Introduktion til minimum- og maksimumpunkter

"Relativt minimum
og maksimum"

Herovre har jeg tegnet funktionen i grafen

Y er lig med F af X

jeg har tegnet grafen
over dette interval

Det ligner det er mellem
0 og en positiv værdi

og jeg vil tænke over maksimum
og minimum punkter

på denne graf

Vi har allerede snakket en smule
om absolut maksimum

og absolut minimum i et interval

og de er ret tydelige

vi rammer et maksimum herovre

helt i starten af vores interval

det ligner at det er
når X er lig med 0

dette er det absolutte maksimums
punkt for intervallet

og det absolutte minimums
punkt for intervallet

sker ved det andet yderpunkt.

Så hvis dette er A, dette er B,
det absolutte minimums punkt

er F af B

og det absolutte maksimums
punkt er F af B

og det ligner at A er lig med 0

men du tænker sikkert, hey

der er nogen interessante punkter herovre.

Det punkt herovre er ikke det største

vi snakker ikke om den værdi herovre

det er helt sikkert ikke den største værdi

det er klart ikke den største værdi

som funktionen har indenfor intervallet

men ifht. til de andre værdier omkring den

virker det som en lille bakke

den er større end de andre
omkring den

lokalt ligner det et maksimum

og det er derfor at værdien herovre

ville kaldes... lad os sige C

dette er C, så dette er F af C
vi ville sige at

F af C er en relativ maksimal værdi

og vi siger relativt fordi
funktionen tydeligvis

antager andre værdier der
er større end det

men for X værdierne tæt på C, er

F af C større end alle de andre

På samme vis - jeg kan aldrig sige de ord

På samme vis, hvis det punkt
herovre er D, så ligner F af D

et relativt minimums punkt

eller en relativ minimums værdi

F af D er et relativt minimum
eller lokalt minimums værdi

og igen, over hele intervallet

er der bestemt punkter
der er lavere

og vi rammer et absolut
minimum for intervallet

ved X er lig med B

men det er et relativt minimum eller
lokalt minimum

fordi det er lavere end- hvis vi

kigger på X værdierne omkring D
så er funktionen af de værdier

højere end når vi kommer til D

så lad os overveje...
det er fint for mig at sige

du er ved et relativt maksimum

hvis du rammer en større
funktionsværdi

end nogen af de omkringliggende
værdier

og du er ved et minimum
hvis du er

ved en mindre værdi end de
omkringliggende værdier

Men hvordan kan vi skrive det matematisk?

Jeg kan give dig definitionen

som bare er den mere
formelle måde

at sige hvad vi lige har sagt

så vi siger at F af C
er et relativt maksimum

relativt maksimums
værdi hvis F af C

er større end eller lig
med F af X for alle

X som ... vi kan sige
for alle X nær C

så vi kan skrive det sådan

Men det er ikke alt for
præcist for hvad

betyder det at være
nær C?

så en mere præcis måde
at sige det på er,

for alle X som er i et åbent
interval af C minus

H til C plus H, hvor H er en
værdi større end nul.

Giver det mening?

Lad os kigge på det.

Lad os lave et åbent interval.

Hvor det ser ud til at for
alle X værdier i...

og du skal kun kunne finde
ét åbent interval

der kan være mange åbne
intervaller hvor dette er sandt

men hvis vi laver et åbent interval som

ser sådan ud, så værdien
herovre

er C plus H

Værdien herovre
C minus H

og du ser at over
dette interval

er funktionen af C, F af C
helt sikkert

større end eller lig med
funktionens værdi

i enhvert andet område
i det åbne interval.

Du kan forestille dig...
og jeg opfordrer

dig til at pause videoen så du
kan skrive

hvad den formelle definition
af det relative minimums punkt

er.

Vi ville bare skrive...
lad os tage

D som vores
relative minimum

vi kan sige at F af D er
et relativt minimums punkt

hvis F af D er mindre end
eller lig med F af X

for alle F i et interval,
et åbent interval,

mellem D minus H og
D plus H for H større end nul.

Så du kan finde et interval her.

Lad os sige at dette er
D plus H

Dette er D minus H.

Funktionen over dette
interval F af D er altid

mindre end eller lig med
enhver af de andre værdier,

F'erne for alle X'erne,
i intervallet.

Det er derfor vi siger det er
et relativt minimums punkt.

Så i hverdags sprog for
relativt maksimum er

hvis funktionen antager
en større værdi ved C

end for X værdierne rundt om C.

Og du er ved en relativ
minimums værdi

hvis funktionen antager
en mindre værdi

ved D end for X nær ved D.