幂函数的链式法则

Sal对幂函数7^(x^2-x)求导，他用到了a^x的导数和链式法则

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我们来看函数

y = 7^ (x^2 -x)。

那么y的导数，

y相对于x的导数是多少？

同样，请暂停本视频，

看看你是否能自己解决这个问题。

看看这些被不同颜色标记的部分，

你可能马上看出来了，

这是一个复合函数

或者说可以看作一个复合函数。

如果有一个函数v(x),

它等于7^x,

而另一个函数u(x),

它等于x^2 - x,

那么这里，

y等于7的某个幂，

不是v(x),

而是v(u(x))。

函数u(x)等于x^2 - x 。

所以，这是v(u(x))，根据链式法则，

我们可以求出y对于x的导数。

这里你会看到不同的表示法，

有时写成v对于u求导，

即v’(u(x))

乘以u对于x的导数，

这是一种方法，

或者你可以说这个等于

这个等于v对于x求导，

错了，应该是v相对于u的导数，

dv/du乘以u对于x的导数，

u对于x的导数，

我们可以在这里应用其中一种方法。

那么v对于u的导数是多少？

v’(u(x))是多少？

我们知道，让我在这里写下来，

如果v(x) = 7^x,

v'(x)就等于，

我们已经在别的视频中证明了，

对基底不是e的幂求导，

结果是ln(7)*7^x。

所以，对v'(u(x)),

注意不是这里的这些x,

我们应该会有u(x)。

所以这里，

我们有ln(7)乘以，

不是7^x,

切记我们是取v’(u(x)),

所以是7^(x^2 - x)，

x^2 - x

然后我们乘以

u对x的导数。

而u’(x)等于

2x -1，

所以我们要乘以

2x - 1, 就这样，

这就是y对x的导数。

我们可以简化表达式，

或者写成不一样的表达式，

但是我们的主要目的是，看这里，

要对7的u(x)次幂

相对于u(x)求导。

我们把u(x)当作这里的x，

那么我们得到

ln(7)乘以7^(x^2 - x)，

然后乘以u’(x),

这就是链式法则的应用。