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幂函数的链式法则

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    我们来看函数
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    y = 7^ (x^2 -x)。
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    那么y的导数，
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    y相对于x的导数是多少？
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    同样，请暂停本视频，
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    看看你是否能自己解决这个问题。
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    看看这些被不同颜色标记的部分，
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    你可能马上看出来了，
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    这是一个复合函数
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    或者说可以看作一个复合函数。
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    如果有一个函数v(x),
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    它等于7^x,
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    而另一个函数u(x),
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    它等于x^2 - x,
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    那么这里，
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    y等于7的某个幂，
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    不是v(x),
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    而是v(u(x))。
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    函数u(x)等于
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    x^2 - x 。
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    所以，这是v(u(x))，根据链式法则，
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    我们可以求出y对于x的导数。
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    这里你会看到不同的表示法，
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    有时写成v对于u求导，
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    即v’(u(x))
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    乘以u对于x的导数，
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    这是一种方法，
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    或者你可以说这个等于
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    v对于x，
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    错了，应该是v相对于u的导数，
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    dv/du乘以u对于x的导数，
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    u对于x的导数，
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    我们可以在这里应用其中一种方法。
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    那么v对于u的导数是多少？
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    v’(u(x))是多少？
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    我们知道，让我在这里
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    写下来，如果v(x) = 7^x,
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    v'(x)就等于，我们已经在
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    别的视频中证明了，对基底不是e
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    的幂求导，
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    结果是ln(7)*7^x。
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    所以，对v(u(x)),
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    注意不是这里的这些x,
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    我们应该会有u(x)。
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    所以这里，我们有
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    ln(x)乘以，
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    不是7^x,
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    切记我们是取v’(u(x)),
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    所以是7^(x^2 - x)，
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    x^2 - x
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    然后我们乘以
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    u对x的导数。
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    而u’(x)等于
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    2x -1，
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    所以我们要乘以
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    2x - 1, 就这样，
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    这就是y对x的导数。
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    我们可以简化表达式，
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    或者写成不一样的表达式，
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    但是我们的主要目的是，看这里，
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    要对7的u(x)次幂
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    相对于u(x)求导。
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    我们把u(x)当作
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    这里的x，那么我们得到
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    ln(7)乘以7^(x^2 - x)，
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    然后乘以u’(x),
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    这里我们
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    用到了链式法则。
Title:
幂函数的链式法则
Description:

小萨对幂函数7^(x^2-x)求导，他用到了a^x的导数和链式法则

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
03:40

Chinese, Simplified subtitles

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