.
I den her video skal vi lave nogle flere eksempler
med reucering af rodtegnsudtryk.
Der kommer til at være addition og subtraktion
af forskellige rodtegnsudtryk.
Det er en rigtig god ting at kunne,
hvis man ikke allerede kan det.
Lad os regne et par stykker af dem.
Vi har 3 gange kvadratroden af 8.
Vi har tidligere lært,
at det er den positive kvadratrod af 8.
Minus 6 gange kvadratroden af 32.
Lad os se, hvordan vi kan reducere det udtryk.
Vi kan starte med at omskrive 8 til 2 gange 4.
Fordi 4 er et kvadrattal,
kan vi faktorisere den til 2 gange 2,
men det behøver vi ikke her.
.
Vi kan omskrive 3 gange kvadratrod 8
til 3 gange kvadratroden af 4 gange kvadratroden af 2.
Det er det samme som kvadratroden af 4 gange 2,
hvilket er kvadratroden af 8.
Det her udtryk er altså det samme som det her.
Lad os kigge på 32 nu.
Vi vil faktorisere kvadratroden af 32.
32 er 2 gange 16.
16 er et kvadrattal,
og så kunne vi stoppe her.
Hvis det ikke er helt klart,
kan man faktorisere 16 og få 4 gange 4.
.
Man kunne endda faktorisere 4 og få 2 gange 2,
men vi ser med det samme, at 16 er et kvadrattal,
så vi stopper der.
Det andet udtryk kan altså skrives som
minus 6 gange kvadratroden af 16 gange kvadratroden af 2.
Det her er det samme som
kvadratroden af 16 gange 2.
Man kan skille dem ad,
fordi kvadratroden af 16 gange 2 er det samme som kvadratroden af 16 gange kvadratroden af 2.
.
Det så vi med eksponenternes egenskaber.
Hvad bliver det første udtryk nu reduceret til?
Det her er 3.
Det her er 2.
Vi har altså 3 gange 2 gange kvadratroden af 2.
Det er 6 gange kvadratroden af 2.
Nu skal vi trække noget fra det udtryk,
så lad os kigge på det udtryk, vi skal trække fra.
Det her er plus 4.
6 gange 4 er 24 gange kvadratroden af 2.
Vi er ikke færdige endnu.
Hvis vi har 6 gange kvadratroden af et tal,
og vi skal trække 24 gange kvadratroden af det samme tal fra, hvad har vi så?
.
Det må være 6 minus 24 gange kvadratroden af 2.
6 minus 24 er minus 18, så det er minus 18 gange kvadratroden af 2.
Forhåbentlig er det her ikke alt for forvirrende.
Hvis vi for eksempel havde 6x minus 24x, ville vi have minus 18x,
og det er det samme, vi skal gøre i den her opgave.
I stedet for x har vi kvadratroden af 2.
6 gange en faktor minus 24 gange samme faktor
er lig med minus 18 gange den samme faktor.
Lad os regne en opgave mere.
Vi har kvadratroden af 180 plus 6 gange kvadratroden af 405.
Det her er virkelig en opgave,
hvor udtrykkene skal reduceres,
og det har vi jo gjort før.
Man kan aldrig øve sig for meget, så lad os komme i gang.
Vi starter med at faktorisere
det lige her.
180 er 2 gange 90, hvilket er 2 gange 45,
hvilket er 5 gange 9.
For at vise, at 9 er et kvadrattal, kan vi faktorisere den ned til 3 gange 3,
men vi kan også bare lade den stå, som den er.
Det første udtryk kan vi skrive som kvadratroden af 2
gange 2 gange kvadratroden af 5 gange kvadratroden af 9.
.
Vi skriver kvadratroden af 9 herude til venstre.
Vi har altså kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 5
gange kvadratroden af 9.
Nu skal vi finde ud af, hvad det andet udtryk kan reduceres til.
Lad os faktorisere det ned.
Vi starter med 405.
Det må være 5 gange 81, men lad os lige tjekke, om det er rigtigt.
5 går ikke op i 4,
men det går op i 40.
5 går op i 40 otte gange.
8 gange 5 er 40.
Så trækker vi fra.
Vi har et 0 herovre
og trækker 5-tallet ned.
5 går op i 5 én gang.
Vi får 81, så 5 gange 81 var altså rigtigt.
81 er 9 gange 9.
Vi kunne faktorisere det endnu mere, hvis vi ville regne den fjerde rod eller sådan noget,
men vi nøjes med at regne kvadratroden.
.
Vi har et 9-tal og et 9-tal, så det behøver vi ikke faktorisere mere.
Det andet udtryk må altså være plus 6 gange
kvadratroden af 9 gange 9 gange kvadratroden af 5.
Hvad får vi så?
Det her er 3.
Det her er 2,
fordi kvadratrod 2 gange 2 er lig med kvadratrod 4.
3 gange 2 er 6.
Vi har altså 6 gange kvadratroden af 5 plus det,
der står herovre.
Kvadratroden af 9 gange 9, er det samme som kvadratroden af 81,
og det er jo 9.
6 gange 9 er 54, så vi har plus 54 gange kvadratroden af 5.
Hvad har vi så tilbage?
Vi har 6 gange en faktor plus 54 gange den samme faktor.
Det må være lig med 60 gange den samme faktor.
Sådan her.
Lad os regne en opgave mere,
hvor vi har nogle lidt mere abstrakte størrelser med.
Vi skal have nogle variable med.
Det er egentlig bare for at vise,
at de variable ikke ændrer noget.
Lad os sige,
at vi har kvadratroden af 48a.
Til det lægger vi så kvadratroden af 27a.
Igen skal vi faktorisere udtrykket med de 48.
Vi glemmer a'et for en stund.
48 er 2 gange 24, og 24 er 2 gange 12.
2 gange 12, og 12 er 3 gange 4.
Vi kunne omskrive det første udtryk til
kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 4
gange kvadratroden af 3.
Man kunne måske gøre det hurtigere
ved at have faktoriseret 48 til 3 gange 16 og set,
at 16 er et kvadrattal.
Det betyder ikke noget, om vi gør det på den ene eller den anden måde,
for vi får det samme svar ligemeget hvad.
Selvfølgelig har vi ikke kun kvadratroden af 3 her,
for vi skal også have kvadratroden af vores a med.
Vi skriver a'et herovre.
Vi kunne have skrevet a'et som en kvadratrod for sig,
men hverken 3 eller a er kvadrattal,
så vi lader dem stå under den samme kvadratrod.
27 er 3 gange 9,
og da 9 er et kvadrattal, kan vi stoppe her.
Det andet udtryk kan vi altså skrive som kvadratroden af 9
gange kvadratroden af 3a.
Ved begge udtryk har man måske lagt mærke til,
at vi har sprunget noget over.
Vi kunne nemlig have startet med at skrive de 27a
som kvadratroden af 9 gange 3a,
og derefter gået videre til det her trin.
Vi har nok øvelse til at se,
at 9 gange 3a opløftet i en halv
eller kvadratroden af 9 gange 3a
er det samme som kvadratroden af 9 gange kvadratroden af 3a.
Det er det trin, vi har sprunget over i begge to.
Forhåbentlig forvirrer det ikke.
Udtrykket her bliver 2.
Det bliver 2.
Det her bliver 4 gange kvadratroden af 3a.
Det herovre bliver 3,
så det bliver plus 3 gange kvadratroden af 3a.
4 gange en faktor plus 3 gange den samme faktor er lig med 7 gange den samme faktor.
Det bliver altså 7 gange kvadratroden af 3a.
Det gav forhåbentlig mening.