-
.
-
I den her video skal vi lave nogle flere eksempler
-
med reucering af rodtegnsudtryk.
-
Der kommer til at være addition og subtraktion
-
af forskellige rodtegnsudtryk.
-
Det er en rigtig god ting at kunne,
-
hvis man ikke allerede kan det.
-
Lad os regne et par stykker af dem.
-
Vi har 3 gange kvadratroden af 8.
-
Vi har tidligere lært,
-
at det er den positive kvadratrod af 8.
-
Minus 6 gange kvadratroden af 32.
-
Lad os se, hvordan vi kan reducere det udtryk.
-
Vi kan starte med at omskrive 8 til 2 gange 4.
-
Fordi 4 er et kvadrattal,
-
kan vi faktorisere den til 2 gange 2,
-
men det behøver vi ikke her.
-
.
-
Vi kan omskrive 3 gange kvadratrod 8
-
til 3 gange kvadratroden af 4 gange kvadratroden af 2.
-
Det er det samme som kvadratroden af 4 gange 2,
-
hvilket er kvadratroden af 8.
-
Det her udtryk er altså det samme som det her.
-
Lad os kigge på 32 nu.
-
Vi vil faktorisere kvadratroden af 32.
-
32 er 2 gange 16.
-
16 er et kvadrattal,
-
og så kunne vi stoppe her.
-
Hvis det ikke er helt klart,
-
kan man faktorisere 16 og få 4 gange 4.
-
.
-
Man kunne endda faktorisere 4 og få 2 gange 2,
-
men vi ser med det samme, at 16 er et kvadrattal,
-
så vi stopper der.
-
Det andet udtryk kan altså skrives som
-
minus 6 gange kvadratroden af 16 gange kvadratroden af 2.
-
Det her er det samme som
-
kvadratroden af 16 gange 2.
-
Man kan skille dem ad,
-
fordi kvadratroden af 16 gange 2 er det samme som kvadratroden af 16 gange kvadratroden af 2.
-
.
-
Det så vi med eksponenternes egenskaber.
-
Hvad bliver det første udtryk nu reduceret til?
-
Det her er 3.
-
Det her er 2.
-
Vi har altså 3 gange 2 gange kvadratroden af 2.
-
Det er 6 gange kvadratroden af 2.
-
Nu skal vi trække noget fra det udtryk,
-
så lad os kigge på det udtryk, vi skal trække fra.
-
Det her er plus 4.
-
6 gange 4 er 24 gange kvadratroden af 2.
-
Vi er ikke færdige endnu.
-
Hvis vi har 6 gange kvadratroden af et tal,
-
og vi skal trække 24 gange kvadratroden af det samme tal fra, hvad har vi så?
-
.
-
Det må være 6 minus 24 gange kvadratroden af 2.
-
6 minus 24 er minus 18, så det er minus 18 gange kvadratroden af 2.
-
Forhåbentlig er det her ikke alt for forvirrende.
-
Hvis vi for eksempel havde 6x minus 24x, ville vi have minus 18x,
-
og det er det samme, vi skal gøre i den her opgave.
-
I stedet for x har vi kvadratroden af 2.
-
6 gange en faktor minus 24 gange samme faktor
-
er lig med minus 18 gange den samme faktor.
-
Lad os regne en opgave mere.
-
Vi har kvadratroden af 180 plus 6 gange kvadratroden af 405.
-
Det her er virkelig en opgave,
-
hvor udtrykkene skal reduceres,
-
og det har vi jo gjort før.
-
Man kan aldrig øve sig for meget, så lad os komme i gang.
-
Vi starter med at faktorisere
-
det lige her.
-
180 er 2 gange 90, hvilket er 2 gange 45,
-
hvilket er 5 gange 9.
-
For at vise, at 9 er et kvadrattal, kan vi faktorisere den ned til 3 gange 3,
-
men vi kan også bare lade den stå, som den er.
-
Det første udtryk kan vi skrive som kvadratroden af 2
-
gange 2 gange kvadratroden af 5 gange kvadratroden af 9.
-
.
-
Vi skriver kvadratroden af 9 herude til venstre.
-
Vi har altså kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 5
-
gange kvadratroden af 9.
-
Nu skal vi finde ud af, hvad det andet udtryk kan reduceres til.
-
Lad os faktorisere det ned.
-
Vi starter med 405.
-
Det må være 5 gange 81, men lad os lige tjekke, om det er rigtigt.
-
5 går ikke op i 4,
-
men det går op i 40.
-
5 går op i 40 otte gange.
-
8 gange 5 er 40.
-
Så trækker vi fra.
-
Vi har et 0 herovre
-
og trækker 5-tallet ned.
-
5 går op i 5 én gang.
-
Vi får 81, så 5 gange 81 var altså rigtigt.
-
81 er 9 gange 9.
-
Vi kunne faktorisere det endnu mere, hvis vi ville regne den fjerde rod eller sådan noget,
-
men vi nøjes med at regne kvadratroden.
-
.
-
Vi har et 9-tal og et 9-tal, så det behøver vi ikke faktorisere mere.
-
Det andet udtryk må altså være plus 6 gange
-
kvadratroden af 9 gange 9 gange kvadratroden af 5.
-
Hvad får vi så?
-
Det her er 3.
-
Det her er 2,
-
fordi kvadratrod 2 gange 2 er lig med kvadratrod 4.
-
3 gange 2 er 6.
-
Vi har altså 6 gange kvadratroden af 5 plus det,
-
der står herovre.
-
Kvadratroden af 9 gange 9, er det samme som kvadratroden af 81,
-
og det er jo 9.
-
6 gange 9 er 54, så vi har plus 54 gange kvadratroden af 5.
-
Hvad har vi så tilbage?
-
Vi har 6 gange en faktor plus 54 gange den samme faktor.
-
Det må være lig med 60 gange den samme faktor.
-
Sådan her.
-
Lad os regne en opgave mere,
-
hvor vi har nogle lidt mere abstrakte størrelser med.
-
Vi skal have nogle variable med.
-
Det er egentlig bare for at vise,
-
at de variable ikke ændrer noget.
-
Lad os sige,
-
at vi har kvadratroden af 48a.
-
Til det lægger vi så kvadratroden af 27a.
-
Igen skal vi faktorisere udtrykket med de 48.
-
Vi glemmer a'et for en stund.
-
48 er 2 gange 24, og 24 er 2 gange 12.
-
2 gange 12, og 12 er 3 gange 4.
-
Vi kunne omskrive det første udtryk til
-
kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 4
-
gange kvadratroden af 3.
-
Man kunne måske gøre det hurtigere
-
ved at have faktoriseret 48 til 3 gange 16 og set,
-
at 16 er et kvadrattal.
-
Det betyder ikke noget, om vi gør det på den ene eller den anden måde,
-
for vi får det samme svar ligemeget hvad.
-
Selvfølgelig har vi ikke kun kvadratroden af 3 her,
-
for vi skal også have kvadratroden af vores a med.
-
Vi skriver a'et herovre.
-
Vi kunne have skrevet a'et som en kvadratrod for sig,
-
men hverken 3 eller a er kvadrattal,
-
så vi lader dem stå under den samme kvadratrod.
-
27 er 3 gange 9,
-
og da 9 er et kvadrattal, kan vi stoppe her.
-
Det andet udtryk kan vi altså skrive som kvadratroden af 9
-
gange kvadratroden af 3a.
-
Ved begge udtryk har man måske lagt mærke til,
-
at vi har sprunget noget over.
-
Vi kunne nemlig have startet med at skrive de 27a
-
som kvadratroden af 9 gange 3a,
-
og derefter gået videre til det her trin.
-
Vi har nok øvelse til at se,
-
at 9 gange 3a opløftet i en halv
-
eller kvadratroden af 9 gange 3a
-
er det samme som kvadratroden af 9 gange kvadratroden af 3a.
-
Det er det trin, vi har sprunget over i begge to.
-
Forhåbentlig forvirrer det ikke.
-
Udtrykket her bliver 2.
-
Det bliver 2.
-
Det her bliver 4 gange kvadratroden af 3a.
-
Det herovre bliver 3,
-
så det bliver plus 3 gange kvadratroden af 3a.
-
4 gange en faktor plus 3 gange den samme faktor er lig med 7 gange den samme faktor.
-
Det bliver altså 7 gange kvadratroden af 3a.
-
Det gav forhåbentlig mening.