Vaatame,kas saame luua lineaarteisenduse, mis on
rotatsiooni teisendus mingi nurga teeta võrra
Mis see teeb: see võtab iga vektori R2-st ja see kujutab
seööe pööratud vektoriks
Teistmoodi öeldes, mingi vektori x pööramine on võrdne
vastupidiste vektori nurga suuruse pööre
x-i
Seda me tahame luua, kasutades oma
uue lineaarteisenduse vahendeid.
Et olla kindlad, et me seda üldse teha saame,
peame veenduma, et seal üldse on lineaarteisendus.
Ma teen seda visuaalselt.
Mul pole isegi matemaatilist definitsiooni
selle jaoks (veel)
Definitsioon on sama hea, kui te siiamaani teate.
Las ma joonistan siia kirelt mõne telje
Ma pean natukene korralikumalt tegema
niisiis, see on mu vertikaalne telg.
See on horisontaalne telg.
Nimetame selle x1-ks
ja selle x2-teljeks.
Viimases videos kutsusin ma neid x-ks ja y-iks.
See on vektori esimene komponent.
See on vektori teine komponent, kui mul on
mingi vektor x nii, me teame, et vastupidine pööre
näeks välja nii.
Ma teen pööramised siniselt.
See näeb välja nii, kus see nurk
siin on teeta.
See on siin on x-i pööre
teeta nurga võrra.
See on mis see vektor siin on.
Mida me peame tegema, et olla kindlad
et see on lineaarne kombinatsioon?
Me peame näitama kahte asja.
Me peame näidama, et teisendus,
pööre teeta võrra, kahe vektori summa, on
võrdeline iga eraldiseisva pöördega.
Vektor x-i pööre pluss
y-i pööre.
Ja ma näitan seda visuaalselt.
See on vektor x.
Ütleme, et vektor y näeb välja umbes selline,
las ma joonistan originaalvektori siia kollaselt.
Ütleme, et vektor y näeb välja selline.
See on siis y.
Mis on siis x pluss y?
Võtame asjad kokku.
Kui me liigutame y siia üles, on see samuti vektor y, mitte
joonistatuna tavalises asukohas, aga x pluss y oleks siis
päris sarnane sellega.
Las ma joonistan natukene korralikumalt. X pluss y
näeks välja selline.
See oleks vektor x pluss y.
Ja milline selle rotatsioon teeta võrra välja
näeks?
Mis on pöördenurk, kui ma lihtsalt pööraksin seda
teeta võrra?
Ma lihtsustan, see oleks
midagi sellist.
See siin oleks teeta pluss x pluss y
pööre.
Nüüd vaatame, kas see on sama, kui me pööraksime x-i
siis y-it ja liidaksime tulemused kokku.
Mis on y, kui me pöörame seda nurga teeta võrra?
Kui me pöörame y-it teeta võrra, siis see
näeb välja umbes selline - see on lihtustus.
Ma peaksin seda tegema joonlaua ja malliga.
Võib-olla näeks see välja midagi sellist - y-i pööre
teeta võrra just siin.
See on see sama teeta, mida
ma olen korduvalt kasutanud.
Las ma teen selle värviliselt, et sa näeksid.
See siin on vektor.
X-i pööre on siin.
Kui me lisame x-i pöörde pluss y-i pöörde
natuke segane, aga ma arvan, et te saate aru.
See siin on x-i pööre pluss y-i pööre.
Sa saad x pluss y nurga.
Vähemalt visuaalselt
see rahuldas esimest olukorda.
Nüüd on meil teine olukord, mida me vajame, et see oleks
kehtiv lineaarteisendus, teeta võrra keeramine,
suurendatud vektori versioonist, peaks olema
võrdne pööratud vektoriga.
Ma teen ühe visuaalse näite.
See on mu vertikaaltelg.
See on mu horistonaaltelg, ja ütleme, et see
on vektor x.
Nüüd, joonistame suurendatud versiooni vektorist.
Suurendatud versioon x-ist on täselt sama nagu x, kuid
seda on natukene suurendatud,
see läheb siia välja.
See on c korda x ja nüüd ma keeran seda
teeta võrra.
Kui me keerame seda teeta võrra, siis sa saad
vektori, mis näeb välja umbes selline.
Keerutan vastupidiselt.
See vektor on pööratud teeta võrra vastupidises suunas
c-st, x.
See ongi siin.
Mis juhtub, kui me pöörame x-i esimesena.
Kui me pöörame x-i esimesena, saame selle vektori
siin.
See siin on x, keeratud nurga teeta võrra
ja me suurendasime seda.
Me näeme, et see on sama
kui me korrutaksime vekotrit c-ga, see vektor pikeneb,
samamoodi nagu me korrutaksime seda c-ga.
Visuaalselt, olen ma näidanud
see töötab.
Nurga võrra keeramine on kindlasti lineaarteisendus,
vähemalt nii nagu ma teile näidanud olen.
Nüüd, loome matemaatilise
definitsiooni sellele..
Loome maatriksi, mis teeb sellise
teisenduse.
Ütleme, et rotatsiooni teisendus R2-st R2-te
sama vektori x-i kohta, saab defineerida mingi 2 korda 2 maatriksi kaudu.
Ja see on 2 korda 2, kuna see on kujutus R2-st R2-te
korda suvaline vektor x.
Ja ma saan seda teha, kuna ma olen visuaalselt näidanud,
et see on tõepoolest lineaarteisendus.
Ja kuidas ma leian A?
Nii, ma alustan - kuna see oli kujutus R2-st--
Ma alustan ühikmaatriksiga R2-s, mis on
1, 0, 0, 1.
Selle veerud on R2 põhivektorid, õige?
Olgu see e1 ja see e2.
Et leida A, me peame läbi tegema
teisenduse igas veerus.
Las ma kirjutan selle.
A--meie maatriks A--saam olema--esimene veerg sellest
on rotatsiooni teisendus vektori 1,0
peal.
Ja teine veerg on rotatsioonteisendus
---siin on natukene andmeid, mille kirjutamine mul ununeb
---korda teise veeru vektor--või
teisendus sellest, 0, 1.
Selline näebki välja A.
Kuidas me leiame mis need on?
Ma üritan mõnede numbriteni jõuda, aga nii
see mul ei õnnestu, proovime niiviisi.
Ma joonistav veel telgesid.
Las ma valine teistsuguse värvi, ma teen selle halliga.
See on mu vertikaaltelg.
See -- horisontaaltelg.
Nimetan selle x-1 teljeks ja selle x2-ks..
Nüüd, see alusvektor e1, milline see on?
No, see on 1 horisontaalselt x1 on 1 ja x2 on 0.
See on siin 1, e1 näeb välja selline,
Las ma teen teist värvi.
e1 on see siin.
Las ma kirjutan milline e2 on, see on...
ma teen kollases--e2 on..
nagu see siin.
e2-- see on see vektor 0,1.
See on 1 meie x2 suunas.
Kui ma keeran e1-te mingi nurga teeta võrra, mille me saame?
Pööran teeta võrra--ma teen selle värviga
---selle pikkus on ikka 1, kuid
see pöördub niiviisi, see nurk
siin on teeta.
See siin on e1 pööramine nurga teeta võrra.
Need on kõik vektorid, muidugi.
See on mis see on.
Nüüd, mis on selle koordinaadid?
Või kuiads me täpsustame selle uue vektori?
Saame natuken lammutada trigonomeetrias.
Selle uus x1 koordinaat--me nimetame seda--või selle x1
sisend, on see pikkus siin.
Niisiis, kui me joonistame kolmnurga, see on see külg
mis on haar teetale.
See kül on hüpotenuus, mille pikkus on 1.
Kuidas me selle külje leiame?
Kui me kutsume seda haaraks.
Haar üle hüpotenuusi.
Haar----las ma kirjutan siia
Haar jagatud hüpotenuusiga, mis on lihtsalt 1, on võrdne
cos(teetaga).
See tuleb SOH-CHA-TOA, Las ma kirjutan.
Koosiinus on lähiskaatet jagatud hüpotenuusiga ja vastaskaatet
saab meie uus x1 olema.
Me ei saa lihtsalt eirata, et 1, a jagatud 1
on võrdne koosinus teetaga, mis tähendab et see on
võrdne koosinus teetaga, mis tähendab, et pööratud
vektori pikkus on koosinus teeta.
Selle horisontaalne komponent või selle horistonaalne kooridnaat on
võrdne koosinus teetast.
Nii, mis selle vertikaalne komponent on?
See on selle kõrgus siin,
mis on sama mis kõrgus siin.
Või siinus teetast-- vastandarv----
---siinus teetas on võrdne vastaskaatet jagatud ühega.
See on võrdne siinus teetaga, jah?
See jagatud ühega, mis on võrdne
siinus teeta, SOH-KAH-TOA-st
See vertikaalkomponent on võrdne siinus teetast.
Uus pööratud alsuvektor, selle saab kirjutada kui,
koosinus teetast, selle x-i komponendi, või selle
horisontaalkomponendi.
Ja siinus teetast selle vertikaalkomponendiks.
See on uus roteeritud alsuvektor.
Nüüd e2?
Me saame siin midagi väga sarnast teha, e2 on lõpus
selline, kui sa keerad seda
nurga teeta võrra.
See tuleb selline.
See nurk siin on teeta.
Me saame siia äikse kolmnurga.
Kui me tahame teada selle x koordinaati-- nüüd me
oleme mures selle rotatsiooniga, teeta võrra
e2-st, mis on see siin e2-st.
See on e2 siin.
Millega see on võrdne?
Selle uus x koordinaat või selle esimene kirje selles vektoris
kui me tahtsime joonistada standartpositsiooni.
Või täpsustav punkt on
võrdne vahemaaga, mis on võrdne selle vahemaaga
siin kolmnurgas.
Koordinaat on selle
vastandarv?
Kui see on 2, see koordinaat on
miinus 2.
Mis see siis on?
Meil on nurk
See on täisnurkne.
See on on vastand nurgale.
Vastaskatet jagatud ühega, vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga on võrdne
koosinus teetast.
See vastaskaatet on võrdne koosinus teetastaga.
X-koordinaat siin.
Vabandust, mu trigonomeetria on sassis.
See on vastaskaatet--SOH-CAH-TOA.
Siinus on võrdne vastaskaatet, las ma kirjutan
siinus teetast on vürdne vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga.
Siinus teeta---selle nurga siinus on võrdne
vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga
Hüpotenuus on 1, pikkus on ka 1 sest need on
standartsed alusvektorid.
See on võrdne siinus teetaga.
See vahemaa on võrdne siinus teetast, see saab olema
vastassuunas, seega, see on võrdne
miinus siinus teeta.
Mis selle uue y komponent saab olema
pööratud e2-st.
Lihtsalt vaatame siia.
Meil on nurk
See külgneb nurgaga.
Lähiskaatet jagatud hüpotenuusiga, lähis jagatud ühega.
mis on lihtsalt see siin
mis on võrdne koosinus teetaga.
Selle uue y koordinaat on koosinus teetast.
Kui me takendame sellise lihtsustuse igale
alusvektorile, siis me same et A on võrdne, e1-le rakendatud
lihtsustusega, mis on kosiinus teetast ja siinus teetast.
Ja lihtsustus rakendatud e2, mis on miinus siinus
teetast korda koosinus teeta.
See ongi tulemus.
Me oleme nüüdmatemaatiliselt täpsustanud
rotatsiooni lihtsutuse, kasutades maatriksi.
Nüüd saame öelda, et rotatsiooni lihtsustus---ja
selle lihtsustus R2-R2--see on funktsioon.
Saab öelda, et pööre mingi nurga teeta võrra (suvalist x-i)
on võrdne maatriksi kosiinus teetast, siinus teetast,
siinus teetast, miinus siinus teetast, koosinus
teetast, korda vektor, kotda x1 ja x2.
Sa võid praegu öelda, et me tegime kogu selle raske töö ja
see on tore, aga kuhu ma seda rakendan?
Mul on ikka seal koosiinused ja siinused teetast
kuidas siis?
Sa pead valima nurga, mille võrra sa tahad vekotrit keerata
lihtsalt arvutad välja ning saad
tavalise maatriksi (numbritega).
Ütleme, et me tahame 45 kraadise nurgaga
mingisugust vektorit pöörata.
Millega see võrdne on?
Arvutame välja
suhtet 45 kraadi juures.
Koosinus 45 kraadist on ruutjuur 2 jagatud 2.
Siinus 45 on ruutjuur 2 jagatud 2.
Siinus 45 on ruutjuur 2 jagatud 2.
Meil on seal miinus---seega miinus ruutjuur
kahest jagatud kahega.
Ja koosinus on lihtsalt ruutjuur kahest jagatud kahega.
Korrutame seda vektor x korda.
Kui me korrtasime seda
suvalise vektori x-ga.
Kui meil on siin mõned koordinaadid.
Ütleme, et mul on palju vektoreid, mis
täpsustavad mõne ruudu siin.
Äkki saan korralikult teha selle.
Võob-olla on sellel mõni kolmnurk
seda on lihtsam joonistada.
Ma teen ruudi.
Ütleme, et mul on mingi ruut siin.
See on siis R2-s.
Kui ma korrutan seda alusvektoritega,
või kõigi vektoritega, mis täpsustavad seda
hlka siin, siis ma saan , kui ma lihtsustan,
ma kaotan pööratud versioonid, 45 kraadiga.
Ma joonistan 45 kraadise nurga
siia.
Ja siis see on sarnane selle pildiga siin, mis
on päris hea tulemus.
Kui sa oled kunagi üritanud kirjutada arvutimängu,
milles pallikesed käivad ringi, siis see on väga kasulik
kuidas asju keerutada.
Tulevikus, rääkime teistest lihtsustus-
-tüüpidest.
Aga see on väga kasulik ja ka väga raske.
Ja ma mäletan, kui ma üritasin kirjutada programmi,
mis käitub sarnaselt, tegin ma kõik käsitsi.
Kuid kui sul on selline lihtsustav teadmine, siis
sa pead lihtsalt selle maatriksi arvutama, kasutades seda nurka
ja siis korrutama selle põhivektoritega.
Ja loomulikult on sul seal
mitmeid vektoreid.
Siin saad sa teha lihtsalt korrutades vektorid ja siis
saad saöelda OK.
Ja siis lihtsalt ühendad vajalikud kohad.
Ja siis saadki ümberpööratud pildi.
Et olla täpne, need vektorid on täpsustatud
hulga vektorite järgi, ja maalati tahan
seda selgeks teha, õigus?
See punkt siin on täpsustatud mingi positsiooni
vektori järgi, mis on selline.
Kui lisad pöörde 45 kraadi all,
see vektor näeb välja selline.
Ja see vektor, mis täpsustas selle nurga siin,
ma teen selle teise värviga--
kui sa pöörasid seda 45 kraadiga, siis saad
selle vektori.
Ja see vektor, mis määrast selle nurga seal,
sai selleks vektoriks.
See ongi see asi, mis
saab kujutatud.
Igastahes, loodetavasti meeldis see sulle.
Minu jaoks oli see esimene kõige lahedam
lihtsustus.
Ja sa saad juba mõtlema hakata, kuidas
seda laiendada kolmedimensionaalsesse ruumi.
Kui sa paberi peal üritad seda teha, siis
need pööramised tulevad väga segased.
Järgmises videos me vaatamegi, kuidas
sooritada pöördeid ruumis, ümber teatud telgede.