Linear Transformation Examples: Rotations in R2

Linear Transformation Examples: Rotations in R2

Vaatame,kas saame luua lineaarteisenduse, mis on

rotatsiooni teisendus mingi nurga teeta võrra

Mis see teeb: see võtab iga vektori R2-st ja see kujutab

seööe pööratud vektoriks

Teistmoodi öeldes, mingi vektori x pööramine on võrdne

vastupidiste vektori nurga suuruse pööre

x-i

Seda me tahame luua, kasutades oma

uue lineaarteisenduse vahendeid.

Et olla kindlad, et me seda üldse teha saame,

peame veenduma, et seal üldse on lineaarteisendus.

Ma teen seda visuaalselt.

Mul pole isegi matemaatilist definitsiooni

selle jaoks (veel)

Definitsioon on sama hea, kui te siiamaani teate.

Las ma joonistan siia kirelt mõne telje

Ma pean natukene korralikumalt tegema

niisiis, see on mu vertikaalne telg.

See on horisontaalne telg.

Nimetame selle x1-ks

ja selle x2-teljeks.

Viimases videos kutsusin ma neid x-ks ja y-iks.

See on vektori esimene komponent.

See on vektori teine komponent, kui mul on

mingi vektor x nii, me teame, et vastupidine pööre

näeks välja nii.

Ma teen pööramised siniselt.

See näeb välja nii, kus see nurk

siin on teeta.

See on siin on x-i pööre

teeta nurga võrra.

See on mis see vektor siin on.

Mida me peame tegema, et olla kindlad

et see on lineaarne kombinatsioon?

Me peame näitama kahte asja.

Me peame näidama, et teisendus,

pööre teeta võrra, kahe vektori summa, on

võrdeline iga eraldiseisva pöördega.

Vektor x-i pööre pluss

y-i pööre.

Ja ma näitan seda visuaalselt.

See on vektor x.

Ütleme, et vektor y näeb välja umbes selline,

las ma joonistan originaalvektori siia kollaselt.

Ütleme, et vektor y näeb välja selline.

See on siis y.

Mis on siis x pluss y?

Võtame asjad kokku.

Kui me liigutame y siia üles, on see samuti vektor y, mitte

joonistatuna tavalises asukohas, aga x pluss y oleks siis

päris sarnane sellega.

Las ma joonistan natukene korralikumalt. X pluss y

näeks välja selline.

See oleks vektor x pluss y.

Ja milline selle rotatsioon teeta võrra välja

näeks?

Mis on pöördenurk, kui ma lihtsalt pööraksin seda

teeta võrra?

Ma lihtsustan, see oleks

midagi sellist.

See siin oleks teeta pluss x pluss y

pööre.

Nüüd vaatame, kas see on sama, kui me pööraksime x-i

siis y-it ja liidaksime tulemused kokku.

Mis on y, kui me pöörame seda nurga teeta võrra?

Kui me pöörame y-it teeta võrra, siis see

näeb välja umbes selline - see on lihtustus.

Ma peaksin seda tegema joonlaua ja malliga.

Võib-olla näeks see välja midagi sellist - y-i pööre

teeta võrra just siin.

See on see sama teeta, mida

ma olen korduvalt kasutanud.

Las ma teen selle värviliselt, et sa näeksid.

See siin on vektor.

X-i pööre on siin.

Kui me lisame x-i pöörde pluss y-i pöörde

natuke segane, aga ma arvan, et te saate aru.

See siin on x-i pööre pluss y-i pööre.

Sa saad x pluss y nurga.

Vähemalt visuaalselt

see rahuldas esimest olukorda.

Nüüd on meil teine olukord, mida me vajame, et see oleks

kehtiv lineaarteisendus, teeta võrra keeramine,

suurendatud vektori versioonist, peaks olema

võrdne pööratud vektoriga.

Ma teen ühe visuaalse näite.

See on mu vertikaaltelg.

See on mu horistonaaltelg, ja ütleme, et see

on vektor x.

Nüüd, joonistame suurendatud versiooni vektorist.

Suurendatud versioon x-ist on täselt sama nagu x, kuid

seda on natukene suurendatud,

see läheb siia välja.

See on c korda x ja nüüd ma keeran seda

teeta võrra.

Kui me keerame seda teeta võrra, siis sa saad

vektori, mis näeb välja umbes selline.

Keerutan vastupidiselt.

See vektor on pööratud teeta võrra vastupidises suunas

c-st, x.

See ongi siin.

Mis juhtub, kui me pöörame x-i esimesena.

Kui me pöörame x-i esimesena, saame selle vektori

siin.

See siin on x, keeratud nurga teeta võrra

ja me suurendasime seda.

Me näeme, et see on sama

kui me korrutaksime vekotrit c-ga, see vektor pikeneb,

samamoodi nagu me korrutaksime seda c-ga.

Visuaalselt, olen ma näidanud

see töötab.

Nurga võrra keeramine on kindlasti lineaarteisendus,

vähemalt nii nagu ma teile näidanud olen.

Nüüd, loome matemaatilise

definitsiooni sellele..

Loome maatriksi, mis teeb sellise

teisenduse.

Ütleme, et rotatsiooni teisendus R2-st R2-te

sama vektori x-i kohta, saab defineerida mingi 2 korda 2 maatriksi kaudu.

Ja see on 2 korda 2, kuna see on kujutus R2-st R2-te

korda suvaline vektor x.

Ja ma saan seda teha, kuna ma olen visuaalselt näidanud,

et see on tõepoolest lineaarteisendus.

Ja kuidas ma leian A?

Nii, ma alustan - kuna see oli kujutus R2-st--

Ma alustan ühikmaatriksiga R2-s, mis on

1, 0, 0, 1.

Selle veerud on R2 põhivektorid, õige?

Olgu see e1 ja see e2.

Et leida A, me peame läbi tegema

teisenduse igas veerus.

Las ma kirjutan selle.

A--meie maatriks A--saam olema--esimene veerg sellest

on rotatsiooni teisendus vektori 1,0

peal.

Ja teine veerg on rotatsioonteisendus

---siin on natukene andmeid, mille kirjutamine mul ununeb

---korda teise veeru vektor--või

teisendus sellest, 0, 1.

Selline näebki välja A.

Kuidas me leiame mis need on?

Ma üritan mõnede numbriteni jõuda, aga nii

see mul ei õnnestu, proovime niiviisi.

Ma joonistav veel telgesid.

Las ma valine teistsuguse värvi, ma teen selle halliga.

See on mu vertikaaltelg.

See -- horisontaaltelg.

Nimetan selle x-1 teljeks ja selle x2-ks..

Nüüd, see alusvektor e1, milline see on?

No, see on 1 horisontaalselt x1 on 1 ja x2 on 0.

See on siin 1, e1 näeb välja selline,

Las ma teen teist värvi.

e1 on see siin.

Las ma kirjutan milline e2 on, see on...

ma teen kollases--e2 on..

nagu see siin.

e2-- see on see vektor 0,1.

See on 1 meie x2 suunas.

Kui ma keeran e1-te mingi nurga teeta võrra, mille me saame?

Pööran teeta võrra--ma teen selle värviga

---selle pikkus on ikka 1, kuid

see pöördub niiviisi, see nurk

siin on teeta.

See siin on e1 pööramine nurga teeta võrra.

Need on kõik vektorid, muidugi.

See on mis see on.

Nüüd, mis on selle koordinaadid?

Või kuiads me täpsustame selle uue vektori?

Saame natuken lammutada trigonomeetrias.

Selle uus x1 koordinaat--me nimetame seda--või selle x1

sisend, on see pikkus siin.

Niisiis, kui me joonistame kolmnurga, see on see külg

mis on haar teetale.

See kül on hüpotenuus, mille pikkus on 1.

Kuidas me selle külje leiame?

Kui me kutsume seda haaraks.

Haar üle hüpotenuusi.

Haar----las ma kirjutan siia

Haar jagatud hüpotenuusiga, mis on lihtsalt 1, on võrdne

cos(teetaga).

See tuleb SOH-CHA-TOA, Las ma kirjutan.

Koosiinus on lähiskaatet jagatud hüpotenuusiga ja vastaskaatet

saab meie uus x1 olema.

Me ei saa lihtsalt eirata, et 1, a jagatud 1

on võrdne koosinus teetaga, mis tähendab et see on

võrdne koosinus teetaga, mis tähendab, et pööratud

vektori pikkus on koosinus teeta.

Selle horisontaalne komponent või selle horistonaalne kooridnaat on

võrdne koosinus teetast.

Nii, mis selle vertikaalne komponent on?

See on selle kõrgus siin,

mis on sama mis kõrgus siin.

Või siinus teetast-- vastandarv----

---siinus teetas on võrdne vastaskaatet jagatud ühega.

See on võrdne siinus teetaga, jah?

See jagatud ühega, mis on võrdne

siinus teeta, SOH-KAH-TOA-st

See vertikaalkomponent on võrdne siinus teetast.

Uus pööratud alsuvektor, selle saab kirjutada kui,

koosinus teetast, selle x-i komponendi, või selle

horisontaalkomponendi.

Ja siinus teetast selle vertikaalkomponendiks.

See on uus roteeritud alsuvektor.

Nüüd e2?

Me saame siin midagi väga sarnast teha, e2 on lõpus

selline, kui sa keerad seda

nurga teeta võrra.

See tuleb selline.

See nurk siin on teeta.

Me saame siia äikse kolmnurga.

Kui me tahame teada selle x koordinaati-- nüüd me

oleme mures selle rotatsiooniga, teeta võrra

e2-st, mis on see siin e2-st.

See on e2 siin.

Millega see on võrdne?

Selle uus x koordinaat või selle esimene kirje selles vektoris

kui me tahtsime joonistada standartpositsiooni.

Või täpsustav punkt on

võrdne vahemaaga, mis on võrdne selle vahemaaga

siin kolmnurgas.

Koordinaat on selle

vastandarv?

Kui see on 2, see koordinaat on

miinus 2.

Mis see siis on?

Meil on nurk

See on täisnurkne.

See on on vastand nurgale.

Vastaskatet jagatud ühega, vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga on võrdne

koosinus teetast.

See vastaskaatet on võrdne koosinus teetastaga.

X-koordinaat siin.

Vabandust, mu trigonomeetria on sassis.

See on vastaskaatet--SOH-CAH-TOA.

Siinus on võrdne vastaskaatet, las ma kirjutan

siinus teetast on vürdne vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga.

Siinus teeta---selle nurga siinus on võrdne

vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga

Hüpotenuus on 1, pikkus on ka 1 sest need on

standartsed alusvektorid.

See on võrdne siinus teetaga.

See vahemaa on võrdne siinus teetast, see saab olema

vastassuunas, seega, see on võrdne

miinus siinus teeta.

Mis selle uue y komponent saab olema

pööratud e2-st.

Lihtsalt vaatame siia.

Meil on nurk

See külgneb nurgaga.

Lähiskaatet jagatud hüpotenuusiga, lähis jagatud ühega.

mis on lihtsalt see siin

mis on võrdne koosinus teetaga.

Selle uue y koordinaat on koosinus teetast.

Kui me takendame sellise lihtsustuse igale

alusvektorile, siis me same et A on võrdne, e1-le rakendatud

lihtsustusega, mis on kosiinus teetast ja siinus teetast.

Ja lihtsustus rakendatud e2, mis on miinus siinus

teetast korda koosinus teeta.

See ongi tulemus.

Me oleme nüüdmatemaatiliselt täpsustanud

rotatsiooni lihtsutuse, kasutades maatriksi.

Nüüd saame öelda, et rotatsiooni lihtsustus---ja

selle lihtsustus R2-R2--see on funktsioon.

Saab öelda, et pööre mingi nurga teeta võrra (suvalist x-i)

on võrdne maatriksi kosiinus teetast, siinus teetast,

siinus teetast, miinus siinus teetast, koosinus

teetast, korda vektor, kotda x1 ja x2.

Sa võid praegu öelda, et me tegime kogu selle raske töö ja

see on tore, aga kuhu ma seda rakendan?

Mul on ikka seal koosiinused ja siinused teetast

kuidas siis?

Sa pead valima nurga, mille võrra sa tahad vekotrit keerata

lihtsalt arvutad välja ning saad

tavalise maatriksi (numbritega).

Ütleme, et me tahame 45 kraadise nurgaga

mingisugust vektorit pöörata.

Millega see võrdne on?

Arvutame välja

suhtet 45 kraadi juures.

Koosinus 45 kraadist on ruutjuur 2 jagatud 2.

Siinus 45 on ruutjuur 2 jagatud 2.

Siinus 45 on ruutjuur 2 jagatud 2.

Meil on seal miinus---seega miinus ruutjuur

kahest jagatud kahega.

Ja koosinus on lihtsalt ruutjuur kahest jagatud kahega.

Korrutame seda vektor x korda.

Kui me korrtasime seda

suvalise vektori x-ga.

Kui meil on siin mõned koordinaadid.

Ütleme, et mul on palju vektoreid, mis

täpsustavad mõne ruudu siin.

Äkki saan korralikult teha selle.

Võob-olla on sellel mõni kolmnurk

seda on lihtsam joonistada.

Ma teen ruudi.

Ütleme, et mul on mingi ruut siin.

See on siis R2-s.

Kui ma korrutan seda alusvektoritega,

või kõigi vektoritega, mis täpsustavad seda

hlka siin, siis ma saan , kui ma lihtsustan,

ma kaotan pööratud versioonid, 45 kraadiga.

Ma joonistan 45 kraadise nurga

siia.

Ja siis see on sarnane selle pildiga siin, mis

on päris hea tulemus.

Kui sa oled kunagi üritanud kirjutada arvutimängu,

milles pallikesed käivad ringi, siis see on väga kasulik

kuidas asju keerutada.

Tulevikus, rääkime teistest lihtsustus-

-tüüpidest.

Aga see on väga kasulik ja ka väga raske.

Ja ma mäletan, kui ma üritasin kirjutada programmi,

mis käitub sarnaselt, tegin ma kõik käsitsi.

Kuid kui sul on selline lihtsustav teadmine, siis

sa pead lihtsalt selle maatriksi arvutama, kasutades seda nurka

ja siis korrutama selle põhivektoritega.

Ja loomulikult on sul seal

mitmeid vektoreid.

Siin saad sa teha lihtsalt korrutades vektorid ja siis

saad saöelda OK.

Ja siis lihtsalt ühendad vajalikud kohad.

Ja siis saadki ümberpööratud pildi.

Et olla täpne, need vektorid on täpsustatud

hulga vektorite järgi, ja maalati tahan

seda selgeks teha, õigus?

See punkt siin on täpsustatud mingi positsiooni

vektori järgi, mis on selline.

Kui lisad pöörde 45 kraadi all,

see vektor näeb välja selline.

Ja see vektor, mis täpsustas selle nurga siin,

ma teen selle teise värviga--

kui sa pöörasid seda 45 kraadiga, siis saad

selle vektori.

Ja see vektor, mis määrast selle nurga seal,

sai selleks vektoriks.

See ongi see asi, mis

saab kujutatud.

Igastahes, loodetavasti meeldis see sulle.

Minu jaoks oli see esimene kõige lahedam

lihtsustus.

Ja sa saad juba mõtlema hakata, kuidas

seda laiendada kolmedimensionaalsesse ruumi.

Kui sa paberi peal üritad seda teha, siis

need pööramised tulevad väga segased.

Järgmises videos me vaatamegi, kuidas

sooritada pöördeid ruumis, ümber teatud telgede.