WEBVTT

00:00:05.004 --> 00:00:06.003
По всей видимости,

00:00:06.003 --> 00:00:08.086
круг – главная геометрическая фигура

00:00:08.086 --> 00:00:10.006
в нашей Вселенной.

00:00:10.006 --> 00:00:12.096
Достаточно посмотреть на форму орбит планет

00:00:12.096 --> 00:00:14.039
или на колесо, или на то,

00:00:14.039 --> 00:00:17.003
что можно увидеть на молекулярном уровне.

00:00:17.003 --> 00:00:21.000
Круг будет встречаться повсюду снова и снова.

00:00:21.000 --> 00:00:22.096
Поэтому, думаю, нам стоит

00:00:22.096 --> 00:00:24.000
поговорить о его свойствах.

00:00:24.000 --> 00:00:26.006
Во-первых, когда люди открыли для себя круг

00:00:26.006 --> 00:00:29.009
(для этого достаточно было посмотреть на луну),

00:00:29.009 --> 00:00:30.008
они подумали:

00:00:30.008 --> 00:00:34.001
«Каковы же свойства любого круга?».

00:00:34.001 --> 00:00:36.006
Прежде всего, они, возможно, сказали себе,

00:00:36.006 --> 00:00:38.006
что круг – это все точки,

00:00:38.006 --> 00:00:41.007
одинаково удаленные от центра.

00:00:41.007 --> 00:00:43.003
Все эти точки по периметру

00:00:43.003 --> 00:00:45.006
одинаково удалены от центра,

00:00:45.006 --> 00:00:48.003
который находится вот здесь.

00:00:48.003 --> 00:00:50.005
Следующее, что интересно узнать, -

00:00:50.005 --> 00:00:53.003
это чему равно это расстояние,

00:00:53.003 --> 00:00:54.008
одинаковое для всех точек,

00:00:54.008 --> 00:00:57.001
на которое они удалены от центра?

00:00:57.001 --> 00:01:01.005
Вот оно. Мы называем его радиусом.

00:01:01.005 --> 00:01:05.006
Это просто расстояние от центра до краев круга.

00:01:05.006 --> 00:01:09.002
Если этот радиус равен 3 см,

00:01:09.002 --> 00:01:12.003
то этот радиус тоже будет равен 3 см.

00:01:12.003 --> 00:01:14.050
И этот будет равен 3 см.

00:01:14.050 --> 00:01:17.001
Его длина никогда не меняется.

00:01:17.001 --> 00:01:19.008
По определению, круг – это все точки,

00:01:19.008 --> 00:01:22.073
удаленные от центра на одинаковое расстояние,

00:01:22.073 --> 00:01:26.002
и это расстояние называется радиусом.

00:01:26.002 --> 00:01:28.005
Следующий вопрос, который нас интересует, -

00:01:28.005 --> 00:01:32.007
это толщина круга. Насколько он широкий

00:01:32.007 --> 00:01:35.004
в своем самом широком месте?

00:01:35.004 --> 00:01:37.004
Если бы мы просто разрезали его

00:01:37.004 --> 00:01:38.005
в самом широком месте,

00:01:38.005 --> 00:01:41.008
чему бы равнялось это расстояние?

00:01:41.008 --> 00:01:42.033
Вместо этого места,

00:01:42.033 --> 00:01:44.040
я мог бы выбрать, например, это.

00:01:44.040 --> 00:01:46.004
Но я бы не стал резать его здесь потому,

00:01:46.004 --> 00:01:48.007
что это не самая широкая его часть.

00:01:48.007 --> 00:01:50.009
Есть много способов резать круг

00:01:50.009 --> 00:01:52.005
в самом широком месте.

00:01:52.005 --> 00:01:54.002
Мы только что определили радиус,

00:01:54.002 --> 00:01:56.004
и теперь мы видим, что самая широкая

00:01:56.004 --> 00:01:58.004
часть круга проходит через его центр

00:01:58.004 --> 00:02:01.002
и продолжается дальше, т.е. это два радиуса.

00:02:01.002 --> 00:02:03.086
Вот у нас есть один радиус и второй радиус.

00:02:03.086 --> 00:02:05.006
Расстояние между двумя точками

00:02:05.006 --> 00:02:07.005
в самой широкой части круга

00:02:07.005 --> 00:02:10.006
называется диаметром.

00:02:10.006 --> 00:02:13.000
Значит, это диаметр круга.

00:02:13.000 --> 00:02:16.001
У него очень простое отношение к радиусу:

00:02:16.001 --> 00:02:22.001
диаметр равен радиусу, умноженному на два.

00:02:22.001 --> 00:02:24.007
Теперь, следующий интересный момент,

00:02:24.007 --> 00:02:26.008
о котором следует подумать, –

00:02:26.008 --> 00:02:31.002
чему равно расстояние по границе круга?

00:02:31.002 --> 00:02:33.003
То есть, если бы вы взяли рулетку

00:02:33.003 --> 00:02:36.009
и измерили ею вокруг круга вот так,

00:02:36.009 --> 00:02:40.000
чему бы было равно это расстояние?

00:02:40.000 --> 00:02:47.008
Это называется длиной окружности круга.

00:02:47.008 --> 00:02:50.006
Мы уже знаем, как соотносится диаметр с радиусом,

00:02:50.006 --> 00:02:52.008
но как относится длина окружности,

00:02:52.008 --> 00:02:55.006
например, с диаметром?

00:02:55.006 --> 00:02:57.006
Если вы еще не привыкли к диаметру,

00:02:57.006 --> 00:02:58.008
мы можем вычислить то,

00:02:58.008 --> 00:03:00.009
как она относится к радиусу.

00:03:00.009 --> 00:03:04.000
Много тысяч лет назад люди брали мерные ленты

00:03:04.000 --> 00:03:07.007
и измеряли ими длину окружности и радиусы.

00:03:07.007 --> 00:03:10.000
Допустим, у них были плохие мерные ленты,

00:03:10.000 --> 00:03:12.002
они измерили длину окружности круга

00:03:12.002 --> 00:03:14.002
и получили приблизительно 3.

00:03:14.002 --> 00:03:17.072
Дальше они измерили радиус круга вот здесь

00:03:17.072 --> 00:03:20.009
или диаметр и решили, что, судя по всему,

00:03:20.009 --> 00:03:22.006
диаметр равен 1.

00:03:22.008 --> 00:03:26.004
Давайте я это запишу.

00:03:26.004 --> 00:03:29.007
Давайте не так. Нас волнует отношение.

00:03:29.007 --> 00:03:30.025
Давайте я запишу:

00:03:30.025 --> 00:03:36.006
«соотношение длины окружности с диаметром».

00:03:36.043 --> 00:03:39.075
Допустим, у людей был вот этот круг,

00:03:39.075 --> 00:03:43.025
и, измерив его окружность не слишком хорошей мерной лентой,

00:03:43.025 --> 00:03:45.052
они сказали, что это расстояние равно

00:03:45.052 --> 00:03:49.001
приблизительно 3 метрам.

00:03:49.001 --> 00:03:51.010
Если я измерю диаметр круга, я увижу,

00:03:51.010 --> 00:03:54.028
что он равен приблизительно 1.

00:03:54.028 --> 00:03:55.081
Это интересно. Возможно,

00:03:55.081 --> 00:03:58.075
отношение длины окружности к диаметру – 3:1?

00:03:58.075 --> 00:04:00.025
Т.е., возможно, длина окружности

00:04:00.025 --> 00:04:02.052
всегда в три раза больше диаметра?

00:04:02.052 --> 00:04:04.085
Это люди измеряли для одного круга,

00:04:04.085 --> 00:04:06.071
теперь, допустим, у них был другой круг.

00:04:06.071 --> 00:04:08.068
Вот такой. Я его нарисовал поменьше.

00:04:08.068 --> 00:04:12.009
Допустим, люди измеряли длину окружности этого круга

00:04:12.009 --> 00:04:14.018
(обозначим ее буквой «С») и нашли,

00:04:14.018 --> 00:04:17.085
что она примерно равна 6 сантиметров,

00:04:17.085 --> 00:04:19.087
помним – тогда были плохие рулетки.

00:04:19.087 --> 00:04:21.056
Затем люди определили,

00:04:21.056 --> 00:04:25.033
что диаметр равен грубо 2 сантиметрам.

00:04:25.033 --> 00:04:27.033
Значит, отношение длины окружности к диаметру

00:04:27.033 --> 00:04:30.083
снова примерно 3:1. Возможно, это свойство круга?

00:04:30.083 --> 00:04:33.018
Может быть, отношение длины окружности

00:04:33.018 --> 00:04:36.056
к диаметру всегда одинаково для любого круга?

00:04:36.056 --> 00:04:39.035
Люди решили, что нужно изучать дальше.

00:04:39.035 --> 00:04:41.083
Они достали мерные ленты получше.

00:04:41.083 --> 00:04:43.083
Когда мерные ленты стали лучше,

00:04:43.083 --> 00:04:47.087
люди определили, что диаметр равен точно 1.

00:04:47.087 --> 00:04:49.092
Мой диаметр равен ровно 1,

00:04:49.092 --> 00:04:51.087
но, когда я измеряю окружность,

00:04:51.087 --> 00:04:56.017
получается, что ее длина ближе к 3,1.

00:04:56.017 --> 00:04:57.093
То же самое вот здесь.

00:04:57.093 --> 00:05:01.060
Люди заметили, что это число ближе к 3,1.

00:05:01.060 --> 00:05:04.034
Они стали замерять точнее и точнее и поняли,

00:05:04.034 --> 00:05:06.072
что у них получается то же число.

00:05:06.072 --> 00:05:12.033
Они замеряли все лучше и лучше и получили 3,14159.

00:05:12.033 --> 00:05:16.036
Они продолжали дальше добавлять сюда цифры.

00:05:16.036 --> 00:05:18.051
Это было странное сверхъестественное число,

00:05:18.051 --> 00:05:21.034
которое появлялось снова и снова.

00:05:21.034 --> 00:05:23.084
Это число так важно для нашей Вселенной потому,

00:05:23.084 --> 00:05:26.026
что круг в ней является основополагающим,

00:05:26.026 --> 00:05:30.000
а это число одинаково для любого круга.

00:05:30.000 --> 00:05:31.075
Отношение длины окружности к диаметру

00:05:31.075 --> 00:05:34.009
было этим волшебным числом,

00:05:34.009 --> 00:05:37.043
которому дали название «число пи».

00:05:37.043 --> 00:05:41.017
Или можно написать его греческой буквой π.

00:05:41.017 --> 00:05:43.072
Эта буква представляет число π, которое, возможно,

00:05:43.072 --> 00:05:47.034
самое поразительное число в нашей Вселенной.

00:05:47.034 --> 00:05:48.063
Оно вначале появляется

00:05:48.063 --> 00:05:51.083
как отношение длины окружности к диаметру,

00:05:51.083 --> 00:05:54.017
но по мере путешествий по стране Математике

00:05:54.017 --> 00:05:57.084
вы узнаете, что это число появляется везде.

00:05:57.084 --> 00:06:02.025
Это одна из основополагающих вещей во Вселенной,

00:06:02.025 --> 00:06:04.083
доказывающих нам, что в ней есть свой порядок.

00:06:04.083 --> 00:06:06.056
Хорошо, но как нам использовать это

00:06:06.056 --> 00:06:08.043
в элементарной математике?

00:06:08.043 --> 00:06:11.000
Мы знаем, вернее я говорю вам,

00:06:11.000 --> 00:06:15.016
что отношение длины окружности к диаметру…

00:06:15.016 --> 00:06:17.072
когда я говорю «отношение», я имею в виду, что,

00:06:17.072 --> 00:06:20.041
если разделить длину окружности на диаметр,

00:06:20.041 --> 00:06:23.001
мы получим π.

00:06:23.048 --> 00:06:26.026
π – это просто число.

00:06:26.026 --> 00:06:30.025
Я мог бы написать 3,14159

00:06:30.025 --> 00:06:31.072
и продолжать дальше и дальше,

00:06:31.072 --> 00:06:34.001
но это заняло бы слишком много места,

00:06:34.001 --> 00:06:35.068
и было бы неудобно в расчетах,

00:06:35.068 --> 00:06:39.063
поэтому люди просто пишут греческую букву π здесь.

00:06:39.063 --> 00:06:42.010
Как нам вычислить это отношение?

00:06:42.010 --> 00:06:44.056
Мы можем перемножить обе части на диаметр,

00:06:44.056 --> 00:06:47.034
и мы можем сказать, что длина окружности

00:06:47.034 --> 00:06:49.075
равна π, умноженному на диаметр.

00:06:49.075 --> 00:06:52.068
Или поскольку диаметр равен радиусу, умноженному на 2,

00:06:52.068 --> 00:06:58.080
мы могли бы сказать, что С=π2r.

00:06:58.080 --> 00:07:03.056
Или запись, которую вы чаще встретите - 2πr.

00:07:03.056 --> 00:07:04.051
Давайте посмотрим,

00:07:04.051 --> 00:07:08.053
как это применить к некоторым задачам.

00:07:08.053 --> 00:07:13.026
Допустим, у меня есть вот такой круг,

00:07:13.026 --> 00:07:18.069
и у него есть радиус. Пусть радиус равен 3.

00:07:18.069 --> 00:07:21.043
Давайте я это запишу.

00:07:21.043 --> 00:07:24.053
Итак, радиус круга равен 3.

00:07:24.053 --> 00:07:28.075
Давайте добавим единицы измерения – пусть будет 3 м.

00:07:28.075 --> 00:07:33.018
Чему равна длина окружности этого круга?

00:07:33.018 --> 00:07:38.001
Длина окружности - это 2πr,

00:07:38.001 --> 00:07:42.056
что равняется 6 метрам, умноженным на π,

00:07:42.056 --> 00:07:46.051
или же 6π метров.

00:07:46.051 --> 00:07:49.001
Я могу это перемножить.

00:07:49.001 --> 00:07:52.041
Помните, что π – это всего лишь число.

00:07:52.041 --> 00:07:59.012
π=3,14159, и оно продолжается до бесконечности.

00:07:59.012 --> 00:08:01.072
Значит, если я умножу это число на 6,

00:08:01.072 --> 00:08:06.034
у меня должно получиться 18 с хвостиком.

00:08:06.034 --> 00:08:07.041
Если у вас есть калькулятор,

00:08:07.041 --> 00:08:08.080
вы можете это перемножить,

00:08:08.080 --> 00:08:12.012
но для удобства люди просто оставляют это в π.

00:08:12.012 --> 00:08:17.048
Я не знаю, сколько будет 6 умножить на 3,14159.

00:08:17.048 --> 00:08:19.025
Возможно, у вас получится что-то ближе

00:08:19.025 --> 00:08:23.080
к 19 или 18 - будет 18 с чем-то.

00:08:23.080 --> 00:08:25.051
У меня нет под рукой калькулятора.

00:08:25.051 --> 00:08:27.051
Но вместо того, чтобы писать это число,

00:08:27.051 --> 00:08:31.051
вы просто пишите здесь 6π.

00:08:31.051 --> 00:08:33.092
Теперь давайте ответим на другой вопрос.

00:08:33.092 --> 00:08:35.092
Чему равен диаметр круга?

00:08:35.092 --> 00:08:37.040
Если радиус равен 3,

00:08:37.040 --> 00:08:40.024
диаметр будет в два раза больше него,

00:08:40.024 --> 00:08:42.084
т.е. (3 умножить на 2 или 3 плюс 3)

00:08:42.084 --> 00:08:45.025
будет равняться 6 метров.

00:08:45.025 --> 00:08:47.044
Итак, длина окружности равна 6π,

00:08:47.044 --> 00:08:50.092
диаметр равен 6 метров, а радиус – 3 метра.

00:08:50.092 --> 00:08:55.018
Теперь давайте пойдем по другому пути.

00:08:55.018 --> 00:08:58.040
Допустим, у меня есть такой круг,

00:08:58.040 --> 00:09:02.084
и длина его окружности равна 10 метров.

00:09:02.084 --> 00:09:05.041
Это длина окружности нашего круга.

00:09:05.041 --> 00:09:08.071
Скажем, вы измерили его окружность рулеткой,

00:09:08.071 --> 00:09:10.001
и кто-то спросил у вас:

00:09:10.001 --> 00:09:13.051
«Чему равен диаметр этого круга?»

00:09:13.051 --> 00:09:16.000
Мы знаем, что диаметр, умноженный на π,

00:09:16.000 --> 00:09:19.008
или π, умноженное на диаметр, –

00:09:19.008 --> 00:09:23.036
это длина окружности. У нас она равна 10 метрам.

00:09:23.036 --> 00:09:24.067
Чтобы решить это уравнение,

00:09:24.067 --> 00:09:28.016
мы просто разделим обе его части на π.

00:09:28.016 --> 00:09:31.060
Диаметр будет равен 10 метрам, разделенным на π,

00:09:31.060 --> 00:09:34.025
или 10/π метров.

00:09:34.025 --> 00:09:36.034
Это просто число. Если у вас есть калькулятор,

00:09:36.034 --> 00:09:40.084
вы могли бы разделить 10 на 3,14159,

00:09:40.084 --> 00:09:44.033
и у вас получилось бы 3 с хвостиком метров.

00:09:44.033 --> 00:09:47.039
Я не могу разделить это в уме. Но это просто число.

00:09:47.039 --> 00:09:49.003
Однако, для удобства мы часто

00:09:49.003 --> 00:09:51.084
просто оставляем это в таком виде.

00:09:51.084 --> 00:09:53.063
Теперь. Чему равен радиус?

00:09:53.063 --> 00:09:55.067
Радиус равен половине диаметра.

00:09:55.067 --> 00:09:57.033
Если нам нужно найти радиус,

00:09:57.033 --> 00:09:59.060
мы просто умножаем это на ½.

00:09:59.060 --> 00:10:04.048
Итак, у вас получается ½ умножить на 10/π,

00:10:04.048 --> 00:10:09.063
равняется ½, умноженной на 10

00:10:09.063 --> 00:10:12.033
(или вы просто делите числитель и знаменатель

00:10:12.033 --> 00:10:18.050
на 2 и получаете 5 здесь), значит, ответ – 5/π.

00:10:18.050 --> 00:10:22.017
Т.е. радиус равен 5/π.

00:10:22.017 --> 00:10:23.072
Ничего в этом нет сверхсложного.

00:10:23.072 --> 00:10:26.060
Я думаю, что людей с толку сбивает непонимание того,

00:10:26.060 --> 00:10:28.072
что π – это число.

00:10:28.072 --> 00:10:34.048
π – это просто 3,14159 - и продолжается до бесконечности.

00:10:34.048 --> 00:10:36.060
Вообще-то, есть тысячи книг о числе π.

00:10:36.060 --> 00:10:38.055
Может быть, я преувеличиваю,

00:10:38.055 --> 00:10:41.020
но об этом числе можно писать книги.

00:10:41.020 --> 00:10:42.056
Это просто число.

00:10:42.056 --> 00:10:44.051
Однако это очень необычное число,

00:10:44.051 --> 00:10:46.051
и если бы вы хотели записать наш ответ,

00:10:46.051 --> 00:10:48.041
используя числа, как вы привыкли это делать,

00:10:48.041 --> 00:10:51.034
вам нужно было бы просто это перемножить.

00:10:51.034 --> 00:10:52.051
Но в большинстве случаев

00:10:52.051 --> 00:10:55.048
люди оставляют ответ с числом π.

00:10:55.048 --> 00:10:57.051
Ладно, на этом я заканчиваю.

00:10:57.051 --> 99:59:59.000
А в следующем видео мы с вами обсудим площадь круга.