Teorema do Valor Médio para integrais.

Temos muitos vídeos sobre
o teorema do valor médio,

mas eu vou revisar
isto um pouco,

para que possamos ver como
isto se conecta com o teorema

valor médio que aprendemos
em Cálculo Diferencial.

Como se conecta com
o que aprendemos

sobre valor médio de uma função
usando integrais definidas.

Assim, o teorema do valor médio nos diz
que se eu tenho alguma função f, que é

contínua, contínua no intervalo
fechado, então está

incluindo os pontos finais de a para b.

E é diferenciável,
é diferenciável,

de modo que a derivada é definida no

intervalo aberto de a para b,

então não necessariamente
precisa estar definida a

diferenciável nos limites desde que

seja diferenciável entre o limites.

Então nós sabemos.

Então sabemos que existe

algum valor, ou algum número ,

algum número c tal que

c está entre os dois pontos
finais de nosso intervalo.

Então, a é menor que c que é menor
que b, c está, portanto, neste intervalo.

E esta é a parte mais importante.

A parte importante é que a derivada,

a derivada da nossa função naquele ponto,

a derivado da função naquele ponto,

vocẽ pode usar como a
inclinação da linha tangente

naquele ponto, é igual, essencialmente, a

taxa média da variação sobre o intervalo.

Ou você pode pensar nisto como a
inclinação entre os dois pontos finais.

A inclinação entre os dois pontos finais

será a variação em y que será

a variação do valor de sua função, então
será f de b menos f de a, sobre b menos a.

E mais uma vez fazemos
isto, nós entramos em

muito mais detalhes
quando cobrimos isto

em cálculo diferencial,
mas só para lhe dar

uma visualização disto, porque
acho que é sempre útil.

O teorema do valor médio que aprendemos

em Cálculo Diferencial
apenas nos diz, olhe,

você sabe, se isto é a, e isto é b,

eu tenho minha função
fazendo algo interessante.

Então, isto é f de a, isto é f de b.

Portanto, esta quantidade bem aqui.

Onde está tomando a variação
do valor da função dividido.

Portanto, isto bem aqui é f de b.

f de b menos f de a é esta variação
no valor da nossa função,

dividida pela variação em nosso eixo x, é
nossa variação em y sobre variação em x.

Isso nos dá a inclinação, isto aqui
nos dá a inclinação desta linha.

A inclinação da linha que
conecta estes dois pontos.

Isto é essa quantidade, e este
teorema do valor médio

nos diz que há algum c entre

a e b onde você terá a mesma inclinação,
então poderá ser pelo menos um lugar.

Poderia ser bem ali, onde você
tem a mesma inclinação.

Existe um c, em que a inclinação
da linha tangente nesse ponto será

a mesma, isto aqui seria ac,

nós, na verdade,
teríamos um par de c's

É outro candidato a c.

Há pelo menos um c onde
a inclinação da linha

tangente é a mesma que a inclinação
média através do intervalo.

E, mais uma vez, temos que assumir que
f é contínua e f é diferenciável.

Agora, quando você ver
isto, isto pode

despertar algumas semelhanças
com o que vimos quando vimos

ou quando nós definimos,
acho que poderíamos dizer,

a fórmula para o valor
médio de uma função.

Lembre-se, o que vimos para o valor
médio da função, nós dissemos que,

o valor médio de uma função será
igual a um sobre de b menos a.

Note, um sobre b menos a,
você tem um b menos a no

denominador aqui, vezes a integral
definida de a até b de f de x dx.

Isto é interessante, porque aqui temos
uma derivada, aqui temos uma integral,

mas talvez se pudéssemos ligá-los, talvez
poderíamos conectar estas duas coisas.

Mas coisa que poderíamos dizer para você,
é que talvez pudéssemos reescrever, talvez

pudéssemos reescrever este numerador
aqui nesta forma, de alguma maneira.

E eu encorajo você a pausar o vídeo e ver

se você pode, e eu vou
lhe dar grande dica.

Ao invés de ser um f de x aqui, o que
acontece se houver um f linha de x?

Então, eu encorajo você a tentar de novo.

Mais uma vez, isto é, deixe-me reescrever.

Isto será igual a, isto aqui é
exatamente a mesma coisa que a

integral definida de a até b
de f linha de x dx.

Pense nisso.

Você tomará a anti-derivada de
f linha de x, que será f de x.

E você vai calculá-lo em b, f de b.

E depois, disto você irá subtrair
pelo calculado em a, menos f de a.

Estas duas coisas são idênticas.

E então você pode, é claro, dividi-lo.

Dividir por b menos a.

Agora, isto está começando
a ficar interessante.

Uma maneira de pensar sobre
isto é, deve haver um c,

deve haver um c que
assuma o valor médio.

Deve haver um c que, quando você calcula

a derivada em c, ela admite
o valor médio da derivada.

Uma outra maneira de
pensar sobre isso,

se fôssemos apenas escrever
g de x é igual a f linha de x,

então, chegaríamos muito
perto do que temos aqui.

Porque isto aqui será g de c,
lembre-se, f linha de c é a

mesma coisa que g de c,
é igual a um b menos a.

Então existe um c, onde g de c
é igual a um sobre b menos a,

vezes a integral definida de a
até b, de g de x dx.

f linha de x é a mesma coisa que g de x.

Uma outra maneira de pensar nisto,
esta é, realmente, uma outra forma

do teorema do valor médio, é o chamado
teorema do valor médio para integrais.

Teorema do valor médio para integrais.

Então, este é o-- eu vou
apenas escrever a sigla--

teorema do valor médio para
integrais, ou integração,

que essencialmente,
para lhe dar um sentido

um pouco mais formal, se você
tem alguma função g, então se g é,

na verdade, deixe-me descer um pouco.

Que nos diz que se g de x é contínua,
contínua neste intervalo fechado.

Indo de a até b, então existe

um c neste intervalo, onde
g de c é igual a, o que é isso?

Isto é o valor médio da função.

Existe um c em que
g de c é igual ao

valor médio de sua
função sobre a integral.

Esta foi a nossa definição de
valor médio de uma função.

Isto é apenas outra maneira de dizer

que você pode ver
alguns teoremas de

valor médio, e apenas
para lhe mostrar

que estão intimamente ligados,
estão usando notações diferentes.

Mas são, essencialmente,
as mesmas idéias do

teorema do valor médio
que você aprendeu no

Cálculo Diferencial, mas
agora com notação diferente.

E acho que poderia ter uma
interpretação diferente.

Estávamos pensando sobre
isso em Cálculo Diferencial.

Estávamos pensando em ter um ponto
onde a inclinação da linha tangente

da função naquele ponto
é a mesma que a taxa média.

Então, quando estávamos
no "modo diferencial",

pensávamos em termos de inclinações,
e inclinações das linhas tangentes.

E agora, quando estamos no
"modo integral", pensamos

mais em termos de valor médio,
valor médio da função.

Portanto, há algum c, onde g de c,

onde a função calculada neste
ponto é igual ao valor médio.

Então, uma outra maneira
de pensar sobre isto,

se eu fosse desenhar,

se eu fosse desenhar um g de x,

então, isto é x, este é o meu eixo y.

Este é o gráfico de y é igual a g de x,

que era a mesma coisa f linha de x,

nós apenas a reescrevemos agora para ser

mais consistente com nossa
fórmula de valor médio.

E estamos falando sobre
o intervalo de a até b.

Nós já vimos como calcular o valor médio.

Já vimos como calcular o valor médio,
portanto o valor médio talvez seja

isto aqui, que é g médio.

Então, o nosso valor médio é isto.

O teorema do valor médio
para integrais nos diz

que há algum c onde a nossa
função deve assumir, onde nossa

função deve assumir este
valor em c, considerando que

c está dentro, onde c
está neste intervalo.

Legendado por [Raul Guimaraes].