1
00:00:00,000 --> 00:00:00,650
.

2
00:00:00,650 --> 00:00:02,900
I den her video skal vi lave nogle flere eksempler

3
00:00:02,900 --> 00:00:04,880
med reucering af rodtegnsudtryk.

4
00:00:04,880 --> 00:00:06,990
Der kommer til at være addition og subtraktion

5
00:00:06,990 --> 00:00:08,200
af forskellige rodtegnsudtryk.

6
00:00:08,200 --> 00:00:10,850
Det er en rigtig god ting at kunne,

7
00:00:10,850 --> 00:00:12,080
hvis man ikke allerede kan det.

8
00:00:12,080 --> 00:00:13,520
Lad os regne et par stykker af dem.

9
00:00:13,520 --> 00:00:17,710
Vi har 3 gange kvadratroden af 8.

10
00:00:17,710 --> 00:00:19,836
Vi har tidligere lært,

11
00:00:19,836 --> 00:00:24,010
at det er den positive kvadratrod af 8.

12
00:00:24,010 --> 00:00:27,025
Minus 6 gange kvadratroden af 32.

13
00:00:27,025 --> 00:00:29,950
Lad os se, hvordan vi kan reducere det udtryk.

14
00:00:29,950 --> 00:00:35,110
Vi kan starte med at omskrive 8 til 2 gange 4.

15
00:00:35,110 --> 00:00:36,605
Fordi 4 er et kvadrattal,

16
00:00:36,605 --> 00:00:37,400
kan vi faktorisere den til 2 gange 2,

17
00:00:37,400 --> 00:00:39,990
men det behøver vi ikke her.

18
00:00:39,990 --> 00:00:40,940
.

19
00:00:40,940 --> 00:00:45,770
Vi kan omskrive 3 gange kvadratrod 8

20
00:00:45,770 --> 00:00:50,430
til 3 gange kvadratroden af 4 gange kvadratroden af 2.

21
00:00:50,430 --> 00:00:52,830
Det er det samme som kvadratroden af 4 gange 2,

22
00:00:52,830 --> 00:00:54,490
hvilket er kvadratroden af 8.

23
00:00:54,490 --> 00:00:57,220
Det her udtryk er altså det samme som det her.

24
00:00:57,220 --> 00:00:58,890
Lad os kigge på 32 nu.

25
00:00:58,890 --> 00:01:01,050
Vi vil faktorisere kvadratroden af 32.

26
00:01:01,050 --> 00:01:04,650
32 er 2 gange 16.

27
00:01:04,650 --> 00:01:06,660
16 er et kvadrattal,

28
00:01:06,660 --> 00:01:08,490
og så kunne vi stoppe her.

29
00:01:08,490 --> 00:01:10,160
Hvis det ikke er helt klart,

30
00:01:10,160 --> 00:01:11,230
kan man faktorisere 16 og få 4 gange 4.

31
00:01:11,230 --> 00:01:12,260
.

32
00:01:12,260 --> 00:01:14,980
Man kunne endda faktorisere 4 og få 2 gange 2,

33
00:01:14,980 --> 00:01:16,940
men vi ser med det samme, at 16 er et kvadrattal,

34
00:01:16,940 --> 00:01:18,020
så vi stopper der.

35
00:01:18,020 --> 00:01:22,030
Det andet udtryk kan altså skrives som

36
00:01:22,030 --> 00:01:28,920
minus 6 gange kvadratroden af 16 gange kvadratroden af 2.

37
00:01:28,920 --> 00:01:31,510
Det her er det samme som

38
00:01:31,510 --> 00:01:34,520
kvadratroden af 16 gange 2.

39
00:01:34,520 --> 00:01:35,770
Man kan skille dem ad,

40
00:01:35,770 --> 00:01:38,850
fordi kvadratroden af 16 gange 2 er det samme som kvadratroden af 16 gange kvadratroden af 2.

41
00:01:38,850 --> 00:01:40,000
.

42
00:01:40,000 --> 00:01:42,600
Det så vi med eksponenternes egenskaber.

43
00:01:42,600 --> 00:01:45,000
Hvad bliver det første udtryk nu reduceret til?

44
00:01:45,000 --> 00:01:46,270
Det her er 3.

45
00:01:46,270 --> 00:01:48,230
Det her er 2.

46
00:01:48,230 --> 00:01:51,050
Vi har altså 3 gange 2 gange kvadratroden af 2.

47
00:01:51,050 --> 00:01:55,060
Det er 6 gange kvadratroden af 2.

48
00:01:55,060 --> 00:01:57,880
Nu skal vi trække noget fra det udtryk,

49
00:01:57,880 --> 00:01:58,790
så lad os kigge på det udtryk, vi skal trække fra.

50
00:01:58,790 --> 00:02:01,260
Det her er plus 4.

51
00:02:01,260 --> 00:02:06,820
6 gange 4 er 24 gange kvadratroden af 2.

52
00:02:06,820 --> 00:02:08,240
Vi er ikke færdige endnu.

53
00:02:08,240 --> 00:02:11,780
Hvis vi har 6 gange kvadratroden af et tal,

54
00:02:11,780 --> 00:02:14,910
og vi skal trække 24 gange kvadratroden af det samme tal fra, hvad har vi så?

55
00:02:14,910 --> 00:02:17,290
.

56
00:02:17,290 --> 00:02:20,780
Det må være 6 minus 24 gange kvadratroden af 2.

57
00:02:20,780 --> 00:02:28,020
6 minus 24 er minus 18, så det er minus 18 gange kvadratroden af 2.

58
00:02:28,020 --> 00:02:29,420
Forhåbentlig er det her ikke alt for forvirrende.

59
00:02:29,420 --> 00:02:35,250
Hvis vi for eksempel havde 6x minus 24x, ville vi have minus 18x,

60
00:02:35,250 --> 00:02:37,150
og det er det samme, vi skal gøre i den her opgave.

61
00:02:37,150 --> 00:02:38,870
I stedet for x har vi kvadratroden af 2.

62
00:02:38,870 --> 00:02:42,090
6 gange en faktor minus 24 gange samme faktor

63
00:02:42,090 --> 00:02:44,120
er lig med minus 18 gange den samme faktor.

64
00:02:44,120 --> 00:02:45,880
Lad os regne en opgave mere.

65
00:02:45,880 --> 00:02:53,300
Vi har kvadratroden af 180 plus 6 gange kvadratroden af 405.

66
00:02:53,300 --> 00:02:56,470
Det her er virkelig en opgave,

67
00:02:56,470 --> 00:02:59,940
hvor udtrykkene skal reduceres,

68
00:02:59,940 --> 00:03:01,600
og det har vi jo gjort før.

69
00:03:01,600 --> 00:03:04,250
Man kan aldrig øve sig for meget, så lad os komme i gang.

70
00:03:04,250 --> 00:03:06,230
Vi starter med at faktorisere

71
00:03:06,230 --> 00:03:07,610
det lige her.

72
00:03:07,610 --> 00:03:14,670
180 er 2 gange 90, hvilket er 2 gange 45,

73
00:03:14,670 --> 00:03:18,290
hvilket er 5 gange 9.

74
00:03:18,290 --> 00:03:21,860
For at vise, at 9 er et kvadrattal, kan vi faktorisere den ned til 3 gange 3,

75
00:03:21,860 --> 00:03:23,550
men vi kan også bare lade den stå, som den er.

76
00:03:23,550 --> 00:03:27,940
Det første udtryk kan vi skrive som kvadratroden af 2

77
00:03:27,940 --> 00:03:34,550
gange 2 gange kvadratroden af 5 gange kvadratroden af 9.

78
00:03:34,550 --> 00:03:37,420
.

79
00:03:37,420 --> 00:03:39,120
Vi skriver kvadratroden af 9 herude til venstre.

80
00:03:39,120 --> 00:03:41,470
Vi har altså kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 5

81
00:03:41,470 --> 00:03:45,440
gange kvadratroden af 9.

82
00:03:45,440 --> 00:03:48,360
Nu skal vi finde ud af, hvad det andet udtryk kan reduceres til.

83
00:03:48,360 --> 00:03:49,900
Lad os faktorisere det ned.

84
00:03:49,900 --> 00:03:50,870
Vi starter med 405.

85
00:03:50,870 --> 00:03:54,670
Det må være 5 gange 81, men lad os lige tjekke, om det er rigtigt.

86
00:03:54,670 --> 00:04:00,970
5 går ikke op i 4,

87
00:04:00,970 --> 00:04:02,340
men det går op i 40.

88
00:04:02,340 --> 00:04:04,040
5 går op i 40 otte gange.

89
00:04:04,040 --> 00:04:06,340
8 gange 5 er 40.

90
00:04:06,340 --> 00:04:07,090
Så trækker vi fra.

91
00:04:07,090 --> 00:04:07,910
Vi har et 0 herovre

92
00:04:07,910 --> 00:04:09,520
og trækker 5-tallet ned.

93
00:04:09,520 --> 00:04:11,470
5 går op i 5 én gang.

94
00:04:11,470 --> 00:04:14,100
Vi får 81, så 5 gange 81 var altså rigtigt.

95
00:04:14,100 --> 00:04:17,290
81 er 9 gange 9.

96
00:04:17,290 --> 00:04:20,260
Vi kunne faktorisere det endnu mere, hvis vi ville regne den fjerde rod eller sådan noget,

97
00:04:20,260 --> 00:04:22,390
men vi nøjes med at regne kvadratroden.

98
00:04:22,390 --> 00:04:22,960
.

99
00:04:22,960 --> 00:04:25,910
Vi har et 9-tal og et 9-tal, så det behøver vi ikke faktorisere mere.

100
00:04:25,910 --> 00:04:31,360
Det andet udtryk må altså være plus 6 gange

101
00:04:31,360 --> 00:04:40,600
kvadratroden af 9 gange 9 gange kvadratroden af 5.

102
00:04:40,600 --> 00:04:41,260
Hvad får vi så?

103
00:04:41,260 --> 00:04:43,140
Det her er 3.

104
00:04:43,140 --> 00:04:44,710
Det her er 2,

105
00:04:44,710 --> 00:04:45,860
fordi kvadratrod 2 gange 2 er lig med kvadratrod 4.

106
00:04:45,860 --> 00:04:48,270
3 gange 2 er 6.

107
00:04:48,270 --> 00:04:51,790
Vi har altså 6 gange kvadratroden af 5 plus det,

108
00:04:51,790 --> 00:04:54,160
der står herovre.

109
00:04:54,160 --> 00:04:57,100
Kvadratroden af 9 gange 9, er det samme som kvadratroden af 81,

110
00:04:57,100 --> 00:04:59,380
og det er jo 9.

111
00:04:59,380 --> 00:05:09,190
6 gange 9 er 54, så vi har plus 54 gange kvadratroden af 5.

112
00:05:09,190 --> 00:05:12,520
Hvad har vi så tilbage?

113
00:05:12,520 --> 00:05:17,120
Vi har 6 gange en faktor plus 54 gange den samme faktor.

114
00:05:17,120 --> 00:05:22,050
Det må være lig med 60 gange den samme faktor.

115
00:05:22,050 --> 00:05:24,400
Sådan her.

116
00:05:24,400 --> 00:05:27,490
Lad os regne en opgave mere,

117
00:05:27,490 --> 00:05:28,750
hvor vi har nogle lidt mere abstrakte størrelser med.

118
00:05:28,750 --> 00:05:30,000
Vi skal have nogle variable med.

119
00:05:30,000 --> 00:05:31,960
Det er egentlig bare for at vise,

120
00:05:31,960 --> 00:05:34,200
at de variable ikke ændrer noget.

121
00:05:34,200 --> 00:05:36,520
Lad os sige,

122
00:05:36,520 --> 00:05:38,300
at vi har kvadratroden af 48a.

123
00:05:38,300 --> 00:05:46,830
Til det lægger vi så kvadratroden af 27a.

124
00:05:46,830 --> 00:05:50,130
Igen skal vi faktorisere udtrykket med de 48.

125
00:05:50,130 --> 00:05:51,930
Vi glemmer a'et for en stund.

126
00:05:51,930 --> 00:05:57,350
48 er 2 gange 24, og 24 er 2 gange 12.

127
00:05:57,350 --> 00:06:04,650
2 gange 12, og 12 er 3 gange 4.

128
00:06:04,650 --> 00:06:08,250
Vi kunne omskrive det første udtryk til

129
00:06:08,250 --> 00:06:14,920
kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 4

130
00:06:14,920 --> 00:06:16,590
gange kvadratroden af 3.

131
00:06:16,590 --> 00:06:18,520
Man kunne måske gøre det hurtigere

132
00:06:18,520 --> 00:06:21,040
ved at have faktoriseret 48 til 3 gange 16 og set,

133
00:06:21,040 --> 00:06:23,090
at 16 er et kvadrattal.

134
00:06:23,090 --> 00:06:25,190
Det betyder ikke noget, om vi gør det på den ene eller den anden måde,

135
00:06:25,190 --> 00:06:27,470
for vi får det samme svar ligemeget hvad.

136
00:06:27,470 --> 00:06:29,950
Selvfølgelig har vi ikke kun kvadratroden af 3 her,

137
00:06:29,950 --> 00:06:31,210
for vi skal også have kvadratroden af vores a med.

138
00:06:31,210 --> 00:06:32,910
Vi skriver a'et herovre.

139
00:06:32,910 --> 00:06:35,060
Vi kunne have skrevet a'et som en kvadratrod for sig,

140
00:06:35,060 --> 00:06:37,710
men hverken 3 eller a er kvadrattal,

141
00:06:37,710 --> 00:06:39,250
så vi lader dem stå under den samme kvadratrod.

142
00:06:39,250 --> 00:06:43,750
27 er 3 gange 9,

143
00:06:43,750 --> 00:06:46,040
og da 9 er et kvadrattal, kan vi stoppe her.

144
00:06:46,040 --> 00:06:49,480
Det andet udtryk kan vi altså skrive som kvadratroden af 9

145
00:06:49,480 --> 00:06:54,295
gange kvadratroden af 3a.

146
00:06:54,295 --> 00:06:56,620
Ved begge udtryk har man måske lagt mærke til,

147
00:06:56,620 --> 00:06:57,750
at vi har sprunget noget over.

148
00:06:57,750 --> 00:07:01,970
Vi kunne nemlig have startet med at skrive de 27a

149
00:07:01,970 --> 00:07:08,070
som kvadratroden af 9 gange 3a,

150
00:07:08,070 --> 00:07:09,130
og derefter gået videre til det her trin.

151
00:07:09,130 --> 00:07:12,210
Vi har nok øvelse til at se,

152
00:07:12,210 --> 00:07:16,510
at 9 gange 3a opløftet i en halv

153
00:07:16,510 --> 00:07:18,970
eller kvadratroden af 9 gange 3a

154
00:07:18,970 --> 00:07:23,130
er det samme som kvadratroden af 9 gange kvadratroden af 3a.

155
00:07:23,130 --> 00:07:25,080
Det er det trin, vi har sprunget over i begge to.

156
00:07:25,080 --> 00:07:27,580
Forhåbentlig forvirrer det ikke.

157
00:07:27,580 --> 00:07:30,140
Udtrykket her bliver 2.

158
00:07:30,140 --> 00:07:31,990
Det bliver 2.

159
00:07:31,990 --> 00:07:37,220
Det her bliver 4 gange kvadratroden af 3a.

160
00:07:37,220 --> 00:07:40,840
Det herovre bliver 3,

161
00:07:40,840 --> 00:07:45,000
så det bliver plus 3 gange kvadratroden af 3a.

162
00:07:45,000 --> 00:07:51,480
4 gange en faktor plus 3 gange den samme faktor er lig med 7 gange den samme faktor.

163
00:07:51,480 --> 00:07:53,930
Det bliver altså 7 gange kvadratroden af 3a.

164
00:07:53,930 --> 00:07:56,270
Det gav forhåbentlig mening.