Asymptoter for rationale funktioner

Lær at finde hævelige diskontinuiteter, vandrette og lodrette asymptoter i rationale funktioner. I denne video bruges et eksempel, hvor f(x)=(3x²-18x-81)/(6x²-54). Husk, at ikke alle nulpunkter i nævneren er en lodret asymptote!

I emnet rationale funktioner skal vi analysere familien af rationale - brøk - funktioner. Når du dividerer et polynomium med et andet, hvad får du? En brøk funktion! Vi skal se nogle eksempler på, hvordan de kan være nyttige, når vi laver modeller.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Vi har f(x) = 3x² - 18x - 81 / 6x² - 54.

I denne video vil jeg finde ligningerne
for de vandrette og lodrette asymptoter.

Jeg opfordrer dig til at sætte videoen
på pause og selv prøve,

inden jeg laver den.

Jeg antager, at du selv har prøvet.

Lad os se på hver af dem.

Lad os først se på den vandrette
asymptote og se om der er en.

En vandret asymptote er den
vandrette linje som f(x) nærmer sig,

når den numeriske værdi
af x nærmer sig uendelige,

eller du kan sige, hvad f(x) nærmer sig,
når x går mod uendelig

og hvad f(x) nærmer sig,
når x går mod minus uendelig.

Du kan gribe det an på et par måder.

Lad mig skrive forskriften for f(x) igen.

Den er 3x² - 18x - 81 / 6x² - 54.

Du kan gøre et par ting.

Du kan sige,

når den numeriske værdi af x
bliver større og større og større,

så vil højestgradsleddet i tælleren
og i nævneren dominere.

I tælleren er det 3x²

og i nævneren er det 6x².

Når den numeriske værdi af x
nærmer sig uendelig,

så vil disse to led dominere.

f(x) kan tilnærmes til 3x²/6x².

De andre led vil betyde mindre.

-54 vil slet ikke ændre sig

og -18x vil vokse meget
langsommere end 3x².

Højestegradsleddene vil dominere.

Hvis vi kun ser på disse led,

så kan du reducere og får,

at f(x) vil nærme sig 3/6 eller 1/2.

Du kan derfor sige, at der er
en vandret asymptote ved y = 1/2.

Vi kan også gribe det an på en anden måde,

hvis du ikke bryder dig om
dette lidt uldne argument,

at disse to led dominerer.

Du kan dividere tæller og nævner med
den højeste grad i tæller og nævner.

Den højeste grad i tælleren
og i nævneren er x².

Lad os dividere både
tæller og nævner med x².

Du ganger tælleren med 1/x²

og nævneren med 1/x².

Husk vi ændrer ikke værdien af udtrykket,
da vi ganger med 1,

hvis vi antager, at x ikke er lig 0.

I tælleren får vi 3x² divideret med x²,
som er lig 3 og - 18/x - 81/x².

Alt det skal være over

6x² gange 1/x², som er 6 og så -54/x².

Hvad sker der så?

Hvad er grænserne, når x går mod uendelig?

Hvad sker der?

Dette, dette og det her vil gå mod nul,

så du får 3/6 eller 1/2.

Hvis x går mod minus uendelig,
så får du det samme.

Dette, dette og det her går mod nul,

så du går igen mod 1/2.

Det er den vandrette asymptote.

y = 1/2.

Lodrette asymptoter.

Lad mig lige gå herover.

Mulige lodrette asymptoter.

Der kan være mere end en.

Det er måske meget fristende at sige,

der er en lodret asymptote,

når nævneren er lig 0,

da det gør rationale udtryk udefineret.

Men vi skal se,
at det ikke er helt korrekt.

At nævneren er lig 0 er ikke i sig selv
nok til at have en lodret asymptote.

Funktionen er helt sikkert ikke defineret,

men det er ikke nok i sig selv
til at give en lodret asymptote.

Lad os se på nævneren.

Nej, lad os faktorisere
både tæller og nævner.

Vi kan omskrive f(x) som...

Alle led i tælleren kan dividers med 3,
så vi sætter 3 udenfor parentes.

Det bliver 3(x² - 6x -27).

Alt dette over...

I nævneren kan alle led divideres med 6.

6(x² - 9).

Lad os se om,
vi kan faktorisere yderligere.

Det bliver f(x) = 3(...

To tal med produktet -27 og summen -6?

-9 og 3 ser gode ud.

Du får 3(x - 9)(x + 3).

Vi har faktoriseret tælleren,
som er over...

I nævneren bruges 3. kvadratsætning.

Det bliver 6(x - 3)(x + 3).

Hvornår er nævneren lig 0?

Nævneren er lig nul,
når x = 3 eller x = -3.

Jeg opfordrer dig til at
sætte videoen på pause

og overveje om begge disse
er lodrette asymptoter.

Du har måske set,
at tælleren også er nul, når x = -3.

Vi kan faktisk reducere en smule,

så det bliver lidt nemmere at se,
hvor vores lodrette asymptoter er.

Vi kan dividere tæller og nævner
med (x + 3).

Hvis de to funktioner skal være ens,

så skal vi lige huske at skrive,

at funktionen ikke er
defineret for x = -3,

da det svarer til at dividere med 0.

Det skal vi huske,
når vi reducerer udtrykket.

Dette er præcis den samme funktion,

når vi dividerer tæller og
nævner med (x + 3).

Det bliver 3(x - 9) / 6(x - 3),

når x ikke er lig -3.

Det er en identisk funktion til
den oprindelige funktion,

når jeg angiver den begrænsning,
at x ikke kan være lig -3,

da vores oprindelige funktion
ikke er defineret, når x = -3.

x = -3 er ikke i den
oprindelige definitionsmængde.

Når vi fjerner (x + 3) fra tæller
og nævner, så skal vi huske det.

Hvis vi blot skriver dette,
så er det ikke den samme funktion.

Da det nye udtryk uden denne begrænsning
er defineret, når x = -3.

Vi skal have præcis den samme funktion.

Du har derfor en hævelig diskontinuitet
ved x = -3.

Nu kan vi se på lodrette asymptoter.

Lodrette asymptoter er, hvor nævneren,
men ikke tælleren, er lig 0,

x = -3 gør dem begge lig 0.

Vores lodrette asymptote er ved x = 3

Det gør nævneren lig 0, men ikke tælleren.

Den lodrette asymptote er ved x = 3.

Ved at bruge disse oplysninger kan du
begynde at forsøge at tegne grafen.

Det er ikke i sig selv nok.

Du skal bruge et par punkter for at se,
hvad der sker,

når vi nærmer os disse
to forskellige asymptoter.

Lad os for sjov prøve at se på det.

Funktionen vil se nogenlunde således ud.

Jeg bruger ikke de rigtige forhold.

Det er 1 og det er 1/2.

y = 1/2 er en vandret asymptote.

Vi har en lodret asymptote, når x = 3.

Den laver jeg med blå.

1 2 3 ... ikke helt i rette forhold.

x- og y-akserne er ikke ens.

Vi har en lodret asymptote her.

Vi ved ikke, hvordan funktionen ser ud.

Den kunne gøre således og således
eller sådan her.

Eller den kan gøre noget i denne retning

her og her.

Eller her og der.

Men for at finde ud af, hvad den gør,

så kan du prøve nogle punkter.

Vi skal huske, at funktionen
ikke er defineret, når x = -3.

Lad mig vise x er lig -3.

1, 2 ,3 så funktionen kunne se således ud.

Den kunne gøre således,
hvor den ikke er defineret ved -3,

og så gør den sådan her og sådan her.

Eller måske gør den således,
stadig ikke defineret ved -3,

og så gør den sådan her eller sådan her.

For at finde ud af hvordan,
så må du indsætte nogler værdier.

Jeg opfordrer dig til selv
at prøve efter denne video

at afbilde grafen og se,
hvordan den ser ud.