In de vorige video hadden we een drie-dimensionale oppervlakte
waar de hoogte z een functie was van x en y.
Dat gaf ons een oppervlakte in een drie-dimensionale ruimte.
Laten we nu proberen om te begrijpen hoe de gradient
van een functie met drie variabelen eruit ziet.
De gemakkelijkste die ik me kan voorstellen is een scalair veld.
Wat is een voorbeeld van een scalair veld?
Eentje die redelijk makkelijk te begrijpen is, is de temperatuur in
een drie-dimensionale kamer.
Laten we aannemen dat de temperatuur in een kamer een functie is van
mijn positie in die kamer.
Laten we zeggen dat het een functie is van mijn x, y, en z coordinaten.
En, ik weet het ook niet, hoor, ik heb nog nooit in het echt de verdeling van temperatuur gemeten.
Maar laten we zeggen dat we, pak hem beet, een 20 Kelvin...
Laat ik dat veranderen zodat het uitkomt met onze vector veld.
Laten we zeggen dat ik een 10 Kelvin warmtebron heb
in het midden van onze kamer.
Ik stel me voor dat als je verder en verder van die
warmtebron afgaat dat het kouder en kouder wordt.
Dus laten we aannemen dat de temperatuur functie
en laten we zeggen dat het midden van de kamer
is op de coordinaten: x, y, en z gelijk aan 0.
Dus laten we aannemen dat de temperatuur functie - ik verzin maar wat
Ik weet niet zeker of dit een correct temperatuurs-model is - gelijk is aan 20.... nee
gelijk is aan 10 keer e tot de macht -r kwadraat.
Waarom zei ik r?
Ik zei dat het een functie is van x, y en z.
Ik bedoel gewoon te zeggen dat het exponentieel afneemt
naarmate je verder en verder van die bron afgaat.
Min of meer radieel verder en verder van die bron afgaat.
Wat bedoel ik met een radiele afstand?
Dit is eigenlijk niet zo relevant voor het leren van gradienten
maar laten we een beetje een gevoel krijgen hoe die
echte temperatuurs functie - hoe die in het echt verandert
terwijl je door die kamer loopt.
De radius (straal) vanaf het midden, dat is gewoon
r kwadraat is gewoon x kwadraat, plus y kwadraat, plus z kwadraat.
Dat is gewoon de theorie van Pythagoras in drie dimensies.
Dus laten we onze temperatuur functie opschrijven.
Laten we opschrijven dat temperatuur, als een functie van x, y en z,
gelijk is aan 10 keer e tot de macht min x kwadraat plus y kwadraat
plus z kwadraat, precies wat ik hier heb opgeschreven.
Maar in plaats van x kwadraat plus y kwadraat plus z kwadraat, heb ik
r kwadraat opgeschreven, gewoon om je een idee te geven dat deze
uitdrukking gewoon het kwadraat van de afstand is
naarmate we verder en verder van het midden van de kamer gaan, ofwel van het
coordinaat 0,0,0.
Maar dat is niet wat we hier gaan leren.
Ik wil gewoon dat je gaat begrijpen, of in ieder geval gaan aanvoelen
hoe moeilijk het is om een scalair veld te tekenen.
Wat een scalair veld gewoon betekent, is dat op elk punt
in deze ruimte, en in dit geval hebben we het over een drie-dimensionale ruimte,
dat op elk punt in deze ruimte we een waarde kunnen associeren.
En dat is logisch.
Stel dat je een thermometer pakt en een meting doet
op een willekeurig punt in de ruimte waar je nu in bent,
dan krijg je een temperatuurs-waarde.
Het is niet zo dat je een temperatuur en een richting meet,
dus het is geen vectorveld.
Je meet alleen een temperatuur.
En daarom heet het een scalair veld.
Met elke coordinaat is alleen
een temperatuur geassocieerd.
Hoe moeten we de gradient van deze functie zien?
Nou, de gradient van deze functie vertelt ons
in welke richting - eigenlijk, de gradient van deze functie
gaat een vectorveld afbeelden, omdat het
ons gaat vertellen in welke richting we de grootste
toename van temperatuur hebben.
En de grootte van deze vectors in dat vectorveld
gaat ons laten zien hoe groot
de temperatuurs-toename zal zijn.
Je kunt het ook zien als een
drie-dimensionale helling.
Hopelijk breng ik je niet in de war.
Dus laten we nu de gradient gaan uitrekenen, en daarna zal ik je
een diagram laten zien dat alles wat duidelijker zal maken.
Laat ik dit hier even uitwissen.
En ik ga nu een andere kleur gebruiken dan dit blauw
want ik word er een beetje misselijk van.
OK, de gradient van T is gelijk aan de
partiele afgeleide T met betrekking tot x, maal de vector-eenheid in de x richting,
plus de partiele afgeleide van de temperatuurs-functie
met betrekking to y, maal de vector-eenheid in de y richting,
plus de partieel afgeleide van de temperatuurs-functie
met betrekking tot z, maal de vector-eenheid
in de z richting.
En nu gaan we gewoon even de
partieel afgeleides uitrekenen.
Dus, de gradient van T is gelijk aan - en nu denk je misschien
O jee, ik heb een e tot de macht van een functie met drie variabelen
hoe ga ik in vredesnaam daar de partiele afgeleide van uitrekenen?
Maar bedenk, als je de partiele afgeleide met betrekking tot x neemt,
dan doe je gewoon alsof de x'en en y'en constanten zijn.
Dus laten we dat gaan doen.
We nemen de afgeleide van de binnenste functie,
Zo zie ik dat.
Dus min x kwadraat, plus y kwadraat, plus z kwadraat,
met betrekking tot x.
Je kunt de min verdelen zoals je zelf wilt.
Dus dat is dan min x kwadraat min y kwadraat
min z kwadraat.
Dus, de afgeleide daarvan met betrekking tot x is dan gewoon,
dit zijn gewoon constanten, dus de afgeleide
met betrekking tot x is dan nul.
Dus de afgeleide is min 2x.
Snap je?
Min 2x is de afgeleide van min x kwadraat.
Min 2x, maal de afgeleide van de buitenkant.
Wat is dan de afgeleide van e tot de macht x?
De afgeleide van e tot de macht x is e tot de macht x.
Daarom is e zo'n geweldig getal.
En deze 10 hier, dat is gewoon een constante, die
wanneer je de afgeleide van een constante maal iets neemt,
dan blijft die gewoon hetzelfde.
Dus de afgeleide van de buitenkant van de uitdrukking, zoals ik het zie,
is dan gelijk aan 10 maal e tot de macht min x kwadraat plus
y kwadraat plus z kwadraat.
En dan alles maal de vector eenheid in de i richting.
Snap je?
En nu kunnen we hetzelfde doen voor de y richting.
Dus plus - wat is de partieel afgeleide hiervan
met betrekking tot y?
Nou, dat gaat er heel erg op lijken.
De partieel afgeleide van deze binnen-functie
met betrekking to y, dat is min y kwadraat.
Dus, het is min 2y.
En de afgeleide van dit hele ding is
gewoon zichzelf.
Dus, maal 10 e tot de macht min x kwadraat
plus y kwadraat plus z kwadraat.
En dat alles maal de eenheidsvector
in de y richting maal j.
Tenslotte, de partieel afgeleide van de
temperatuurs-functie ten opzichte van z.
Dat is gewoon min 2z maal 10 e tot de macht min x kwadraat
plus y kwadraat plus z kwadraat.
Dat is gewoon de kettingregel.
En ik behandel de andere twee variabelen, waar ik niet de
partieel afgeleide met betrekking tot uitreken, als constanten.
En dat allemaal keer de eenheids vector in de k richting.
Dit kunnen we wat eenvoudiger maken.
Je kunt min 2x maal 10 ook opschrijven als
min 20x.
Laat ik dat hier opschrijven.
Dus, de temperatuursgradient functie is gelijk aan
-20 e tot de macht min x kwadraat plus y kwadraat,
als je dit kunt lezen, plus z kwadraat, maal i min 20y.
Maar laat ik het kort houden,
want ik ben bijna door mijn tijd heen.
Ik denk dat je deze wiskunde wat eenvoudiger kunt maken.
Hoe dan ook, het belangrijkste van gradienten,
is dat je ze gemakkelijk kunt uitrekenen,
maar om ze te begrijpen - oh, sorry
Dit hoort er ook nog bij.
Dat moet een k zijn.
Het is lastig om ze te begrijpen.
Dus laten we proberen om ons voor te stellen
hoe deze gradients-functie er in het echt uitziet.
Wat zou er gebeuren?
Als je de gradient in elk willekeurig punt in de ruimte wilt weten
dan moet je hier een x, y en z invullen.
Dus je kunt de gradients-functie opschrijven
als een functie van x, y, en z.
Bedenk dat T, de temperatuur op elk willekeurig punt, een scalair veld was.
Op elk willekeurig drie-dimensionaal punt
kreeg je gewoon een getal.
Bij de gradient krijg je op elk willekeurig drie-dimensionaal punt
een vector.
Snap je?
Want het had i, j en k componenten.
De grootte wordt aangegeven door de partieel afgeleiden,
en de richting door i, j, en k.
Dus nu hebben we, in plaats van een scalair veld, een vector veld.
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet.
Laat ik dit een beetje groter maken, zodat we het beter kunnen zien.
Ja, dat ziet er goed uit.
Dit is het vector veld.
Dit is eigenlijk een gradient van de functie
die we zojuist hebben opgelost.
Zoals je ziet, op elk willekeurig punt, en dit graphische programma
dat dit heeft uitgerekend, dat heeft gewoon verschillende punten genomen
en toen de gradienten op dat punt uitgerekend,
en die daarna als vectoren getekend.
Dus, de lengte van de vectoren is gewoon
de grootte van de x, y en z componenten.
En daarna tel je ze bij elkaar op, zoals je alle vectoren bij elkaar optelt.
De richting wordt aangegeven door het relatieve gewicht
van de i, j en k componenten.
En zoals je kan zien,
het is gemakkelijk te begrijpen
Naarmate je dichter en dichter bij onze warmtebron komt
neemt de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt, toe.
Begrijp je?
Naarmate je dichterbij komt, worden de vectoren groter en groter.
Laat ik even inzoomen.
Laten we in dit vector-veld vliegen.
OK, we zijn nu in het vector veld.
Zoals je ziet, naar mate we dichter en dichter bij het midden
van onze warmtebron komen, worden de vectoren,
de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt, groter en groter en groter.
Hoe dan ook, ik hoop dat ik je niet in de war gebracht heb.
Toen ik voor het eerst gradienten leerde,
vond ik de berekening heel vanzelfsprekend.
Het zijn gewoon partieel afgeleiden.
Maar het snappen ervan is juist het interessanste.
En hopelijk vond je deze temperatuurs-analogie,
of liever gezegd, dit temperatuurs-model,
een beetje begrijpelijk.
Maar je kunt dit ook in bijna elk willekeurig scalair veld toepassen.
Hoe dan ook, ik zie je in de volgende video.