Coeficiente angular de uma reta secante à curva

RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem?

Nesta aula, nós vamos rever
a ideia de coeficiente angular

que você deve lembrar
das aulas de álgebra.

Ou seja, vamos rever a ideia
de inclinação de uma reta.

E essa inclinação nada mais é
do que a taxa de variação de uma reta

ou a variação de "y" em função de "x"

conforme caminhamos ao longo da reta.

Ou seja, é a inclinação de uma reta.

E quanto mais inclinada a reta for,

mais positivo vai ser
o seu coeficiente angular.

Então, esta reta tem coeficiente
angular positivo,

ou seja, está crescendo
conforme o "x" cresce.

E se a inclinação for ainda maior,

significa que ela cresce mais
ainda conforme o "x" cresce.

Ou seja, a reta teria um
coeficiente angular maior.

E como podemos calcular a inclinação
desta reta dado dois pontos?

Ou seja, como podemos calcular
a taxa de variação

de "y" em função de "x"?

Simples, eu vou colocar dois
pontos sobre esta reta aqui.

O primeiro deles vai ser o ponto
que tem as coordenadas (x, 0).

E o seu correspondente (y, 0).

Portanto, este é o ponto (x₀, y₀).

E o segundo ponto está aqui,
que tem as coordenadas (x₁, y₁).

Ou seja, é o ponto (x₁, y₁).

E a inclinação da reta que
nós podemos chamar por "m",

é a taxa de variação de "y"
em função de "x",

ou uma outra maneira de pensar

é a variação de "y" dividido
pela variação de "x".

Relembrando, este triângulo
é uma letra grega delta (Δ)

que representa a variação.

Então, uma variação em "y",
dividido pela variação de "x".

E vamos ver como aplicar isso aqui.

Vamos pensar na variação de "x" primeiro.

Estamos variando de x₀ para x₁.

Então, esta aqui vai ser
a variação em "x".

Ou seja, esta aqui é
a nossa variação em "x".

Eu posso colocar aqui na mesma cor.

E como podemos representá-la?

Simples, se queremos
conhecer esta distância,

nós pegamos o x₁
e subtraímos o x₀ .

Então, Δx vai ser igual a x₁ - x₀.

Claro, eu estou assumindo
que x₁ é maior do que x₀.

E qual vai ser a variação em "y"?

A mesma coisa.

O "y" final menos o "y" inicial.

Ou seja, y₁ - y₀.

E você pode até se perguntar,

será que eu não poderia fazer
y₀ - y₁ / x₀ - x₁?

Poderia, mas a resposta
seria absolutamente a mesma.

A diferença é que tanto
aqui quanto aqui,

dariam resultados negativos.

E a resposta daria positiva.

O importante é ser consistente.

Se você está subtraindo o valor
final menos o valor inicial aqui,

no denominador você tem que
seguir a mesma lógica.

Mas, enfim,

isto aqui provavelmente vocês devem
se lembrar das aulas de álgebra,

que nada mais é do que
a definição de inclinação,

que é a taxa de variação
de "y" em relação a "x".

Ou seja, é a taxa de variação

do nosso eixo vertical em relação
ao nosso eixo horizontal.

Mas agora eu vou mostrar
uma coisa bem interessante.

Deixe-me colocar outro
plano cartesiano aqui.

E aqui nós tínhamos uma reta.

E uma reta tem inclinação
constante por definição.

Ou seja, se você calcular a inclinação
entre quaisquer dois pontos,

ela será constante para aquela reta.

Mas o que acontece quando
começamos a lidar com curvas?

Ou seja, quando começamos
a lidar com curvas não lineares.

Digamos que nós temos uma curva assim.

Qual é a taxa de variação de "y"
em relação a "x" desta curva?

Vamos de pensar nisso
utilizando dois pontos.

Vamos dizer que nós temos
um ponto aqui,

que é o ponto (x₁, y₁).

E vamos dizer que nós temos outro
ponto aqui que vai ser o ponto (x₂, y₂).

Neste momento, nós ainda não
conhecemos as ferramentas necessárias

para calcular a taxa de variação
de "y" em relação a "x" neste ponto.

E isso é uma coisa que o cálculo
vai te ajudar mais à frente.

Mas utilizando álgebra,

nós podemos pensar pelo menos

sobre qual é a taxa média de variação
durante este intervalo.

E qual é a taxa média de variação?

E como podemos calcular?

Simples, vai ser o quanto "y" variou.

Ou seja, a variação em "y"
que podemos chamar de Δy.

E para essa variação em "x"

e que podemos chamar de Δx.

E podemos calcular isso do mesmo jeito.

Ou seja, a nossa variação em "y",
que vai ser y₂ - y₁

dividido pela variação em "x",
que é x₂ - x₁.

Deste jeito, nós podemos calcular
a variação entre estes dois pontos.

E outra maneira de pensar nisso
é que esta é a taxa de variação média

para a curva entre x₁ e x₂ .

Ou seja, esta é a taxa
de variação média de "y"

em relação a "x" neste intervalo.

Mas o que vamos descobrir com isso?

Simples, vamos descobrir a inclinação
da reta que conecta estes dois pontos.

Ou seja, a inclinação desta reta
que conecta estes dois pontos.

E como chamamos uma
reta que toca dois pontos?

Chamamos de reta secante.

Então, esta é a reta secante.

O interessante aqui é que estamos
estendendo a ideia de inclinação.

Ou seja, nós já sabemos como encontrar

a inclinação de uma reta
que passa por dois pontos.

Mas para curvas, nós ainda
não temos ferramentas.

O cálculo vai nos dar isso,

mas por ora podemos utilizar
as nossas ferramentas algébricas.

E isso ajuda a descobrir
a taxa de variação média

entre dois pontos em uma curva.

E para descobrir isso,

nós utilizamos a reta secante.

Isso é mesma coisa que descobrir
a inclinação da reta secante.

Eu só vou antecipar um pouco aqui.

Aonde isto está nos levando?

Quais ferramentas vamos utilizar

para descobrir a taxa
de variação instantânea?

Ou seja, não apenas a média,

mas o que acontece quando este
ponto está ficando mais próximo,

mais próximo e mais próximo deste ponto?

Ou seja, a inclinação da reta secante

está se aproximando cada vez mais
da taxa instantânea de variação.

Mas eu vou falar com calma
disso nos próximos vídeos.

Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado.

E até a próxima, pessoal!