Asymptoter for rationale funktioner

Vi har f(x) = 3x² - 18x /6x² - 54.

s

I denne video vil jeg finde ligningen for den

vandrette og lodrette asymptoter.

og jeg

opfordrer dig til at sætte videoen på pause ligenu

og selv prøve at løse den.

inden jeg laver den.

Jeg antager at du selv har prøvet.

Lad os se på hver af dem.

Lad os først se på den vandrette asymptote,

eller se om der er en.

Den vandrette asymptpte

er den vandrette linje som f(x) nærmer sig,

når den numeriske værdi af x nærmer sig

uendelige

eller du kan sige hvad f(x) nærmer sig,

når x går mod uendelig og hvad

f(x) nærmer sig

når x går mod minus uendelig.

Du kan løse den på et par måder.

Lad mig lige skrive forskriften for f(x).

s

Den er 3x² - 18 -81 / 6x² - 54

s

Du kan gøre et par ting.

Du kan sige,

når den numeriske værdi f x

bliverstørre og større og større

så vil højestgradsledet i tælleren

oghøjestegradsledet i nævneretn domnere

s

I tælleren er den 3x²

og i nævneren er det 6x².

Når den numeriske værdi af x nærmer sig uendelig

så vildisse to led dominere.

s

f(x) kan tilnærmes til 3x²/6x²

s

De andre led vil betyde mindre

naturligvis vil -54 slet ikke ændre sig

og -18x vil vokse meget langsommere

end 3x².

Højestegradsleddene vil dominere.

Hvis vi kun ser på disse led,

så kan du reducere således.

f(x) vil nærme sig 3/6 eller 1/2.

s

Du kan derfor sige, at der er en vandret asymptote

ved y = 1/2.

Vi kunne også have løst dette ved at tænke på en anden måde.

s

Hvis du ikke bryder dig om dette lidt uldne argument

at disse to led dominerer, så kan du dividere tæller og nævner

med højestegradsleddene i tæller og nævner.

s

Højestegradsleddet i tælleren er x²

lad os dividerer tæller ognævner

med

s

Lad os dividere både tæller og nævner med det.

s

Hvis du ganger tælleren med 1/x²

og nævneren med 1/x²

Husk vi ændrer ikke værdien

af udtrykket, da vi ganger

med det 1, hvis vi antager at x ikke er lig 0.

Vi får 2.

I tælleren får vi 3x² divideret med x² er lig 3 - 18/x - 81 /x²s

s

som

skal være over 6x²

gange 1/x² som er 6

og så 54 / x².

Hvad sker der så?

Hvis du ser på de forskelige lid

og du vil kigge hvad de nærmer sigs

når noget går mod uendelig

Når x går mod uendelig

s

hvad sker der så?

Dette, dette og det her vil gå mod nul

så du får 3/6 eller 1/2.

hvis du siger x går mod minus uendelig,

så vil du få det samme.

Dette, dette og det her går mod nul

så du går i gen imod 1/2.

Det er den vandrette asymptote.

y = 1/2.

Lad os se på lodrette asymptoter.

Lad mig lige gå herover.

s

Mulige lodrette asymptoter.

Der kan være mere end en.

Det er måske meget fristende at sige,

der er en lodret asymptote,

når nævneren er lig 0.

som gør dette rationale udtryk udefineret,

og som vi skal se, så er det ikke helt korrekt.s

s

At nævneren er lig 0 er ikke nok i sig sel

til at få en lodret asymptote.

Det vil helt sikkert være et sted funktionen ikke

er defineret,

men det er ikke nok i sig selv, til at give en lodret asymptote.

Lad os se på nvneren her over.

og se om vi kan faktorisere den.

Lad os også faktorisere tælelren.

og nævneren.

Vi kan omskrive f(x) som

alle led i tælleren kan dividers med 3,

så vi kan sætte 3 udenfor parentes.

Det bliver 3(x² - 6x -27).

s

over nævneren hvor alle led kan dividers med 6.s

s

6(x² - 9).

Lad os se om vi kan faktorisere yderligere.

s

Det bliver f(x) =

to tal med produketet -27

og summen -6?

-9 og 3 ser gode ud.

Du kan have (x-9)(x + 3).

s

Nævneren er 3. kvadratsætning.

det bliver (x - 3)(x+3).

Hvornår er nævneren lig 0?

NÆvneren er lig nul, når

x = 3 eller x = -3.

s

Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause

og overvej im begge disse er lodrette asymptotoer.

Du har måske indset at tælleren

også er nul, når x = -3.

Vi kan faktisk reducere en smule

så det bliver lidt nememre

at se, hvor vores lodrette asymptoter er

vi kan sige at f(x) ..

vi kan dividere tæller og nævner med (x + 3)

s

hvis vi de to funktioner skal være ens,

s

så skla vi lige huske at skriev

at den ikke er defineret for x = -3,

som vi ved svarer til at dividere med 0.

Det skal vi hukse,

men vi kan reducere udtrykket

Dette er præcis den samme funktion

hvis vi dividerer tæller og nævner

med x + 3.

det blvier så 3(x - 9))

over 6(x-3),

når x ikke er lig -3.

Dette er en identisk funktion

til den opridnelgie funktion

når jeg har angivet denne begrænsing

at x ikke kan være lig -3.

da vores oprindelige funktion ikke er defineret

når x = -3.

x = -3 er ikke i den oprindelige definitionsmængde.

s

Hvis vi tager x + 3 ud af tæller

og nævner, så ska vi huske det.

Så s

hvis vi skriver det her over,

at det så ikke er den samme

uden at angive denne begrænsing.

s

men vi har præcis den samme funktion.

Du har faktisk et diskontinuitetspunkt her.

s

og nu kan vi så se på lodrette asymptoter.

Lodrette asymptoter

vil være hvor nævneret er lig 0,

men ikke tælleren.

x = -3 gør dem begge lig 0.

Vores lodrette asymptote,

s

s

Vores lodrette asymptote er ved x = 3

Det gør nævneren lig 0, men ikke

tælleren.

Den lodrette asymptote er ved x = 3.

Ved at bruge disse to oplysinger

kan vi finde ud af,

Du kan forsøge at tegne grafen,

men det er ikke i sig selv nok.

Du skal nok have et par punkter,

for at se, hvad der sker omkring asymptoterne

når vi nærmer os disse to forskelige asymptoter.

men hvis vi kigger på en graf.

Nej forsjov

lados lave den frædig

funktionen vil se nogenlunde sålees ud

og jeg bruger ikke de rigite forhold

Det er 1 og det er 1/2.

y = 1/2 er en vandret asymptote.

s

og vi har en lodret asymptote

når x = 3

s

Den laver jeg med blå.

1, 2 3 ... ikke helt i rette forhold.

x og y er ikke ens, vi h

men vi har en lodret asymptote her.

Bare ved at kigge så ved vi ikke

præcis hvordan funktionen ser ud.

Den kunne gøre sådan her

eller sådan her.

eller sådan her.

eller måske noget i genne retnign

eller denne reting.

Du forstår forhåbenlig,

og for at finde ud af, hvad den gør,

så kan du prøve nogle punkter.

Vi skal huske at funktionen ikke

er defineret når x = -3.

s

Lad mig lave x = -3 lige her.

1, 2 ,3 så funktionen kunne se såedes ud.

s

Den kunne gøre således

hvor vi ikke er defineret ved -3

og s

gøre noget som det her.

eller som det her.

eller måske som det her.

Den er ikke defienret ved -3,

og det vil være en asymptote

så når vi kommer tættere og tætee

så kan den gøre sådan her

eer sådan her.

For at finde ud af hvordan

så må du indsætte nogler værider.

Jeg opfordrer dig til at prøve selv

efter denne video.

at afbilde denne graf.

og se, hvordan den ser ud.