Circles: Radius, Diameter and Circumference

Understanding the relationship between the radius diameter and circumference of a circle.

По всей видимости,

круг – главная геометрическая фигура

в нашей Вселенной.

Достаточно посмотреть на форму орбит планет

или на колесо, или на то,

что можно увидеть на молекулярном уровне.

Круг будет встречаться повсюду снова и снова.

Поэтому, думаю, нам стоит

поговорить о его свойствах.

Во-первых, когда люди открыли для себя круг

(для этого достаточно было посмотреть на луну),

они подумали:

«Каковы же свойства любого круга?».

Прежде всего, они, возможно, сказали себе,

что круг – это все точки,

одинаково удаленные от центра.

Все эти точки по периметру

одинаково удалены от центра,

который находится вот здесь.

Следующее, что интересно узнать, -

это чему равно это расстояние,

одинаковое для всех точек,

на которое они удалены от центра?

Вот оно. Мы называем его радиусом.

Это просто расстояние от центра до краев круга.

Если этот радиус равен 3 см,

то этот радиус тоже будет равен 3 см.

И этот будет равен 3 см.

Его длина никогда не меняется.

По определению, круг – это все точки,

удаленные от центра на одинаковое расстояние,

и это расстояние называется радиусом.

Следующий вопрос, который нас интересует, -

это толщина круга. Насколько он широкий

в своем самом широком месте?

Если бы мы просто разрезали его

в самом широком месте,

чему бы равнялось это расстояние?

Вместо этого места,

я мог бы выбрать, например, это.

Но я бы не стал резать его здесь потому,

что это не самая широкая его часть.

Есть много способов резать круг

в самом широком месте.

Мы только что определили радиус,

и теперь мы видим, что самая широкая

часть круга проходит через его центр

и продолжается дальше, т.е. это два радиуса.

Вот у нас есть один радиус и второй радиус.

Расстояние между двумя точками

в самой широкой части круга

называется диаметром.

Значит, это диаметр круга.

У него очень простое отношение к радиусу:

диаметр равен радиусу, умноженному на два.

Теперь, следующий интересный момент,

о котором следует подумать, –

чему равно расстояние по границе круга?

То есть, если бы вы взяли рулетку

и измерили ею вокруг круга вот так,

чему бы было равно это расстояние?

Это называется длиной окружности круга.

Мы уже знаем, как соотносится диаметр с радиусом,

но как относится длина окружности,

например, с диаметром?

Если вы еще не привыкли к диаметру,

мы можем вычислить то,

как она относится к радиусу.

Много тысяч лет назад люди брали мерные ленты

и измеряли ими длину окружности и радиусы.

Допустим, у них были плохие мерные ленты,

они измерили длину окружности круга

и получили приблизительно 3.

Дальше они измерили радиус круга вот здесь

или диаметр и решили, что, судя по всему,

диаметр равен 1.

Давайте я это запишу.

Давайте не так. Нас волнует отношение.

Давайте я запишу:

«соотношение длины окружности с диаметром».

Допустим, у людей был вот этот круг,

и, измерив его окружность не слишком хорошей мерной лентой,

они сказали, что это расстояние равно

приблизительно 3 метрам.

Если я измерю диаметр круга, я увижу,

что он равен приблизительно 1.

Это интересно. Возможно,

отношение длины окружности к диаметру – 3:1?

Т.е., возможно, длина окружности

всегда в три раза больше диаметра?

Это люди измеряли для одного круга,

теперь, допустим, у них был другой круг.

Вот такой. Я его нарисовал поменьше.

Допустим, люди измеряли длину окружности этого круга

(обозначим ее буквой «С») и нашли,

что она примерно равна 6 сантиметров,

помним – тогда были плохие рулетки.

Затем люди определили,

что диаметр равен грубо 2 сантиметрам.

Значит, отношение длины окружности к диаметру

снова примерно 3:1. Возможно, это свойство круга?

Может быть, отношение длины окружности

к диаметру всегда одинаково для любого круга?

Люди решили, что нужно изучать дальше.

Они достали мерные ленты получше.

Когда мерные ленты стали лучше,

люди определили, что диаметр равен точно 1.

Мой диаметр равен ровно 1,

но, когда я измеряю окружность,

получается, что ее длина ближе к 3,1.

То же самое вот здесь.

Люди заметили, что это число ближе к 3,1.

Они стали замерять точнее и точнее и поняли,

что у них получается то же число.

Они замеряли все лучше и лучше и получили 3,14159.

Они продолжали дальше добавлять сюда цифры.

Это было странное сверхъестественное число,

которое появлялось снова и снова.

Это число так важно для нашей Вселенной потому,

что круг в ней является основополагающим,

а это число одинаково для любого круга.

Отношение длины окружности к диаметру

было этим волшебным числом,

которому дали название «число пи».

Или можно написать его греческой буквой π.

Эта буква представляет число π, которое, возможно,

самое поразительное число в нашей Вселенной.

Оно вначале появляется

как отношение длины окружности к диаметру,

но по мере путешествий по стране Математике

вы узнаете, что это число появляется везде.

Это одна из основополагающих вещей во Вселенной,

доказывающих нам, что в ней есть свой порядок.

Хорошо, но как нам использовать это

в элементарной математике?

Мы знаем, вернее я говорю вам,

что отношение длины окружности к диаметру…

когда я говорю «отношение», я имею в виду, что,

если разделить длину окружности на диаметр,

мы получим π.

π – это просто число.

Я мог бы написать 3,14159

и продолжать дальше и дальше,

но это заняло бы слишком много места,

и было бы неудобно в расчетах,

поэтому люди просто пишут греческую букву π здесь.

Как нам вычислить это отношение?

Мы можем перемножить обе части на диаметр,

и мы можем сказать, что длина окружности

равна π, умноженному на диаметр.

Или поскольку диаметр равен радиусу, умноженному на 2,

мы могли бы сказать, что С=π2r.

Или запись, которую вы чаще встретите - 2πr.

Давайте посмотрим,

как это применить к некоторым задачам.

Допустим, у меня есть вот такой круг,

и у него есть радиус. Пусть радиус равен 3.

Давайте я это запишу.

Итак, радиус круга равен 3.

Давайте добавим единицы измерения – пусть будет 3 м.

Чему равна длина окружности этого круга?

Длина окружности - это 2πr,

что равняется 6 метрам, умноженным на π,

или же 6π метров.

Я могу это перемножить.

Помните, что π – это всего лишь число.

π=3,14159, и оно продолжается до бесконечности.

Значит, если я умножу это число на 6,

у меня должно получиться 18 с хвостиком.

Если у вас есть калькулятор,

вы можете это перемножить,

но для удобства люди просто оставляют это в π.

Я не знаю, сколько будет 6 умножить на 3,14159.

Возможно, у вас получится что-то ближе

к 19 или 18 - будет 18 с чем-то.

У меня нет под рукой калькулятора.

Но вместо того, чтобы писать это число,

вы просто пишите здесь 6π.

Теперь давайте ответим на другой вопрос.

Чему равен диаметр круга?

Если радиус равен 3,

диаметр будет в два раза больше него,

т.е. (3 умножить на 2 или 3 плюс 3)

будет равняться 6 метров.

Итак, длина окружности равна 6π,

диаметр равен 6 метров, а радиус – 3 метра.

Теперь давайте пойдем по другому пути.

Допустим, у меня есть такой круг,

и длина его окружности равна 10 метров.

Это длина окружности нашего круга.

Скажем, вы измерили его окружность рулеткой,

и кто-то спросил у вас:

«Чему равен диаметр этого круга?»

Мы знаем, что диаметр, умноженный на π,

или π, умноженное на диаметр, –

это длина окружности. У нас она равна 10 метрам.

Чтобы решить это уравнение,

мы просто разделим обе его части на π.

Диаметр будет равен 10 метрам, разделенным на π,

или 10/π метров.

Это просто число. Если у вас есть калькулятор,

вы могли бы разделить 10 на 3,14159,

и у вас получилось бы 3 с хвостиком метров.

Я не могу разделить это в уме. Но это просто число.

Однако, для удобства мы часто

просто оставляем это в таком виде.

Теперь. Чему равен радиус?

Радиус равен половине диаметра.

Если нам нужно найти радиус,

мы просто умножаем это на ½.

Итак, у вас получается ½ умножить на 10/π,

равняется ½, умноженной на 10

(или вы просто делите числитель и знаменатель

на 2 и получаете 5 здесь), значит, ответ – 5/π.

Т.е. радиус равен 5/π.

Ничего в этом нет сверхсложного.

Я думаю, что людей с толку сбивает непонимание того,

что π – это число.

π – это просто 3,14159 - и продолжается до бесконечности.

Вообще-то, есть тысячи книг о числе π.

Может быть, я преувеличиваю,

но об этом числе можно писать книги.

Это просто число.

Однако это очень необычное число,

и если бы вы хотели записать наш ответ,

используя числа, как вы привыкли это делать,

вам нужно было бы просто это перемножить.

Но в большинстве случаев

люди оставляют ответ с числом π.

Ладно, на этом я заканчиваю.

А в следующем видео мы с вами обсудим площадь круга.