-
In de vorige video hadden we een drie-dimensionale oppervlakte
-
waar de hoogte z een functie was van x en y.
-
Dat gaf ons een oppervlakte in een drie-dimensionale ruimte.
-
Laten we nu proberen om te begrijpen hoe de gradient
-
van een functie met drie variabelen eruit ziet.
-
De gemakkelijkste die ik me kan voorstellen is een scalair veld.
-
Wat is een voorbeeld van een scalair veld?
-
Eentje die redelijk makkelijk te begrijpen is, is de temperatuur in
-
een drie-dimensionale kamer.
-
Laten we aannemen dat de temperatuur in een kamer een functie is van
-
mijn positie in die kamer.
-
Laten we zeggen dat het een functie is van mijn x, y, en z coordinaten.
-
En, ik weet het ook niet, hoor, ik heb nog nooit in het echt de verdeling van temperatuur gemeten.
-
Maar laten we zeggen dat we, pak hem beet, een 20 Kelvin...
-
Laat ik dat veranderen zodat het uitkomt met onze vector veld.
-
Laten we zeggen dat ik een 10 Kelvin warmtebron heb
-
in het midden van onze kamer.
-
Ik stel me voor dat als je verder en verder van die
-
warmtebron afgaat dat het kouder en kouder wordt.
-
Dus laten we aannemen dat de temperatuur functie
-
en laten we zeggen dat het midden van de kamer
-
is op de coordinaten: x, y, en z gelijk aan 0.
-
Dus laten we aannemen dat de temperatuur functie - ik verzin maar wat
-
Ik weet niet zeker of dit een correct temperatuurs-model is - gelijk is aan 20.... nee
-
gelijk is aan 10 keer e tot de macht -r kwadraat.
-
Waarom zei ik r?
-
Ik zei dat het een functie is van x, y en z.
-
Ik bedoel gewoon te zeggen dat het exponentieel afneemt
-
naarmate je verder en verder van die bron afgaat.
-
Min of meer radieel verder en verder van die bron afgaat.
-
Wat bedoel ik met een radiele afstand?
-
Dit is eigenlijk niet zo relevant voor het leren van gradienten
-
maar laten we een beetje een gevoel krijgen hoe die
-
echte temperatuurs functie - hoe die in het echt verandert
-
terwijl je door die kamer loopt.
-
De radius (straal) vanaf het midden, dat is gewoon
-
r kwadraat is gewoon x kwadraat, plus y kwadraat, plus z kwadraat.
-
Dat is gewoon de theorie van Pythagoras in drie dimensies.
-
Dus laten we onze temperatuur functie opschrijven.
-
Laten we opschrijven dat temperatuur, als een functie van x, y en z,
-
gelijk is aan 10 keer e tot de macht min x kwadraat plus y kwadraat
-
plus z kwadraat, precies wat ik hier heb opgeschreven.
-
Maar in plaats van x kwadraat plus y kwadraat plus z kwadraat, heb ik
-
r kwadraat opgeschreven, gewoon om je een idee te geven dat deze
-
uitdrukking gewoon het kwadraat van de afstand is
-
naarmate we verder en verder van het midden van de kamer gaan, ofwel van het
-
coordinaat 0,0,0.
-
Maar dat is niet wat we hier gaan leren.
-
Ik wil gewoon dat je gaat begrijpen, of in ieder geval gaan aanvoelen
-
hoe moeilijk het is om een scalair veld te tekenen.
-
Wat een scalair veld gewoon betekent, is dat op elk punt
-
in deze ruimte, en in dit geval hebben we het over een drie-dimensionale ruimte,
-
dat op elk punt in deze ruimte we een waarde kunnen associeren.
-
En dat is logisch.
-
Stel dat je een thermometer pakt en een meting doet
-
op een willekeurig punt in de ruimte waar je nu in bent,
-
dan krijg je een temperatuurs-waarde.
-
Het is niet zo dat je een temperatuur en een richting meet,
-
dus het is geen vectorveld.
-
Je meet alleen een temperatuur.
-
En daarom heet het een scalair veld.
-
Met elke coordinaat is alleen
-
een temperatuur geassocieerd.
-
Hoe moeten we de gradient van deze functie zien?
-
Nou, de gradient van deze functie vertelt ons
-
in welke richting - eigenlijk, de gradient van deze functie
-
gaat een vectorveld afbeelden, omdat het
-
ons gaat vertellen in welke richting we de grootste
-
toename van temperatuur hebben.
-
En de grootte van deze vectors in dat vectorveld
-
gaat ons laten zien hoe groot
-
de temperatuurs-toename zal zijn.
-
Je kunt het ook zien als een
-
drie-dimensionale helling.
-
Hopelijk breng ik je niet in de war.
-
Dus laten we nu de gradient gaan uitrekenen, en daarna zal ik je
-
een diagram laten zien dat alles wat duidelijker zal maken.
-
Laat ik dit hier even uitwissen.
-
En ik ga nu een andere kleur gebruiken dan dit blauw
-
want ik word er een beetje misselijk van.
-
OK, de gradient van T is gelijk aan de
-
partiele afgeleide T met betrekking tot x, maal de vector-eenheid in de x richting,
-
plus de partiele afgeleide van de temperatuurs-functie
-
met betrekking to y, maal de vector-eenheid in de y richting,
-
plus de partieel afgeleide van de temperatuurs-functie
-
met betrekking tot z, maal de vector-eenheid
-
in de z richting.
-
En nu gaan we gewoon even de
-
partieel afgeleides uitrekenen.
-
Dus, de gradient van T is gelijk aan - en nu denk je misschien
-
O jee, ik heb een e tot de macht van een functie met drie variabelen
-
hoe ga ik in vredesnaam daar de partiele afgeleide van uitrekenen?
-
Maar bedenk, als je de partiele afgeleide met betrekking tot x neemt,
-
dan doe je gewoon alsof de x'en en y'en constanten zijn.
-
Dus laten we dat gaan doen.
-
We nemen de afgeleide van de binnenste functie,
-
Zo zie ik dat.
-
Dus min x kwadraat, plus y kwadraat, plus z kwadraat,
-
met betrekking tot x.
-
Je kunt de min verdelen zoals je zelf wilt.
-
Dus dat is dan min x kwadraat min y kwadraat
-
min z kwadraat.
-
Dus, de afgeleide daarvan met betrekking tot x is dan gewoon,
-
dit zijn gewoon constanten, dus de afgeleide
-
met betrekking tot x is dan nul.
-
Dus de afgeleide is min 2x.
-
Snap je?
-
Min 2x is de afgeleide van min x kwadraat.
-
Min 2x, maal de afgeleide van de buitenkant.
-
Wat is dan de afgeleide van e tot de macht x?
-
De afgeleide van e tot de macht x is e tot de macht x.
-
Daarom is e zo'n geweldig getal.
-
En deze 10 hier, dat is gewoon een constante, die
-
wanneer je de afgeleide van een constante maal iets neemt,
-
dan blijft die gewoon hetzelfde.
-
Dus de afgeleide van de buitenkant van de uitdrukking, zoals ik het zie,
-
is dan gelijk aan 10 maal e tot de macht min x kwadraat plus
-
y kwadraat plus z kwadraat.
-
En dan alles maal de vector eenheid in de i richting.
-
Snap je?
-
En nu kunnen we hetzelfde doen voor de y richting.
-
Dus plus - wat is de partieel afgeleide hiervan
-
met betrekking tot y?
-
Nou, dat gaat er heel erg op lijken.
-
De partieel afgeleide van deze binnen-functie
-
met betrekking to y, dat is min y kwadraat.
-
Dus, het is min 2y.
-
En de afgeleide van dit hele ding is
-
gewoon zichzelf.
-
Dus, maal 10 e tot de macht min x kwadraat
-
plus y kwadraat plus z kwadraat.
-
En dat alles maal de eenheidsvector
-
in de y richting maal j.
-
Tenslotte, de partieel afgeleide van de
-
temperatuurs-functie ten opzichte van z.
-
Dat is gewoon min 2z maal 10 e tot de macht min x kwadraat
-
plus y kwadraat plus z kwadraat.
-
Dat is gewoon de kettingregel.
-
En ik behandel de andere twee variabelen, waar ik niet de
-
partieel afgeleide met betrekking tot uitreken, als constanten.
-
En dat allemaal keer de eenheids vector in de k richting.
-
Dit kunnen we wat eenvoudiger maken.
-
Je kunt min 2x maal 10 ook opschrijven als
-
min 20x.
-
Laat ik dat hier opschrijven.
-
Dus, de temperatuursgradient functie is gelijk aan
-
-20 e tot de macht min x kwadraat plus y kwadraat,
-
als je dit kunt lezen, plus z kwadraat, maal i min 20y.
-
Maar laat ik het kort houden,
-
want ik ben bijna door mijn tijd heen.
-
Ik denk dat je deze wiskunde wat eenvoudiger kunt maken.
-
Hoe dan ook, het belangrijkste van gradienten,
-
is dat je ze gemakkelijk kunt uitrekenen,
-
maar om ze te begrijpen - oh, sorry
-
Dit hoort er ook nog bij.
-
Dat moet een k zijn.
-
Het is lastig om ze te begrijpen.
-
Dus laten we proberen om ons voor te stellen
-
hoe deze gradients-functie er in het echt uitziet.
-
Wat zou er gebeuren?
-
Als je de gradient in elk willekeurig punt in de ruimte wilt weten
-
dan moet je hier een x, y en z invullen.
-
Dus je kunt de gradients-functie opschrijven
-
als een functie van x, y, en z.
-
Bedenk dat T, de temperatuur op elk willekeurig punt, een scalair veld was.
-
Op elk willekeurig drie-dimensionaal punt
-
kreeg je gewoon een getal.
-
Bij de gradient krijg je op elk willekeurig drie-dimensionaal punt
-
een vector.
-
Snap je?
-
Want het had i, j en k componenten.
-
De grootte wordt aangegeven door de partieel afgeleiden,
-
en de richting door i, j, en k.
-
Dus nu hebben we, in plaats van een scalair veld, een vector veld.
-
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet.
-
Laat ik dit een beetje groter maken, zodat we het beter kunnen zien.
-
Ja, dat ziet er goed uit.
-
Dit is het vector veld.
-
Dit is eigenlijk een gradient van de functie
-
die we zojuist hebben opgelost.
-
Zoals je ziet, op elk willekeurig punt, en dit graphische programma
-
dat dit heeft uitgerekend, dat heeft gewoon verschillende punten genomen
-
en toen de gradienten op dat punt uitgerekend,
-
en die daarna als vectoren getekend.
-
Dus, de lengte van de vectoren is gewoon
-
de grootte van de x, y en z componenten.
-
En daarna tel je ze bij elkaar op, zoals je alle vectoren bij elkaar optelt.
-
De richting wordt aangegeven door het relatieve gewicht
-
van de i, j en k componenten.
-
En zoals je kan zien,
-
het is gemakkelijk te begrijpen
-
Naarmate je dichter en dichter bij onze warmtebron komt
-
neemt de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt, toe.
-
Begrijp je?
-
Naarmate je dichterbij komt, worden de vectoren groter en groter.
-
Laat ik even inzoomen.
-
Laten we in dit vector-veld vliegen.
-
OK, we zijn nu in het vector veld.
-
Zoals je ziet, naar mate we dichter en dichter bij het midden
-
van onze warmtebron komen, worden de vectoren,
-
de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt, groter en groter en groter.
-
Hoe dan ook, ik hoop dat ik je niet in de war gebracht heb.
-
Toen ik voor het eerst gradienten leerde,
-
vond ik de berekening heel vanzelfsprekend.
-
Het zijn gewoon partieel afgeleiden.
-
Maar het snappen ervan is juist het interessanste.
-
En hopelijk vond je deze temperatuurs-analogie,
-
of liever gezegd, dit temperatuurs-model,
-
een beetje begrijpelijk.
-
Maar je kunt dit ook in bijna elk willekeurig scalair veld toepassen.
-
Hoe dan ook, ik zie je in de volgende video.
