WEBVTT 00:00:00.710 --> 00:00:04.270 In de vorige video hadden we een drie-dimensionale oppervlakte 00:00:04.270 --> 00:00:08.170 waar de hoogte z een functie was van x en y. 00:00:08.170 --> 00:00:10.760 Dat gaf ons een oppervlakte in een drie-dimensionale ruimte. 00:00:10.760 --> 00:00:14.700 Laten we nu proberen om te begrijpen hoe de gradient 00:00:14.700 --> 00:00:19.340 van een functie met drie variabelen eruit ziet. 00:00:19.340 --> 00:00:22.920 De gemakkelijkste die ik me kan voorstellen is een scalair veld. 00:00:22.920 --> 00:00:24.440 Wat is een voorbeeld van een scalair veld? 00:00:24.440 --> 00:00:27.920 Eentje die redelijk makkelijk te begrijpen is, is de temperatuur in 00:00:27.920 --> 00:00:29.140 een drie-dimensionale kamer. 00:00:29.140 --> 00:00:34.140 Laten we aannemen dat de temperatuur in een kamer een functie is van 00:00:34.140 --> 00:00:35.700 mijn positie in die kamer. 00:00:35.700 --> 00:00:42.670 Laten we zeggen dat het een functie is van mijn x, y, en z coordinaten. 00:00:42.670 --> 00:00:45.340 En, ik weet het ook niet, hoor, ik heb nog nooit in het echt de verdeling van temperatuur gemeten. 00:00:45.340 --> 00:00:50.330 Maar laten we zeggen dat we, pak hem beet, een 20 Kelvin... 00:00:50.330 --> 00:00:52.290 Laat ik dat veranderen zodat het uitkomt met onze vector veld. 00:00:52.290 --> 00:00:54.460 Laten we zeggen dat ik een 10 Kelvin warmtebron heb 00:00:54.460 --> 00:00:57.950 in het midden van onze kamer. 00:00:57.950 --> 00:01:00.650 Ik stel me voor dat als je verder en verder van die 00:01:00.650 --> 00:01:02.600 warmtebron afgaat dat het kouder en kouder wordt. 00:01:02.600 --> 00:01:04.940 Dus laten we aannemen dat de temperatuur functie 00:01:04.940 --> 00:01:07.810 en laten we zeggen dat het midden van de kamer 00:01:07.810 --> 00:01:09.240 is op de coordinaten: x, y, en z gelijk aan 0. 00:01:09.240 --> 00:01:11.170 Dus laten we aannemen dat de temperatuur functie - ik verzin maar wat 00:01:11.170 --> 00:01:23.880 Ik weet niet zeker of dit een correct temperatuurs-model is - gelijk is aan 20.... nee 00:01:23.880 --> 00:01:31.700 gelijk is aan 10 keer e tot de macht -r kwadraat. 00:01:31.700 --> 00:01:32.940 Waarom zei ik r? 00:01:32.940 --> 00:01:34.260 Ik zei dat het een functie is van x, y en z. 00:01:34.260 --> 00:01:39.350 Ik bedoel gewoon te zeggen dat het exponentieel afneemt 00:01:39.350 --> 00:01:41.560 naarmate je verder en verder van die bron afgaat. 00:01:41.560 --> 00:01:44.200 Min of meer radieel verder en verder van die bron afgaat. 00:01:44.200 --> 00:01:46.440 Wat bedoel ik met een radiele afstand? 00:01:46.440 --> 00:01:48.310 Dit is eigenlijk niet zo relevant voor het leren van gradienten 00:01:48.310 --> 00:01:50.320 maar laten we een beetje een gevoel krijgen hoe die 00:01:50.320 --> 00:01:54.230 echte temperatuurs functie - hoe die in het echt verandert 00:01:54.230 --> 00:01:56.210 terwijl je door die kamer loopt. 00:01:56.210 --> 00:02:01.030 De radius (straal) vanaf het midden, dat is gewoon 00:02:01.030 --> 00:02:06.030 r kwadraat is gewoon x kwadraat, plus y kwadraat, plus z kwadraat. 00:02:06.030 --> 00:02:09.070 Dat is gewoon de theorie van Pythagoras in drie dimensies. 00:02:09.070 --> 00:02:10.550 Dus laten we onze temperatuur functie opschrijven. 00:02:10.550 --> 00:02:18.840 Laten we opschrijven dat temperatuur, als een functie van x, y en z, 00:02:18.840 --> 00:02:29.990 gelijk is aan 10 keer e tot de macht min x kwadraat plus y kwadraat 00:02:29.990 --> 00:02:33.370 plus z kwadraat, precies wat ik hier heb opgeschreven. 00:02:33.370 --> 00:02:35.790 Maar in plaats van x kwadraat plus y kwadraat plus z kwadraat, heb ik 00:02:35.790 --> 00:02:38.130 r kwadraat opgeschreven, gewoon om je een idee te geven dat deze 00:02:38.130 --> 00:02:41.220 uitdrukking gewoon het kwadraat van de afstand is 00:02:41.220 --> 00:02:45.010 naarmate we verder en verder van het midden van de kamer gaan, ofwel van het 00:02:45.010 --> 00:02:46.990 coordinaat 0,0,0. 00:02:46.990 --> 00:02:48.310 Maar dat is niet wat we hier gaan leren. 00:02:48.310 --> 00:02:50.880 Ik wil gewoon dat je gaat begrijpen, of in ieder geval gaan aanvoelen 00:02:50.880 --> 00:02:53.350 hoe moeilijk het is om een scalair veld te tekenen. 00:02:53.350 --> 00:02:57.460 Wat een scalair veld gewoon betekent, is dat op elk punt 00:02:57.460 --> 00:02:59.970 in deze ruimte, en in dit geval hebben we het over een drie-dimensionale ruimte, 00:02:59.970 --> 00:03:05.040 dat op elk punt in deze ruimte we een waarde kunnen associeren. 00:03:05.040 --> 00:03:05.840 En dat is logisch. 00:03:05.840 --> 00:03:08.400 Stel dat je een thermometer pakt en een meting doet 00:03:08.400 --> 00:03:11.180 op een willekeurig punt in de ruimte waar je nu in bent, 00:03:11.180 --> 00:03:12.540 dan krijg je een temperatuurs-waarde. 00:03:12.540 --> 00:03:14.590 Het is niet zo dat je een temperatuur en een richting meet, 00:03:14.590 --> 00:03:16.250 dus het is geen vectorveld. 00:03:16.250 --> 00:03:17.530 Je meet alleen een temperatuur. 00:03:17.530 --> 00:03:19.510 En daarom heet het een scalair veld. 00:03:19.510 --> 00:03:21.090 Met elke coordinaat is alleen 00:03:21.090 --> 00:03:22.610 een temperatuur geassocieerd. 00:03:22.610 --> 00:03:27.890 Hoe moeten we de gradient van deze functie zien? 00:03:27.890 --> 00:03:30.720 Nou, de gradient van deze functie vertelt ons 00:03:30.720 --> 00:03:33.290 in welke richting - eigenlijk, de gradient van deze functie 00:03:33.290 --> 00:03:36.210 gaat een vectorveld afbeelden, omdat het 00:03:36.210 --> 00:03:39.990 ons gaat vertellen in welke richting we de grootste 00:03:39.990 --> 00:03:41.580 toename van temperatuur hebben. 00:03:41.580 --> 00:03:44.660 En de grootte van deze vectors in dat vectorveld 00:03:44.660 --> 00:03:47.230 gaat ons laten zien hoe groot 00:03:47.230 --> 00:03:48.320 de temperatuurs-toename zal zijn. 00:03:48.320 --> 00:03:52.910 Je kunt het ook zien als een 00:03:52.910 --> 00:03:55.220 drie-dimensionale helling. 00:03:55.220 --> 00:03:56.190 Hopelijk breng ik je niet in de war. 00:03:56.190 --> 00:03:59.260 Dus laten we nu de gradient gaan uitrekenen, en daarna zal ik je 00:03:59.260 --> 00:04:02.630 een diagram laten zien dat alles wat duidelijker zal maken. 00:04:02.630 --> 00:04:07.210 Laat ik dit hier even uitwissen. 00:04:07.210 --> 00:04:09.480 En ik ga nu een andere kleur gebruiken dan dit blauw 00:04:09.480 --> 00:04:14.590 want ik word er een beetje misselijk van. 00:04:14.590 --> 00:04:22.540 OK, de gradient van T is gelijk aan de 00:04:22.540 --> 00:04:28.490 partiele afgeleide T met betrekking tot x, maal de vector-eenheid in de x richting, 00:04:28.490 --> 00:04:33.550 plus de partiele afgeleide van de temperatuurs-functie 00:04:33.550 --> 00:04:38.940 met betrekking to y, maal de vector-eenheid in de y richting, 00:04:38.940 --> 00:04:43.740 plus de partieel afgeleide van de temperatuurs-functie 00:04:43.740 --> 00:04:48.830 met betrekking tot z, maal de vector-eenheid 00:04:48.830 --> 00:04:50.080 in de z richting. 00:04:50.080 --> 00:04:52.180 En nu gaan we gewoon even de 00:04:52.180 --> 00:04:54.130 partieel afgeleides uitrekenen. 00:04:54.130 --> 00:05:00.470 Dus, de gradient van T is gelijk aan - en nu denk je misschien 00:05:00.470 --> 00:05:05.250 O jee, ik heb een e tot de macht van een functie met drie variabelen 00:05:05.250 --> 00:05:06.050 hoe ga ik in vredesnaam daar de partiele afgeleide van uitrekenen? 00:05:06.050 --> 00:05:08.500 Maar bedenk, als je de partiele afgeleide met betrekking tot x neemt, 00:05:08.500 --> 00:05:12.140 dan doe je gewoon alsof de x'en en y'en constanten zijn. 00:05:12.140 --> 00:05:14.360 Dus laten we dat gaan doen. 00:05:14.360 --> 00:05:19.500 We nemen de afgeleide van de binnenste functie, 00:05:19.500 --> 00:05:20.090 Zo zie ik dat. 00:05:20.090 --> 00:05:22.870 Dus min x kwadraat, plus y kwadraat, plus z kwadraat, 00:05:22.870 --> 00:05:24.440 met betrekking tot x. 00:05:24.440 --> 00:05:26.810 Je kunt de min verdelen zoals je zelf wilt. 00:05:26.810 --> 00:05:28.980 Dus dat is dan min x kwadraat min y kwadraat 00:05:28.980 --> 00:05:30.850 min z kwadraat. 00:05:30.850 --> 00:05:33.890 Dus, de afgeleide daarvan met betrekking tot x is dan gewoon, 00:05:33.890 --> 00:05:36.715 dit zijn gewoon constanten, dus de afgeleide 00:05:36.715 --> 00:05:38.180 met betrekking tot x is dan nul. 00:05:38.180 --> 00:05:40.590 Dus de afgeleide is min 2x. 00:05:40.590 --> 00:05:41.860 Snap je? 00:05:41.860 --> 00:05:45.670 Min 2x is de afgeleide van min x kwadraat. 00:05:45.670 --> 00:05:50.330 Min 2x, maal de afgeleide van de buitenkant. 00:05:50.330 --> 00:05:52.510 Wat is dan de afgeleide van e tot de macht x? 00:05:52.510 --> 00:05:55.100 De afgeleide van e tot de macht x is e tot de macht x. 00:05:55.100 --> 00:05:57.990 Daarom is e zo'n geweldig getal. 00:05:57.990 --> 00:06:00.810 En deze 10 hier, dat is gewoon een constante, die 00:06:00.810 --> 00:06:05.320 wanneer je de afgeleide van een constante maal iets neemt, 00:06:05.320 --> 00:06:06.700 dan blijft die gewoon hetzelfde. 00:06:06.700 --> 00:06:11.370 Dus de afgeleide van de buitenkant van de uitdrukking, zoals ik het zie, 00:06:11.370 --> 00:06:17.810 is dan gelijk aan 10 maal e tot de macht min x kwadraat plus 00:06:17.810 --> 00:06:21.860 y kwadraat plus z kwadraat. 00:06:21.860 --> 00:06:27.280 En dan alles maal de vector eenheid in de i richting. 00:06:27.280 --> 00:06:29.600 Snap je? 00:06:29.600 --> 00:06:34.040 En nu kunnen we hetzelfde doen voor de y richting. 00:06:34.040 --> 00:06:35.790 Dus plus - wat is de partieel afgeleide hiervan 00:06:35.790 --> 00:06:36.760 met betrekking tot y? 00:06:36.760 --> 00:06:37.820 Nou, dat gaat er heel erg op lijken. 00:06:37.820 --> 00:06:39.803 De partieel afgeleide van deze binnen-functie 00:06:39.803 --> 00:06:42.500 met betrekking to y, dat is min y kwadraat. 00:06:42.500 --> 00:06:43.250 Dus, het is min 2y. 00:06:46.670 --> 00:06:48.320 En de afgeleide van dit hele ding is 00:06:48.320 --> 00:06:50.680 gewoon zichzelf. 00:06:50.680 --> 00:06:55.680 Dus, maal 10 e tot de macht min x kwadraat 00:06:55.680 --> 00:06:58.180 plus y kwadraat plus z kwadraat. 00:06:58.180 --> 00:07:01.660 En dat alles maal de eenheidsvector 00:07:01.660 --> 00:07:04.920 in de y richting maal j. 00:07:04.920 --> 00:07:10.370 Tenslotte, de partieel afgeleide van de 00:07:10.370 --> 00:07:12.140 temperatuurs-functie ten opzichte van z. 00:07:12.140 --> 00:07:23.350 Dat is gewoon min 2z maal 10 e tot de macht min x kwadraat 00:07:23.350 --> 00:07:25.500 plus y kwadraat plus z kwadraat. 00:07:25.500 --> 00:07:26.620 Dat is gewoon de kettingregel. 00:07:26.620 --> 00:07:28.690 En ik behandel de andere twee variabelen, waar ik niet de 00:07:28.690 --> 00:07:31.870 partieel afgeleide met betrekking tot uitreken, als constanten. 00:07:31.870 --> 00:07:37.430 En dat allemaal keer de eenheids vector in de k richting. 00:07:37.430 --> 00:07:39.800 Dit kunnen we wat eenvoudiger maken. 00:07:39.800 --> 00:07:42.040 Je kunt min 2x maal 10 ook opschrijven als 00:07:42.040 --> 00:07:43.910 min 20x. 00:07:43.910 --> 00:07:44.750 Laat ik dat hier opschrijven. 00:07:44.750 --> 00:07:49.740 Dus, de temperatuursgradient functie is gelijk aan 00:07:49.740 --> 00:07:58.120 -20 e tot de macht min x kwadraat plus y kwadraat, 00:07:58.120 --> 00:08:07.970 als je dit kunt lezen, plus z kwadraat, maal i min 20y. 00:08:07.970 --> 00:08:09.860 Maar laat ik het kort houden, 00:08:09.860 --> 00:08:10.820 want ik ben bijna door mijn tijd heen. 00:08:10.820 --> 00:08:14.880 Ik denk dat je deze wiskunde wat eenvoudiger kunt maken. 00:08:14.880 --> 00:08:18.370 Hoe dan ook, het belangrijkste van gradienten, 00:08:18.370 --> 00:08:19.980 is dat je ze gemakkelijk kunt uitrekenen, 00:08:19.980 --> 00:08:20.800 maar om ze te begrijpen - oh, sorry 00:08:20.800 --> 00:08:21.680 Dit hoort er ook nog bij. 00:08:21.680 --> 00:08:23.180 Dat moet een k zijn. 00:08:23.180 --> 00:08:25.520 Het is lastig om ze te begrijpen. 00:08:25.520 --> 00:08:27.920 Dus laten we proberen om ons voor te stellen 00:08:27.920 --> 00:08:29.130 hoe deze gradients-functie er in het echt uitziet. 00:08:29.130 --> 00:08:29.880 Wat zou er gebeuren? 00:08:29.880 --> 00:08:33.220 Als je de gradient in elk willekeurig punt in de ruimte wilt weten 00:08:33.220 --> 00:08:35.170 dan moet je hier een x, y en z invullen. 00:08:35.170 --> 00:08:40.560 Dus je kunt de gradients-functie opschrijven 00:08:40.560 --> 00:08:44.160 als een functie van x, y, en z. 00:08:44.160 --> 00:08:48.170 Bedenk dat T, de temperatuur op elk willekeurig punt, een scalair veld was. 00:08:48.170 --> 00:08:49.820 Op elk willekeurig drie-dimensionaal punt 00:08:49.820 --> 00:08:50.890 kreeg je gewoon een getal. 00:08:50.890 --> 00:08:53.040 Bij de gradient krijg je op elk willekeurig drie-dimensionaal punt 00:08:53.040 --> 00:08:55.100 een vector. 00:08:55.100 --> 00:08:55.380 Snap je? 00:08:55.380 --> 00:08:57.950 Want het had i, j en k componenten. 00:08:57.950 --> 00:09:00.330 De grootte wordt aangegeven door de partieel afgeleiden, 00:09:00.330 --> 00:09:02.850 en de richting door i, j, en k. 00:09:02.850 --> 00:09:06.990 Dus nu hebben we, in plaats van een scalair veld, een vector veld. 00:09:06.990 --> 00:09:08.070 Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet. 00:09:11.570 --> 00:09:14.120 Laat ik dit een beetje groter maken, zodat we het beter kunnen zien. 00:09:17.370 --> 00:09:19.480 Ja, dat ziet er goed uit. 00:09:19.480 --> 00:09:22.600 Dit is het vector veld. 00:09:22.600 --> 00:09:26.220 Dit is eigenlijk een gradient van de functie 00:09:26.220 --> 00:09:29.220 die we zojuist hebben opgelost. 00:09:29.220 --> 00:09:34.170 Zoals je ziet, op elk willekeurig punt, en dit graphische programma 00:09:34.170 --> 00:09:36.780 dat dit heeft uitgerekend, dat heeft gewoon verschillende punten genomen 00:09:36.780 --> 00:09:38.620 en toen de gradienten op dat punt uitgerekend, 00:09:38.620 --> 00:09:40.230 en die daarna als vectoren getekend. 00:09:40.230 --> 00:09:44.550 Dus, de lengte van de vectoren is gewoon 00:09:44.550 --> 00:09:46.170 de grootte van de x, y en z componenten. 00:09:46.170 --> 00:09:50.260 En daarna tel je ze bij elkaar op, zoals je alle vectoren bij elkaar optelt. 00:09:50.260 --> 00:09:53.880 De richting wordt aangegeven door het relatieve gewicht 00:09:53.880 --> 00:09:55.880 van de i, j en k componenten. 00:09:55.880 --> 00:09:58.440 En zoals je kan zien, 00:09:58.440 --> 00:09:59.950 het is gemakkelijk te begrijpen 00:09:59.950 --> 00:10:03.850 Naarmate je dichter en dichter bij onze warmtebron komt 00:10:03.850 --> 00:10:07.440 neemt de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt, toe. 00:10:07.440 --> 00:10:07.720 Begrijp je? 00:10:07.720 --> 00:10:10.680 Naarmate je dichterbij komt, worden de vectoren groter en groter. 00:10:10.680 --> 00:10:11.390 Laat ik even inzoomen. 00:10:11.390 --> 00:10:14.875 Laten we in dit vector-veld vliegen. 00:10:18.740 --> 00:10:20.620 OK, we zijn nu in het vector veld. 00:10:20.620 --> 00:10:23.840 Zoals je ziet, naar mate we dichter en dichter bij het midden 00:10:23.840 --> 00:10:27.980 van onze warmtebron komen, worden de vectoren, 00:10:27.980 --> 00:10:31.860 de snelheid waarmee de temperatuur toeneemt, groter en groter en groter. 00:10:31.860 --> 00:10:34.450 Hoe dan ook, ik hoop dat ik je niet in de war gebracht heb. 00:10:34.450 --> 00:10:36.950 Toen ik voor het eerst gradienten leerde, 00:10:36.950 --> 00:10:37.840 vond ik de berekening heel vanzelfsprekend. 00:10:37.840 --> 00:10:39.130 Het zijn gewoon partieel afgeleiden. 00:10:39.130 --> 00:10:41.660 Maar het snappen ervan is juist het interessanste. 00:10:41.660 --> 00:10:44.440 En hopelijk vond je deze temperatuurs-analogie, 00:10:44.440 --> 00:10:48.515 of liever gezegd, dit temperatuurs-model, 00:10:48.515 --> 00:10:49.020 een beetje begrijpelijk. 00:10:49.020 --> 00:10:51.360 Maar je kunt dit ook in bijna elk willekeurig scalair veld toepassen. 00:10:51.360 --> 00:10:54.100 Hoe dan ook, ik zie je in de volgende video.