl dafür geben,
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welche Menge wir produzieren sollten, um die Dinge zu optimieren.
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Lasst uns zuerst den Gesamterlös berechnen.
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Wenn wir nichts produzieren, wenn wir eine
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Menge von 0 produzieren, dann haben wir nichts zu verkaufen.
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Der Gesamterlös ist Preis mal Menge.
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Der Preis ist 6, aber die Menge ist 0.
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Also wird der Gesamterlös 0 sein, wenn wir nichts produzieren.
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Wenn wir eine Einheit produzieren - und das hier
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sind tatsächlich 1.000 Pfund pro Tag.
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Und wir werden es 1.000 Pfund pro Tag nennen.
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Wenn wir eine Einheit produzieren, dann ist
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der Gesamtumsatz eine Einheit mal 5€ pro Pfund.
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Es sind also 5€ mal, eigentlich 1.000, also 5.000€.
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Wir können es auch als den Bereich hier sehen.
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Die Höhe ist der Preis und die Breite ist die Menge.
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Aber wir können das aufzeichnen, 5 mal 1.
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Wenn wir eine Einheit produzieren, erhalten wir 5.000€.
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Das hier drüben ist also in Tausend Euro
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und das hier drüben in Tausend Pfund.
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Nur um sicherzugehen, dass wir mit dem
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hier drüben einheitlich sind.
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Lasst uns weitermachen.
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Das war dieser Punkt, oder wenn wir 1.000 Pfund produzieren,
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bekommen wir 5.000€.
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Wenn wir 2.000 Pfund produzieren,
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wird der Preis 4€ sein.
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Oder wenn wir sagen, der Preis ist 4€,
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können wir 2.000 Pfund verkaufen, angesichts dieser Nachfragekurve.
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Und unser Gesamtumsatz ist die
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Fläche dieses Rechtecks hier drüben.
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Die Höhe ist der Preis, die Breite die Menge.
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4 mal 2 ist 8.
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Wenn ich also 2.000 Pfund produziere,
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dann erhalte ich einen Gesamterlös von 8.000€.
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Das sind also 7 und 1/2, 8 bringt
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uns ungefähr dorthin.
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Und dann können wir weitermachen.
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Wenn ich produziere, oder wenn der Preis 3€ pro Pfund ist,
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kann ich 3.000 Pfund verkaufen.
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Mein Gesamterlös ist dieses Rechteck hier drüben,
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3€ mal 3 ist 9.000€.
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Wenn ich also 3.000 Pfund produziere, kann ich
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einen Gesamterlös von 9.000€ erzielen.
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Also genau hier.
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Und weiter geht's.
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Wenn ich produziere, oder wenn der Preis 2€ pro Pfund
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beträgt, kann ich 4.000 Pfund verkaufen.
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Mein Gesamterlös ist 2€ mal 4, also 8.000€.
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Wenn ich also 4.000 Pfund produziere, kann ich
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einen Gesamterlös von 8.000€ erzielen.
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Es sollte mit dem da drüben gleich
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sein, genau so.
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Und wenn der Preis 1€ pro Pfund beträgt, kann ich 5.000 Pfund verkaufen.
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Meine Gesamteinnahmen betragen dann 1€ mal 5, also 5.000€.
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Es wird also gleich sein mit dem hier.
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Wenn ich also 5.000 Einheiten produziere, kann ich 5.000€ an Umsatz erzielen.
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Und wenn der Preis 0 ist, wird der Markt
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6.000 Pfund pro Tag verlangen, wenn er frei ist.
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Aber ich werde keine Einnahmen generieren, weil ich
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es kostenlos verschenken werde.
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Also werde ich in dieser Situation keine Einnahmen generieren.
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Unsere Gesamtumsatzkurve sieht also so aus - und wenn
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Sie Algebra studiert haben, würden Sie dies als
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eine nach unten gerichtete Parabel erkennen - unser
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Gesamtumsatz sieht so aus.
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Es ist einfacher für mich, eine Kurve mit einer gepunkteten Linie zu zeichnen.
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Unser Gesamtumsatz sieht in etwa so aus.
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Wir können sie sogar algebraisch lösen, um
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zu zeigen, dass es sich um eine nach unten gerichtete Parabel handelt.
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Die Formel der Nachfragekurve,
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der y-Achsenabschnitt ist 6.
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Wenn ich den Preis als eine Funktion der Menge schreiben wollte,
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haben wir den Preis, der gleich 6 ist minus die Menge.
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Oder wenn wir die traditionelle Form der Steigung
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und des Achsenabschnitts verwenden wollen,
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oder die Form mx plus b- dann könnten
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wir es so schreiben: p ist gleich negativ q plus 6.
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Offensichtlich ist das genau dasselbe.
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Wir haben einen y-Achsenabschnitt von 6 und
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eine negative Steigung von 1.
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Wenn wir die Menge um 1 erhöhen, verringern wir den Preis um 1.
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Anders ausgedrückt: Wenn wir den Preis um 1 verringern,
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erhöhen wir die Menge um 1.
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Deshalb haben wir eine negative 1-Steigung.
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Das heißt, der Preis ist eine Funktion der Menge.
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Wie hoch ist der Gesamtumsatz?
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Nun, der Gesamterlös ist gleich dem Preis mal der Menge.
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Aber wir können den Preis als eine Funktion der Menge schreiben.
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Das haben wir soeben getan.
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So sieht es aus.
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Wir können es umschreiben, oder wir könnten es so schreiben,
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wir können den Preisteil umschreiben als... also
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wird dies gleich negativ q plus 6 mal Menge sein.
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Und das ist gleich dem Gesamterlös.
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Wenn wir dies dann ausmultiplizieren,
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erhalten wir den Gesamterlös gleich q
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mal q ist negativ q zum Quadrat plus 6 plus 6q.
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Das erkennt ihr vielleicht.
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Dies ist eindeutig eine quadratische Funktion.
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Da wir ein Minus vor dem Term 2. Grades
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hier drüben haben, vor dem Quadrat von q,
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ist es eine sich nach unten öffnende Parabel.
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Es macht also durchaus Sinn.
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Ich werde Sie jetzt in diesem Video lassen.
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Ich bemühe mich, meine Videos
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nicht zu lang zu machen.
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Im nächsten Video werden wir darüber
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nachdenken, was der Grenzerlös ist, den wir
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für jede dieser Mengen erhalten.
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Zur Erinnerung: Der Grenzerlös ist gleich
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der Änderung des Gesamterlöses geteilt
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durch die Änderung der Menge.
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Oder anders ausgedrückt: Der Grenzerlös an
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einer dieser Größen ist die Steigung der
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Tangente an diesen Punkt.
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Und wir müssen etwas rechnen, um die
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Steigung von Tangenten zu berechnen.
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Aber wir werden uns dem mit Algebra nähern.
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Was wir möchten, ist, die Steigung zu berechnen.
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Wenn wir also den Grenzerlös herausfinden wollen,
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wenn wir 1.000 Pfund verkaufen - also genau wie viel mehr
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Gesamterlös wir bekommen, wenn wir nur knapp erhöhen,
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wenn wir anfangen, ein weiteres Millionstel Pfund Orangen
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zu verkaufen - was wird dann passieren?
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Wir versuchen die Steigung der
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Tangente an jedem
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Punkt zu bestimmen.
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Und das können wir sehen.
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Denn die Änderung des Gesamtumsatzes ist
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dies und die Änderung der Menge ist das dort.
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Wir versuchen, die momentane Steigung an
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diesem Punkt zu finden, oder man könnte es
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sich als die Steigung der Tangente vorstellen.
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Das werden wir im nächsten Video fortsetzen.
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