Temos muitos vídeos sobre o teorema do valor médio, mas eu vou revisar isto um pouco, para que possamos ver como isto se conecta com o teorema valor médio que aprendemos em Cálculo Diferencial. Como se conecta com o que aprendemos sobre valor médio de uma função usando integrais definidas. Assim, o teorema do valor médio nos diz que se eu tenho alguma função f, que é contínua, contínua no intervalo fechado, então está incluindo os pontos finais de a para b. E é diferenciável, é diferenciável, de modo que a derivada é definida no intervalo aberto de a para b, então não necessariamente precisa estar definida a diferenciável nos limites desde que seja diferenciável entre o limites. Então nós sabemos. Então sabemos que existe algum valor, ou algum número , algum número c tal que c está entre os dois pontos finais de nosso intervalo. Então, a é menor que c que é menor que b, c está, portanto, neste intervalo. E esta é a parte mais importante. A parte importante é que a derivada, a derivada da nossa função naquele ponto, a derivado da função naquele ponto, vocẽ pode usar como a inclinação da linha tangente naquele ponto, é igual, essencialmente, a taxa média da variação sobre o intervalo. Ou você pode pensar nisto como a inclinação entre os dois pontos finais. A inclinação entre os dois pontos finais será a variação em y que será a variação do valor de sua função, então será f de b menos f de a, sobre b menos a. E mais uma vez fazemos isto, nós entramos em muito mais detalhes quando cobrimos isto em cálculo diferencial, mas só para lhe dar uma visualização disto, porque acho que é sempre útil. O teorema do valor médio que aprendemos em Cálculo Diferencial apenas nos diz, olhe, você sabe, se isto é a, e isto é b, eu tenho minha função fazendo algo interessante. Então, isto é f de a, isto é f de b. Portanto, esta quantidade bem aqui. Onde está tomando a variação do valor da função dividido. Portanto, isto bem aqui é f de b. f de b menos f de a é esta variação no valor da nossa função, dividida pela variação em nosso eixo x, é nossa variação em y sobre variação em x. Isso nos dá a inclinação, isto aqui nos dá a inclinação desta linha. A inclinação da linha que conecta estes dois pontos. Isto é essa quantidade, e este teorema do valor médio nos diz que há algum c entre a e b onde você terá a mesma inclinação, então poderá ser pelo menos um lugar. Poderia ser bem ali, onde você tem a mesma inclinação. Existe um c, em que a inclinação da linha tangente nesse ponto será a mesma, isto aqui seria ac, nós, na verdade, teríamos um par de c's É outro candidato a c. Há pelo menos um c onde a inclinação da linha tangente é a mesma que a inclinação média através do intervalo. E, mais uma vez, temos que assumir que f é contínua e f é diferenciável. Agora, quando você ver isto, isto pode despertar algumas semelhanças com o que vimos quando vimos ou quando nós definimos, acho que poderíamos dizer, a fórmula para o valor médio de uma função. Lembre-se, o que vimos para o valor médio da função, nós dissemos que, o valor médio de uma função será igual a um sobre de b menos a. Note, um sobre b menos a, você tem um b menos a no denominador aqui, vezes a integral definida de a até b de f de x dx. Isto é interessante, porque aqui temos uma derivada, aqui temos uma integral, mas talvez se pudéssemos ligá-los, talvez poderíamos conectar estas duas coisas. Mas coisa que poderíamos dizer para você, é que talvez pudéssemos reescrever, talvez pudéssemos reescrever este numerador aqui nesta forma, de alguma maneira. E eu encorajo você a pausar o vídeo e ver se você pode, e eu vou lhe dar grande dica. Ao invés de ser um f de x aqui, o que acontece se houver um f linha de x? Então, eu encorajo você a tentar de novo. Mais uma vez, isto é, deixe-me reescrever. Isto será igual a, isto aqui é exatamente a mesma coisa que a integral definida de a até b de f linha de x dx. Pense nisso. Você tomará a anti-derivada de f linha de x, que será f de x. E você vai calculá-lo em b, f de b. E depois, disto você irá subtrair pelo calculado em a, menos f de a. Estas duas coisas são idênticas. E então você pode, é claro, dividi-lo. Dividir por b menos a. Agora, isto está começando a ficar interessante. Uma maneira de pensar sobre isto é, deve haver um c, deve haver um c que assuma o valor médio. Deve haver um c que, quando você calcula a derivada em c, ela admite o valor médio da derivada. Uma outra maneira de pensar sobre isso, se fôssemos apenas escrever g de x é igual a f linha de x, então, chegaríamos muito perto do que temos aqui. Porque isto aqui será g de c, lembre-se, f linha de c é a mesma coisa que g de c, é igual a um b menos a. Então existe um c, onde g de c é igual a um sobre b menos a, vezes a integral definida de a até b, de g de x dx. f linha de x é a mesma coisa que g de x. Uma outra maneira de pensar nisto, esta é, realmente, uma outra forma do teorema do valor médio, é o chamado teorema do valor médio para integrais. Teorema do valor médio para integrais. Então, este é o-- eu vou apenas escrever a sigla-- teorema do valor médio para integrais, ou integração, que essencialmente, para lhe dar um sentido um pouco mais formal, se você tem alguma função g, então se g é, na verdade, deixe-me descer um pouco. Que nos diz que se g de x é contínua, contínua neste intervalo fechado. Indo de a até b, então existe um c neste intervalo, onde g de c é igual a, o que é isso? Isto é o valor médio da função. Existe um c em que g de c é igual ao valor médio de sua função sobre a integral. Esta foi a nossa definição de valor médio de uma função. Isto é apenas outra maneira de dizer que você pode ver alguns teoremas de valor médio, e apenas para lhe mostrar que estão intimamente ligados, estão usando notações diferentes. Mas são, essencialmente, as mesmas idéias do teorema do valor médio que você aprendeu no Cálculo Diferencial, mas agora com notação diferente. E acho que poderia ter uma interpretação diferente. Estávamos pensando sobre isso em Cálculo Diferencial. Estávamos pensando em ter um ponto onde a inclinação da linha tangente da função naquele ponto é a mesma que a taxa média. Então, quando estávamos no "modo diferencial", pensávamos em termos de inclinações, e inclinações das linhas tangentes. E agora, quando estamos no "modo integral", pensamos mais em termos de valor médio, valor médio da função. Portanto, há algum c, onde g de c, onde a função calculada neste ponto é igual ao valor médio. Então, uma outra maneira de pensar sobre isto, se eu fosse desenhar, se eu fosse desenhar um g de x, então, isto é x, este é o meu eixo y. Este é o gráfico de y é igual a g de x, que era a mesma coisa f linha de x, nós apenas a reescrevemos agora para ser mais consistente com nossa fórmula de valor médio. E estamos falando sobre o intervalo de a até b. Nós já vimos como calcular o valor médio. Já vimos como calcular o valor médio, portanto o valor médio talvez seja isto aqui, que é g médio. Então, o nosso valor médio é isto. O teorema do valor médio para integrais nos diz que há algum c onde a nossa função deve assumir, onde nossa função deve assumir este valor em c, considerando que c está dentro, onde c está neste intervalo. Legendado por [Raul Guimaraes].