0:00:05.004,0:00:06.003
По всей видимости,

0:00:06.003,0:00:08.086
круг – главная геометрическая фигура

0:00:08.086,0:00:10.006
в нашей Вселенной.

0:00:10.006,0:00:12.096
Достаточно посмотреть на форму орбит планет

0:00:12.096,0:00:14.039
или на колесо, или на то,

0:00:14.039,0:00:17.003
что можно увидеть на молекулярном уровне.

0:00:17.003,0:00:21.000
Круг будет встречаться повсюду снова и снова.

0:00:21.000,0:00:22.096
Поэтому, думаю, нам стоит

0:00:22.096,0:00:24.000
поговорить о его свойствах.

0:00:24.000,0:00:26.006
Во-первых, когда люди открыли для себя круг

0:00:26.006,0:00:29.009
(для этого достаточно было посмотреть на луну),

0:00:29.009,0:00:30.008
они подумали:

0:00:30.008,0:00:34.001
«Каковы же свойства любого круга?».

0:00:34.001,0:00:36.006
Прежде всего, они, возможно, сказали себе,

0:00:36.006,0:00:38.006
что круг – это все точки,

0:00:38.006,0:00:41.007
одинаково удаленные от центра.

0:00:41.007,0:00:43.003
Все эти точки по периметру

0:00:43.003,0:00:45.006
одинаково удалены от центра,

0:00:45.006,0:00:48.003
который находится вот здесь.

0:00:48.003,0:00:50.005
Следующее, что интересно узнать, -

0:00:50.005,0:00:53.003
это чему равно это расстояние,

0:00:53.003,0:00:54.008
одинаковое для всех точек,

0:00:54.008,0:00:57.001
на которое они удалены от центра?

0:00:57.001,0:01:01.005
Вот оно. Мы называем его радиусом.

0:01:01.005,0:01:05.006
Это просто расстояние от центра до краев круга.

0:01:05.006,0:01:09.002
Если этот радиус равен 3 см,

0:01:09.002,0:01:12.003
то этот радиус тоже будет равен 3 см.

0:01:12.003,0:01:14.050
И этот будет равен 3 см.

0:01:14.050,0:01:17.001
Его длина никогда не меняется.

0:01:17.001,0:01:19.008
По определению, круг – это все точки,

0:01:19.008,0:01:22.073
удаленные от центра на одинаковое расстояние,

0:01:22.073,0:01:26.002
и это расстояние называется радиусом.

0:01:26.002,0:01:28.005
Следующий вопрос, который нас интересует, -

0:01:28.005,0:01:32.007
это толщина круга. Насколько он широкий

0:01:32.007,0:01:35.004
в своем самом широком месте?

0:01:35.004,0:01:37.004
Если бы мы просто разрезали его

0:01:37.004,0:01:38.005
в самом широком месте,

0:01:38.005,0:01:41.008
чему бы равнялось это расстояние?

0:01:41.008,0:01:42.033
Вместо этого места,

0:01:42.033,0:01:44.040
я мог бы выбрать, например, это.

0:01:44.040,0:01:46.004
Но я бы не стал резать его здесь потому,

0:01:46.004,0:01:48.007
что это не самая широкая его часть.

0:01:48.007,0:01:50.009
Есть много способов резать круг

0:01:50.009,0:01:52.005
в самом широком месте.

0:01:52.005,0:01:54.002
Мы только что определили радиус,

0:01:54.002,0:01:56.004
и теперь мы видим, что самая широкая

0:01:56.004,0:01:58.004
часть круга проходит через его центр

0:01:58.004,0:02:01.002
и продолжается дальше, т.е. это два радиуса.

0:02:01.002,0:02:03.086
Вот у нас есть один радиус и второй радиус.

0:02:03.086,0:02:05.006
Расстояние между двумя точками

0:02:05.006,0:02:07.005
в самой широкой части круга

0:02:07.005,0:02:10.006
называется диаметром.

0:02:10.006,0:02:13.000
Значит, это диаметр круга.

0:02:13.000,0:02:16.001
У него очень простое отношение к радиусу:

0:02:16.001,0:02:22.001
диаметр равен радиусу, умноженному на два.

0:02:22.001,0:02:24.007
Теперь, следующий интересный момент,

0:02:24.007,0:02:26.008
о котором следует подумать, –

0:02:26.008,0:02:31.002
чему равно расстояние по границе круга?

0:02:31.002,0:02:33.003
То есть, если бы вы взяли рулетку

0:02:33.003,0:02:36.009
и измерили ею вокруг круга вот так,

0:02:36.009,0:02:40.000
чему бы было равно это расстояние?

0:02:40.000,0:02:47.008
Это называется длиной окружности круга.

0:02:47.008,0:02:50.006
Мы уже знаем, как соотносится диаметр с радиусом,

0:02:50.006,0:02:52.008
но как относится длина окружности,

0:02:52.008,0:02:55.006
например, с диаметром?

0:02:55.006,0:02:57.006
Если вы еще не привыкли к диаметру,

0:02:57.006,0:02:58.008
мы можем вычислить то,

0:02:58.008,0:03:00.009
как она относится к радиусу.

0:03:00.009,0:03:04.000
Много тысяч лет назад люди брали мерные ленты

0:03:04.000,0:03:07.007
и измеряли ими длину окружности и радиусы.

0:03:07.007,0:03:10.000
Допустим, у них были плохие мерные ленты,

0:03:10.000,0:03:12.002
они измерили длину окружности круга

0:03:12.002,0:03:14.002
и получили приблизительно 3.

0:03:14.002,0:03:17.072
Дальше они измерили радиус круга вот здесь

0:03:17.072,0:03:20.009
или диаметр и решили, что, судя по всему,

0:03:20.009,0:03:22.006
диаметр равен 1.

0:03:22.008,0:03:26.004
Давайте я это запишу.

0:03:26.004,0:03:29.007
Давайте не так. Нас волнует отношение.

0:03:29.007,0:03:30.025
Давайте я запишу:

0:03:30.025,0:03:36.006
«соотношение длины окружности с диаметром».

0:03:36.043,0:03:39.075
Допустим, у людей был вот этот круг,

0:03:39.075,0:03:43.025
и, измерив его окружность не слишком хорошей мерной лентой,

0:03:43.025,0:03:45.052
они сказали, что это расстояние равно

0:03:45.052,0:03:49.001
приблизительно 3 метрам.

0:03:49.001,0:03:51.010
Если я измерю диаметр круга, я увижу,

0:03:51.010,0:03:54.028
что он равен приблизительно 1.

0:03:54.028,0:03:55.081
Это интересно. Возможно,

0:03:55.081,0:03:58.075
отношение длины окружности к диаметру – 3:1?

0:03:58.075,0:04:00.025
Т.е., возможно, длина окружности

0:04:00.025,0:04:02.052
всегда в три раза больше диаметра?

0:04:02.052,0:04:04.085
Это люди измеряли для одного круга,

0:04:04.085,0:04:06.071
теперь, допустим, у них был другой круг.

0:04:06.071,0:04:08.068
Вот такой. Я его нарисовал поменьше.

0:04:08.068,0:04:12.009
Допустим, люди измеряли длину окружности этого круга

0:04:12.009,0:04:14.018
(обозначим ее буквой «С») и нашли,

0:04:14.018,0:04:17.085
что она примерно равна 6 сантиметров,

0:04:17.085,0:04:19.087
помним – тогда были плохие рулетки.

0:04:19.087,0:04:21.056
Затем люди определили,

0:04:21.056,0:04:25.033
что диаметр равен грубо 2 сантиметрам.

0:04:25.033,0:04:27.033
Значит, отношение длины окружности к диаметру

0:04:27.033,0:04:30.083
снова примерно 3:1. Возможно, это свойство круга?

0:04:30.083,0:04:33.018
Может быть, отношение длины окружности

0:04:33.018,0:04:36.056
к диаметру всегда одинаково для любого круга?

0:04:36.056,0:04:39.035
Люди решили, что нужно изучать дальше.

0:04:39.035,0:04:41.083
Они достали мерные ленты получше.

0:04:41.083,0:04:43.083
Когда мерные ленты стали лучше,

0:04:43.083,0:04:47.087
люди определили, что диаметр равен точно 1.

0:04:47.087,0:04:49.092
Мой диаметр равен ровно 1,

0:04:49.092,0:04:51.087
но, когда я измеряю окружность,

0:04:51.087,0:04:56.017
получается, что ее длина ближе к 3,1.

0:04:56.017,0:04:57.093
То же самое вот здесь.

0:04:57.093,0:05:01.060
Люди заметили, что это число ближе к 3,1.

0:05:01.060,0:05:04.034
Они стали замерять точнее и точнее и поняли,

0:05:04.034,0:05:06.072
что у них получается то же число.

0:05:06.072,0:05:12.033
Они замеряли все лучше и лучше и получили 3,14159.

0:05:12.033,0:05:16.036
Они продолжали дальше добавлять сюда цифры.

0:05:16.036,0:05:18.051
Это было странное сверхъестественное число,

0:05:18.051,0:05:21.034
которое появлялось снова и снова.

0:05:21.034,0:05:23.084
Это число так важно для нашей Вселенной потому,

0:05:23.084,0:05:26.026
что круг в ней является основополагающим,

0:05:26.026,0:05:30.000
а это число одинаково для любого круга.

0:05:30.000,0:05:31.075
Отношение длины окружности к диаметру

0:05:31.075,0:05:34.009
было этим волшебным числом,

0:05:34.009,0:05:37.043
которому дали название «число пи».

0:05:37.043,0:05:41.017
Или можно написать его греческой буквой π.

0:05:41.017,0:05:43.072
Эта буква представляет число π, которое, возможно,

0:05:43.072,0:05:47.034
самое поразительное число в нашей Вселенной.

0:05:47.034,0:05:48.063
Оно вначале появляется

0:05:48.063,0:05:51.083
как отношение длины окружности к диаметру,

0:05:51.083,0:05:54.017
но по мере путешествий по стране Математике

0:05:54.017,0:05:57.084
вы узнаете, что это число появляется везде.

0:05:57.084,0:06:02.025
Это одна из основополагающих вещей во Вселенной,

0:06:02.025,0:06:04.083
доказывающих нам, что в ней есть свой порядок.

0:06:04.083,0:06:06.056
Хорошо, но как нам использовать это

0:06:06.056,0:06:08.043
в элементарной математике?

0:06:08.043,0:06:11.000
Мы знаем, вернее я говорю вам,

0:06:11.000,0:06:15.016
что отношение длины окружности к диаметру…

0:06:15.016,0:06:17.072
когда я говорю «отношение», я имею в виду, что,

0:06:17.072,0:06:20.041
если разделить длину окружности на диаметр,

0:06:20.041,0:06:23.001
мы получим π.

0:06:23.048,0:06:26.026
π – это просто число.

0:06:26.026,0:06:30.025
Я мог бы написать 3,14159

0:06:30.025,0:06:31.072
и продолжать дальше и дальше,

0:06:31.072,0:06:34.001
но это заняло бы слишком много места,

0:06:34.001,0:06:35.068
и было бы неудобно в расчетах,

0:06:35.068,0:06:39.063
поэтому люди просто пишут греческую букву π здесь.

0:06:39.063,0:06:42.010
Как нам вычислить это отношение?

0:06:42.010,0:06:44.056
Мы можем перемножить обе части на диаметр,

0:06:44.056,0:06:47.034
и мы можем сказать, что длина окружности

0:06:47.034,0:06:49.075
равна π, умноженному на диаметр.

0:06:49.075,0:06:52.068
Или поскольку диаметр равен радиусу, умноженному на 2,

0:06:52.068,0:06:58.080
мы могли бы сказать, что С=π2r.

0:06:58.080,0:07:03.056
Или запись, которую вы чаще встретите - 2πr.

0:07:03.056,0:07:04.051
Давайте посмотрим,

0:07:04.051,0:07:08.053
как это применить к некоторым задачам.

0:07:08.053,0:07:13.026
Допустим, у меня есть вот такой круг,

0:07:13.026,0:07:18.069
и у него есть радиус. Пусть радиус равен 3.

0:07:18.069,0:07:21.043
Давайте я это запишу.

0:07:21.043,0:07:24.053
Итак, радиус круга равен 3.

0:07:24.053,0:07:28.075
Давайте добавим единицы измерения – пусть будет 3 м.

0:07:28.075,0:07:33.018
Чему равна длина окружности этого круга?

0:07:33.018,0:07:38.001
Длина окружности - это 2πr,

0:07:38.001,0:07:42.056
что равняется 6 метрам, умноженным на π,

0:07:42.056,0:07:46.051
или же 6π метров.

0:07:46.051,0:07:49.001
Я могу это перемножить.

0:07:49.001,0:07:52.041
Помните, что π – это всего лишь число.

0:07:52.041,0:07:59.012
π=3,14159, и оно продолжается до бесконечности.

0:07:59.012,0:08:01.072
Значит, если я умножу это число на 6,

0:08:01.072,0:08:06.034
у меня должно получиться 18 с хвостиком.

0:08:06.034,0:08:07.041
Если у вас есть калькулятор,

0:08:07.041,0:08:08.080
вы можете это перемножить,

0:08:08.080,0:08:12.012
но для удобства люди просто оставляют это в π.

0:08:12.012,0:08:17.048
Я не знаю, сколько будет 6 умножить на 3,14159.

0:08:17.048,0:08:19.025
Возможно, у вас получится что-то ближе

0:08:19.025,0:08:23.080
к 19 или 18 - будет 18 с чем-то.

0:08:23.080,0:08:25.051
У меня нет под рукой калькулятора.

0:08:25.051,0:08:27.051
Но вместо того, чтобы писать это число,

0:08:27.051,0:08:31.051
вы просто пишите здесь 6π.

0:08:31.051,0:08:33.092
Теперь давайте ответим на другой вопрос.

0:08:33.092,0:08:35.092
Чему равен диаметр круга?

0:08:35.092,0:08:37.040
Если радиус равен 3,

0:08:37.040,0:08:40.024
диаметр будет в два раза больше него,

0:08:40.024,0:08:42.084
т.е. (3 умножить на 2 или 3 плюс 3)

0:08:42.084,0:08:45.025
будет равняться 6 метров.

0:08:45.025,0:08:47.044
Итак, длина окружности равна 6π,

0:08:47.044,0:08:50.092
диаметр равен 6 метров, а радиус – 3 метра.

0:08:50.092,0:08:55.018
Теперь давайте пойдем по другому пути.

0:08:55.018,0:08:58.040
Допустим, у меня есть такой круг,

0:08:58.040,0:09:02.084
и длина его окружности равна 10 метров.

0:09:02.084,0:09:05.041
Это длина окружности нашего круга.

0:09:05.041,0:09:08.071
Скажем, вы измерили его окружность рулеткой,

0:09:08.071,0:09:10.001
и кто-то спросил у вас:

0:09:10.001,0:09:13.051
«Чему равен диаметр этого круга?»

0:09:13.051,0:09:16.000
Мы знаем, что диаметр, умноженный на π,

0:09:16.000,0:09:19.008
или π, умноженное на диаметр, –

0:09:19.008,0:09:23.036
это длина окружности. У нас она равна 10 метрам.

0:09:23.036,0:09:24.067
Чтобы решить это уравнение,

0:09:24.067,0:09:28.016
мы просто разделим обе его части на π.

0:09:28.016,0:09:31.060
Диаметр будет равен 10 метрам, разделенным на π,

0:09:31.060,0:09:34.025
или 10/π метров.

0:09:34.025,0:09:36.034
Это просто число. Если у вас есть калькулятор,

0:09:36.034,0:09:40.084
вы могли бы разделить 10 на 3,14159,

0:09:40.084,0:09:44.033
и у вас получилось бы 3 с хвостиком метров.

0:09:44.033,0:09:47.039
Я не могу разделить это в уме. Но это просто число.

0:09:47.039,0:09:49.003
Однако, для удобства мы часто

0:09:49.003,0:09:51.084
просто оставляем это в таком виде.

0:09:51.084,0:09:53.063
Теперь. Чему равен радиус?

0:09:53.063,0:09:55.067
Радиус равен половине диаметра.

0:09:55.067,0:09:57.033
Если нам нужно найти радиус,

0:09:57.033,0:09:59.060
мы просто умножаем это на ½.

0:09:59.060,0:10:04.048
Итак, у вас получается ½ умножить на 10/π,

0:10:04.048,0:10:09.063
равняется ½, умноженной на 10

0:10:09.063,0:10:12.033
(или вы просто делите числитель и знаменатель

0:10:12.033,0:10:18.050
на 2 и получаете 5 здесь), значит, ответ – 5/π.

0:10:18.050,0:10:22.017
Т.е. радиус равен 5/π.

0:10:22.017,0:10:23.072
Ничего в этом нет сверхсложного.

0:10:23.072,0:10:26.060
Я думаю, что людей с толку сбивает непонимание того,

0:10:26.060,0:10:28.072
что π – это число.

0:10:28.072,0:10:34.048
π – это просто 3,14159 - и продолжается до бесконечности.

0:10:34.048,0:10:36.060
Вообще-то, есть тысячи книг о числе π.

0:10:36.060,0:10:38.055
Может быть, я преувеличиваю,

0:10:38.055,0:10:41.020
но об этом числе можно писать книги.

0:10:41.020,0:10:42.056
Это просто число.

0:10:42.056,0:10:44.051
Однако это очень необычное число,

0:10:44.051,0:10:46.051
и если бы вы хотели записать наш ответ,

0:10:46.051,0:10:48.041
используя числа, как вы привыкли это делать,

0:10:48.041,0:10:51.034
вам нужно было бы просто это перемножить.

0:10:51.034,0:10:52.051
Но в большинстве случаев

0:10:52.051,0:10:55.048
люди оставляют ответ с числом π.

0:10:55.048,0:10:57.051
Ладно, на этом я заканчиваю.

0:10:57.051,99:59:59.000
А в следующем видео мы с вами обсудим площадь круга.