WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:03.800
Temos muitos vídeos sobre
o teorema do valor médio,

00:00:03.800 --> 00:00:06.710
mas eu vou revisar
isto um pouco,

00:00:06.710 --> 00:00:09.470
para que possamos ver como
isto se conecta com o teorema

00:00:09.470 --> 00:00:11.800
valor médio que aprendemos
em Cálculo Diferencial.

00:00:11.800 --> 00:00:13.470
Como se conecta com
o que aprendemos

00:00:13.470 --> 00:00:17.090
sobre valor médio de uma função
usando integrais definidas.

00:00:17.090 --> 00:00:23.581
Assim, o teorema do valor médio nos diz
que se eu tenho alguma função f, que é

00:00:23.581 --> 00:00:28.717
contínua, contínua no intervalo
fechado, então está

00:00:28.717 --> 00:00:30.884
incluindo os pontos finais de a para b.

00:00:30.884 --> 00:00:34.704
E é diferenciável,
é diferenciável,

00:00:34.704 --> 00:00:36.800
de modo que a derivada é definida no

00:00:36.800 --> 00:00:39.657
intervalo aberto de a para b,

00:00:39.657 --> 00:00:42.620
então não necessariamente
precisa estar definida a

00:00:42.620 --> 00:00:44.520
diferenciável nos limites desde que

00:00:44.520 --> 00:00:46.970
seja diferenciável entre o limites.

00:00:46.970 --> 00:00:48.240
Então nós sabemos.

00:00:48.240 --> 00:00:53.910
Então sabemos que existe

00:00:53.910 --> 00:00:58.880
algum valor, ou algum número ,

00:00:58.880 --> 00:01:07.722
algum número c tal que

00:01:07.722 --> 00:01:10.900
c está entre os dois pontos
finais de nosso intervalo.

00:01:10.900 --> 00:01:17.600
Então, a é menor que c que é menor
que b, c está, portanto, neste intervalo.

00:01:17.600 --> 00:01:22.940
E esta é a parte mais importante.

00:01:22.940 --> 00:01:24.800
A parte importante é que a derivada,

00:01:24.800 --> 00:01:27.130
a derivada da nossa função naquele ponto,

00:01:27.130 --> 00:01:28.820
a derivado da função naquele ponto,

00:01:28.820 --> 00:01:31.150
vocẽ pode usar como a
inclinação da linha tangente

00:01:31.150 --> 00:01:35.458
naquele ponto, é igual, essencialmente, a

00:01:35.458 --> 00:01:38.980
taxa média da variação sobre o intervalo.

00:01:38.980 --> 00:01:42.420
Ou você pode pensar nisto como a
inclinação entre os dois pontos finais.

00:01:42.420 --> 00:01:44.570
A inclinação entre os dois pontos finais

00:01:44.570 --> 00:01:47.130
será a variação em y que será

00:01:47.130 --> 00:01:56.610
a variação do valor de sua função, então
será f de b menos f de a, sobre b menos a.

00:01:56.610 --> 00:01:58.750
E mais uma vez fazemos
isto, nós entramos em

00:01:58.750 --> 00:02:00.870
muito mais detalhes
quando cobrimos isto

00:02:00.870 --> 00:02:03.070
em cálculo diferencial,
mas só para lhe dar

00:02:03.070 --> 00:02:06.190
uma visualização disto, porque
acho que é sempre útil.

00:02:06.190 --> 00:02:08.039
O teorema do valor médio que aprendemos

00:02:08.039 --> 00:02:10.650
em Cálculo Diferencial
apenas nos diz, olhe,

00:02:10.650 --> 00:02:14.140
você sabe, se isto é a, e isto é b,

00:02:14.140 --> 00:02:18.590
eu tenho minha função
fazendo algo interessante.

00:02:18.590 --> 00:02:22.460
Então, isto é f de a, isto é f de b.

00:02:22.790 --> 00:02:24.860
Portanto, esta quantidade bem aqui.

00:02:24.860 --> 00:02:27.740
Onde está tomando a variação
do valor da função dividido.

00:02:27.740 --> 00:02:30.420
Portanto, isto bem aqui é f de b.

00:02:30.420 --> 00:02:34.480
f de b menos f de a é esta variação
no valor da nossa função,

00:02:34.480 --> 00:02:38.650
dividida pela variação em nosso eixo x, é
nossa variação em y sobre variação em x.

00:02:38.650 --> 00:02:42.810
Isso nos dá a inclinação, isto aqui
nos dá a inclinação desta linha.

00:02:42.810 --> 00:02:47.600
A inclinação da linha que
conecta estes dois pontos.

00:02:47.600 --> 00:02:50.230
Isto é essa quantidade, e este
teorema do valor médio

00:02:50.230 --> 00:02:52.290
nos diz que há algum c entre

00:02:52.290 --> 00:02:56.730
a e b onde você terá a mesma inclinação,
então poderá ser pelo menos um lugar.

00:02:56.730 --> 00:03:00.414
Poderia ser bem ali, onde você
tem a mesma inclinação.

00:03:00.414 --> 00:03:04.829
Existe um c, em que a inclinação
da linha tangente nesse ponto será

00:03:04.829 --> 00:03:07.496
a mesma, isto aqui seria ac,

00:03:07.496 --> 00:03:09.410
nós, na verdade, 
teríamos um par de c's

00:03:09.410 --> 00:03:10.560
É outro candidato a c.

00:03:10.560 --> 00:03:12.680
Há pelo menos um c onde
a inclinação da linha

00:03:12.680 --> 00:03:16.970
tangente é a mesma que a inclinação
média através do intervalo.

00:03:16.970 --> 00:03:21.230
E, mais uma vez, temos que assumir que
f é contínua e f é diferenciável.

00:03:21.230 --> 00:03:24.360
Agora, quando você ver
isto, isto pode

00:03:24.360 --> 00:03:27.080
despertar algumas semelhanças
com o que vimos quando vimos

00:03:27.080 --> 00:03:29.470
ou quando nós definimos,
acho que poderíamos dizer,

00:03:29.470 --> 00:03:31.990
a fórmula para o valor
médio de uma função.

00:03:31.990 --> 00:03:37.650
Lembre-se, o que vimos para o valor
médio da função, nós dissemos que,

00:03:37.650 --> 00:03:42.647
o valor médio de uma função será
igual a um sobre de b menos a.

00:03:42.647 --> 00:03:45.582
Note, um sobre b menos a,
você tem um b menos a no

00:03:45.582 --> 00:03:53.380
denominador aqui, vezes a integral
definida de a até b de f de x dx.

00:03:53.380 --> 00:03:59.320
Isto é interessante, porque aqui temos
uma derivada, aqui temos uma integral,

00:03:59.320 --> 00:04:04.940
mas talvez se pudéssemos ligá-los, talvez
poderíamos conectar estas duas coisas.

00:04:05.590 --> 00:04:09.566
Mas coisa que poderíamos dizer para você,
é que talvez pudéssemos reescrever, talvez

00:04:09.566 --> 00:04:15.630
pudéssemos reescrever este numerador
aqui nesta forma, de alguma maneira.

00:04:15.630 --> 00:04:17.583
E eu encorajo você a pausar o vídeo e ver

00:04:17.583 --> 00:04:21.420
se você pode, e eu vou
lhe dar grande dica.

00:04:21.420 --> 00:04:24.860
Ao invés de ser um f de x aqui, o que
acontece se houver um f linha de x?

00:04:24.860 --> 00:04:27.390
Então, eu encorajo você a tentar de novo.

00:04:27.390 --> 00:04:29.490
Mais uma vez, isto é, deixe-me reescrever.

00:04:29.490 --> 00:04:33.730
Isto será igual a, isto aqui é
exatamente a mesma coisa que a

00:04:33.730 --> 00:04:40.270
integral definida de a até b
de f linha de x dx.

00:04:40.270 --> 00:04:41.090
Pense nisso.

00:04:41.090 --> 00:04:44.750
Você tomará a anti-derivada de
f linha de x, que será f de x.

00:04:44.750 --> 00:04:46.600
E você vai calculá-lo em b, f de b.

00:04:46.600 --> 00:04:50.990
E depois, disto você irá subtrair
pelo calculado em a, menos f de a.

00:04:50.990 --> 00:04:52.960
Estas duas coisas são idênticas.

00:04:52.960 --> 00:04:55.800
E então você pode, é claro, dividi-lo.

00:04:55.800 --> 00:04:59.970
Dividir por b menos a.

00:04:59.970 --> 00:05:03.000
Agora, isto está começando
a ficar interessante.

00:05:03.000 --> 00:05:08.756
Uma maneira de pensar sobre
isto é, deve haver um c,

00:05:08.756 --> 00:05:11.827
deve haver um c que
assuma o valor médio.

00:05:11.827 --> 00:05:15.729
Deve haver um c que, quando você calcula

00:05:15.729 --> 00:05:20.711
a derivada em c, ela admite
o valor médio da derivada.

00:05:20.711 --> 00:05:23.728
Uma outra maneira de
pensar sobre isso,

00:05:23.728 --> 00:05:31.360
se fôssemos apenas escrever
g de x é igual a f linha de x,

00:05:31.360 --> 00:05:33.720
então, chegaríamos muito
perto do que temos aqui.

00:05:33.720 --> 00:05:39.350
Porque isto aqui será g de c,
lembre-se, f linha de c é a

00:05:39.350 --> 00:05:48.630
mesma coisa que g de c,
é igual a um b menos a.

00:05:48.630 --> 00:05:53.160
Então existe um c, onde g de c
é igual a um sobre b menos a,

00:05:53.160 --> 00:06:00.545
vezes a integral definida de a
até b, de g de x dx.

00:06:00.545 --> 00:06:02.790
f linha de x é a mesma coisa que g de x.

00:06:02.790 --> 00:06:06.120
Uma outra maneira de pensar nisto,
esta é, realmente, uma outra forma

00:06:06.120 --> 00:06:09.870
do teorema do valor médio, é o chamado
teorema do valor médio para integrais.

00:06:09.870 --> 00:06:11.680
Teorema do valor médio para integrais.

00:06:11.680 --> 00:06:15.278
Então, este é o-- eu vou 
apenas escrever a sigla--

00:06:15.278 --> 00:06:22.160
teorema do valor médio para
integrais, ou integração,

00:06:22.160 --> 00:06:24.450
que essencialmente,
para lhe dar um sentido

00:06:24.450 --> 00:06:30.250
um pouco mais formal, se você
tem alguma função g, então se g é,

00:06:30.250 --> 00:06:33.100
na verdade, deixe-me descer um pouco.

00:06:33.100 --> 00:06:41.790
Que nos diz que se g de x é contínua,
contínua neste intervalo fechado.

00:06:41.790 --> 00:06:50.630
Indo de a até b, então existe 


00:06:51.460 --> 00:06:57.480
um c neste intervalo, onde
g de c é igual a, o que é isso?

00:06:57.480 --> 00:07:00.610
Isto é o valor médio da função.

00:07:00.610 --> 00:07:07.565
Existe um c em que
g de c é igual ao

00:07:07.565 --> 00:07:10.960
valor médio de sua
função sobre a integral.

00:07:10.960 --> 00:07:14.290
Esta foi a nossa definição de
valor médio de uma função.

00:07:14.290 --> 00:07:16.300
Isto é apenas outra maneira de dizer

00:07:16.300 --> 00:07:18.020
que você pode ver
alguns teoremas de

00:07:18.020 --> 00:07:20.280
valor médio, e apenas
para lhe mostrar

00:07:20.280 --> 00:07:23.660
que estão intimamente ligados,
estão usando notações diferentes.

00:07:23.660 --> 00:07:27.110
Mas são, essencialmente,
as mesmas idéias do

00:07:27.110 --> 00:07:29.490
teorema do valor médio
que você aprendeu no

00:07:29.490 --> 00:07:32.030
Cálculo Diferencial, mas
agora com notação diferente.

00:07:32.030 --> 00:07:34.420
E acho que poderia ter uma
interpretação diferente.

00:07:34.420 --> 00:07:36.930
Estávamos pensando sobre
isso em Cálculo Diferencial.

00:07:36.930 --> 00:07:40.710
Estávamos pensando em ter um ponto
onde a inclinação da linha tangente

00:07:40.710 --> 00:07:43.950
da função naquele ponto
é a mesma que a taxa média.

00:07:43.950 --> 00:07:46.090
Então, quando estávamos
no "modo diferencial",

00:07:46.090 --> 00:07:49.490
pensávamos em termos de inclinações,
e inclinações das linhas tangentes.

00:07:49.490 --> 00:07:51.930
E agora, quando estamos no
"modo integral", pensamos

00:07:51.930 --> 00:07:55.680
mais em termos de valor médio,
valor médio da função.

00:07:55.680 --> 00:07:59.580
Portanto, há algum c, onde g de c,

00:07:59.580 --> 00:08:03.930
onde a função calculada neste
ponto é igual ao valor médio.

00:08:03.930 --> 00:08:06.680
Então, uma outra maneira
de pensar sobre isto,

00:08:06.680 --> 00:08:11.440
se eu fosse desenhar,

00:08:11.440 --> 00:08:17.120
se eu fosse desenhar um g de x,

00:08:17.120 --> 00:08:20.810
então, isto é x, este é o meu eixo y.

00:08:20.810 --> 00:08:25.230
Este é o gráfico de y é igual a g de x,

00:08:25.230 --> 00:08:27.250
que era a mesma coisa f linha de x,

00:08:27.250 --> 00:08:29.940
nós apenas a reescrevemos agora para ser

00:08:29.940 --> 00:08:32.600
mais consistente com nossa
fórmula de valor médio.

00:08:32.600 --> 00:08:37.340
E estamos falando sobre
o intervalo de a até b.

00:08:37.340 --> 00:08:39.794
Nós já vimos como calcular o valor médio.

00:08:39.794 --> 00:08:45.290
Já vimos como calcular o valor médio,
portanto o valor médio talvez seja

00:08:45.290 --> 00:08:50.610
isto aqui, que é g médio.

00:08:50.610 --> 00:08:52.240
Então, o nosso valor médio é isto.

00:08:52.240 --> 00:08:54.430
O teorema do valor médio
para integrais nos diz

00:08:54.430 --> 00:08:57.500
que há algum c onde a nossa
função deve assumir, onde nossa

00:08:57.500 --> 00:09:00.470
função deve assumir este
valor em c, considerando que

00:09:00.470 --> 00:09:05.690
c está dentro, onde c
está neste intervalo.

00:09:05.703 --> 00:09:05.953
Legendado por [Raul Guimaraes].