Divergence of telescoping series

Tutaq ki, bizdə

1 çıx 1 üstəgəl 1 çıx 1 üstəgəl 1
şəklində davam edən cəmimiz var.

Bu, sonsuz şəkildə davam edir və
cəmi siqma işarəsi ilə ifadə edə bilərik.

Burada n 1-dən sonsuzluğa qədər qiymətlər alır.

Burada sonsuz sayda hədlər
var, gəlin ilk həddə nəzər salaq,

onun müsbət 1 olmasını və sonra
hədlərin dəyişməyə davam etməsini istəyirik.

Deyə bilərik ki, bu, mənfi 1 üstü kiçik n çıx 1-dir.

Gəlin bunun doğruluğunu yoxlayaq.

n 1-ə bərabər olanda bu, mənfi 1 üstü 0-a,
yəni bu həddə bərabər olur.

n 2-ə bərabər olanda bu,
2 çıx 1 olur,

yəni mənfi 1 üstü 1 buna bərabər olur.

Bu, ardıcıllığı yazmağın bir yoludur.

İndi bilmək istədiyim odur ki,
bu ardıcıllıq sonlu qiymətə yaxınlaşırmı?

Yaxud, bunu başqa cür desək,
cəm nəyə bərabərdir?

Bunun sonlu cəmi varmı,

yoxsa bu ardıcıllıq dağılır?

Bunu ardıcıllığın xüsusi cəmlərini

yazaraq tapa bilərik.

Ardıcıllığın xüsusi cəmi.

Ardıcıllığın xüsusi cəmini tapanda indeksdə

böyük N yazacağam, beləliklə, xüsusi cəm

n 1-dən sonsuzluğa qədər deyil, böyük N-ə

qədər qiymət aldıqda
mənfi 1 üstü n çıx 1-ə bərabərdir.

Bunun nə demək olduğunu aydınlaşdırmaq
üçün 1 hədlə xüsusi cəmə nəzər salaq.

Kiçik n bərabərdir 1-dən
N bərabərdir 1-ə kimi olacaq.

Bu, sadəcə 1-ci həddə bərabər olacaq.

Yəni 1 olacaq.

S 2, 1 çıx 1-ə bərabər olacaq.

Bu, ilk iki həddin cəmi olacaq.

S 3, 1 çıx 1 üstəgəl 1 olacaq.

Bu, ilk üç şərtin cəmidir,
və əlbəttə ki,

1-ə bərabərdir.

Buradakı 0-a bərabərdir.

Davam etsək, S 4,

1 çıx 1 üstəgəl 1 çıx 1, yəni 0-dır.

Bir daha sual yaranır ki, bu cəm
hansısa sonlu qiymətə yaxınlaşırmı?

Siz bu videonu dayandırıb
verilmiş xüsusi cəmlərdən

istifadə edərək bu barədə
düşünə bilərsiniz.

Yığılan ardıcıllığa nəzər salaq,

sonsuz ardıcıllığın

yığılmasında,

böyük N

sonsuzluğa yaxınlaşdıqda limit xüsusi cəm

sonlu bir qiymətə bərabərdir.

Bura sonlu qiymət yazaq.

Bu limit nə olacaq?

Görək bunu yaza bilərikmi.

Bu, ümumilikdə, S N

olacaq.

Biz gördük ki, əgər böyük
N təkdirsə, bu, 1 olur.

Əgər böyük N cütdürsə, cəm 0 olur.

Gəlin belə yazaq, S N

N tək olanda 1-ə,

N cüt olanda 0-a bərabər olur.

Limit S N sonsuzluğa
yaxınlaşanda nəyə bərabərdir?

N sonsuzluğa yaxınlaşdıqca
limit S N nəyə bərabərdir?

Belə ki, limit təyin edilməyib.

Bu nöqtələr arasında dəyişməyə davam edir.

N-in qiyməti 1 vahid
artanda, cəm 1-dən 0-a dəyişir.

Bir vahid artanda, cəm 0-dan 1-ə çevrilir.

Əslində bu, sonlu bir qiymətə yaxınlaşmır.

Deməli, limit müəyyən edilməyib.

Onun ala biləcəyi qiymətlər məhduddur.

O, sadəcə ya 1, ya da 0 qiymətini ala bilir.

N sonsuzluğa yaxınlaşdıqca o,
müəyyən bir qiymətə yaxınlaşmır.

Nəticədə, burada deyə bilərik ki,

bu, dağılan ardıcıllıqdır.