Introduktion til minimum- og maksimumpunkter

Vi forklarer alt om minimum- og maksimumpunkter, både lokale og globale.

Algebra 1 dækker både noget af pensum for udskolingen i folkeskolen og gymnasiet. Det er emner som: Lineær ligninger og uligheder, funktioner og grafer. Udvidelse af funktionskonceptet som f.eks eksponentielle modeller samt andengradsligninger, funktioner og grafer. På Khan Academy kan du arbejde dybdegående med disse emner.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Her har jeg tegnet grafen for
funktionen y er lig med f(x).

Jeg har tegnet grafen
over dette interval

mellem 0 og en positiv værdi.

Lad os se på maksimum og
minimum værdier på denne graf.

Vi har allerede snakket en smule
om globalt maksimum

og globalt minimum i et interval
og de er ret tydelige.

Der er et maksimum her
helt i starten af vores interval.

Når x er lig med 0, så er der
et globalt maksimum for intervallet.

og det globale minimum
punkt for intervallet

er ved det andet yderpunkt.

Hvis dette er a, dette er b,
så er det globale minimum er f(b).

Og det globale maksimum
punkt er f(a),

hvor a er omkring 0.

men du tænker sikkert,

der er nogen interessante punkter herovre.

Det punkt herovre er ikke det største.

Vi snakker ikke om den værdi herovre.

Det er klart ikke den største værdi
som funktionen har i intervallet.

Men i forhold til de andre værdier
omkring den er det en lille bakke,

der har større værdier
end de andre punkter.

Lokalt er det et maksimum og det er
derfor at værdien her kaldes

-- lad os sige det er c, så f(c) --
et lokalt maksimum.

Vi siger lokalt fordi
funktionen tydeligvis

antager andre værdier der
er større end det

men for x værdier tæt på c,
er f(c) større end alle de andre.

På samme vis, hvis det punkt
her er d, så er f(d)

et lokalt minimumpunkt eller
en lokal minimumværdi.

Over hele intervallet er der andre
punkter, der er lavere.

Vi har et globalt minimum for
intervallet ved x er lig med b,

men der er et lokalt minimum,
fordi det er lavere end andre

x værdier omkring d.

Funktionsværdierne omkring det
er større.

Det er nemt for mig at sige,

at et lokalt maksimum har en større
funktionsværdi

end nogen af de
omkringliggende værdier

og et lokalt minimum har lavere værdier
end de omkringliggende værdier,

Men hvordan kan vi skrive det matematisk?

Her er definitionen, som er en formel
måde at sige, hvad jeg lige har sagt.

f(c) er et lokalt maksimum,

hvis f(c) er større end eller lig
med f(x) for alle x nær c.

Men det er ikke præcist, for hvad
betyder det at være nær c?

En mere præcis måde
at sige det på er,

for alle x i et åbent
interval fra c minus h til

c plus h, hvor h er en værdi større end 0.

Giver det mening?

Lad os kigge på det.

Lad os lave et åbent interval.

Du skal finde et åbent interval
og der kan være mange

intervaller, hvor dette er sandt.

Hvis vi laver et åbent interval,
hvor værdien her er c plus h

og værdien herovre er c minus h,

så kan du se, at i dette interval er f(c)
større end alle andre funktionsværdier.

Jeg opfordrer dig til at sætte videoen
på pause, så du kan skrive

hvad den formelle definition
af et lokalt minimumspunkt er.

Lad os bruge d som et lokalt minimum.

f(d) er et lokalt minimumpunkt,
hvis f(d) er mindre end

eller lig med f(x) for alle x i et
åbent interval mellem d minus h og

d plus h, hvor h er større end 0.

Så du kan finde et interval her.

Lad os sige, at dette er d plus h,
og dette er d minus h.

Funktionen f(d) over dette
interval er altid mindre end

eller lig med enhver af de andre værdier,
for f(x) i intervallet.

Det er derfor vi siger det er
et lokalt minimumpunkt.

Så på hverdagssprog siges,
lokalt maksimum er

hvis funktionen antager
en større værdi ved c

end for alle x nær c.

For lokalt minimum,

hvis funktionen antager
en mindre værdi

ved d end for alle x nær d.