Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

Na filmie o dopełnianiu do kwadratu wspominałem kilka razy

że wzory na pierwiastki równania kwadratowego to nic innego jak dopełnienie do kwadratu,

coś w rodzaju skróconej wersji dopełnienia do kwadratu.

Wydawało mi się, że omówiłem już z Wami

ten dowód, ale okazuje się że nie.

W takim razie zrobimy to teraz, rozwiąże dla Was równanie kwadratowe w najogólniejszej formie metodą

dopełniania do kwadratu.

Mamy równianie kwadratowe.

Ściśle mówiąc, równanie kwadratowe to jest to, co chcemy

rozwiązać, a wielu ludzi, mówiąc równanie kwadratowe ma na

myśli trójmian kwadratowy.

Nie ma sensu wdawać się w rozważania co jak się nazywa.

Powiedzmy, że mam równanie kwadratowe

A razy x kwadrat plus B razy x plus C równa się 0.

Wykonajmy teraz dopełnienie do kwadratu.

Jak to zrobimy?

Najpierw odejmijmy C od obu stron, w ten sposób będziemy mieli A x kwadrat plus

B x równa się minus C.

I dokładnie tak jak na filmie wideo o dopełnianiu do kwadratu,

chcę się pozbyć tego współczynnika A.

Wygodniej będzie mieć jedynkę jako współczynnik przy x do kwadratu,

więc podzielę obie strony równania przez A.

Teraz mam x kwadrat plus B/A razy x równa się - musimy podzielić

obie strony przez A - minus C/A.

Teraz możemy już wykonać dopełnienie do kwadratu.

Przypomnijcie sobie, na czym to polega dopełnianie do kwadratu?

Polega na tym, żeby dodać do lewej strony tyle,

żeby powstał pełen kwadrat

pewnego dwumianu.

Co to oznacza?

Napiszę to tu na dole.

Napiszmy ile to będzie x plus a do kwadratu, to się równa

x do kwadratu, plus 2 a razy x, plus a do kwadratu, tak?

Jeśli teraz dodam tutaj do lewej strony tyle, żeby

to wyrażenie wyglądało jak tamto, x plus a do kwadratu,

będę mógł odwrócić argument

i powiedzieć że to tutaj to jest x plus coś do kwadratu.

Co w takim razie powinienem dodać do obu stron?

Jeśli oglądaliście wideo o dopełnianiu do kwadratu,

pewnie znacie już intuicyjną odpowiedź.

To co robimy teraz, to powiemy że to tutaj równa się B/A i to odpowiada

wyrazowi 2 razy a tam, czyli a będzie równe połowie tego, to

będzie połowa tego współczynnika.

To będzie równe a.

A potem to co trzeba zrobić, to dodać do obu stron a do kwadratu.

Muszę teraz obliczyć, ile wynosi połowa tego współczynnika, podnieść wynik do kwadratu

i dodać do obu stron równania.

Zmienię teraz kolor pisaka.

Niech będzie karmazynowy.

Wezmę teraz połowę tego współczynnika - po prostu

obliczam dopełnienie do kwadratu, to nie są żadne czary -

to będzie połowa tego współczynnika.

Czyli B/(2A), prawda?

Po prostu trzeba pomnożyć przez 1/2.

I teraz podnieść do kwadratu.

Jeśli dodałem to do lewej strony równania,

muszę także dodać to samo do prawej strony.

A więc tutaj też będzie B/(2A) do kwadratu.

Teraz wreszcie mamy lewą stronę równania w takiej

formie, że jest ona równa kwadratowi wyrażenia

x dodać coś.

Ile wynosi to coś?

Coś jest równe - znowu zmienię kolor pisaka -

jak zapisać teraz lewą stronę równania?

Spójrzmy na wzór i porównajmy go z lewą stroną.

x plus ile?

Coś ma być równe a, teraz a można wyznaczyć na dwa sposoby, albo jako 1/2 tego

współczynnika, albo jako pierwiastek kwadratowy z tego wyrazu,

ale lepiej wyznaczyć a po prostu jako B/(2A).

a równa się B/(2A).

Czyli lewa strona to jest to samo co x plus B/(2A) i wszystko razem

podniesione do kwadratu i to się równa - zobaczmy, czy możemy trochę uprościć

prawą stronę - to się równa -

Jaki tu będzie wspólny mianownik - teraz

będzie trochę przekształceń - jeśli podniosę to do kwadratu,

otrzymam 4 razy A kwadrat - zapiszę to tutaj.

To równa się B do kwadratu podzielić przez 4 A do kwadratu.

Zgadza się?

Jeśli mam teraz dodać te dwa ułamki, wspólny mianownik

będzie równy 4 a kwadrat.

Zgadza się?

Jeśli wspólny mianownik jest 4 a kwadrat, to co

dostaniemy z C/A?

Jeśli pomnożyłem mianownik przez 4 A, muszę

pomnożyć także licznik przez 4 A.

Czyli dostaniemy minus $ razy A razy C, zgadza się?

A z B kwadrat podzielić przez 4 A kwadrat, to będzie

nadal B kwadrat.

To są tylko przekształcenia, algebra.

Mam nadzieję, że to Was nie myli.

Po prostu rozwinąłem to.

Potem wziąłem kwadrat tego, B do kwadratu podzielić przez 4 A do kwadratu.

I dodałem te dwa wyrazy, wspólny mianownik jest 4 A kwadrat.

Minus C/A jest równe minus 4 A C podzielić przez 4 A do kwadratu.

Teraz możemy wziąć pierwiastek kwadratowy

z obu stron tego równania.

W tym momencie zacznie to wyglądać, mam nadzieję,

bardziej znajomo.

Zobaczmy co otrzymamy.

Jeśli weźmiemy pierwiastek kwadratowy z obu stron tego równania

otrzymamy x plus B/2A) równa się pierwiastkowi kwadratowemu z

- weźmy pierwiastek kwadratowy z licznika i z mianownika.

Licznik równa się - zapiszę B do kwadratu jako pierwsze - zamienię

tu kolejność, przy dodawaniu nie ma to znaczenia -

pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 A C, zgadza się?

To jest licznik.

Musimy teraz obliczyć pierwiastek

kwadratowy z mianownika.

Ile wynosi pierwiastek kwadratowy z 4 A do kwadratu?

To jest po prostu 2 A, nieprawdaż?

2 A.

I co teraz?

Bardzo ważna sprawa.

Jeśli obliczamy pierwiastek kwadratowy z czegoś,

to dostaniemy nie tylko dodatni pierwiastek.

To będzie zawsze dodatni albo ujemny pierwiastek.

Już parę razy mieliśmy z tym do czynienia,

możemy powiedzieć że wynik to plus lub minus pierwiastek także tutaj,

ale czy zapiszemy ten plus lub minus w liczniku, czy

w mianowniku, to wszystko jedno, więc zapiszmy go w liczniku, tak ładniej wygląda.

Zastanówcie się sami, dlaczego musimy napisać plus lub minus tylko raz.

Co będzie, jeśli mamy minus i plus, czasami się skrócą,

jeśli mamy minus i minus.

To jest to samo co plus zapisany na górze.

Mam nadzieję że to jest jasne.

Teraz pozostaje tylko odjąć B/(2A) od obu stron.

Dostaniemy, co dostaniemy, to jest ta najbardziej podniecająca chwila, dostaniemy x

równa się minus B przez @ A plus lub minus to tutaj,

czyli pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 A C, podzielić przez 2 A.

Oba te ułamki mają wspólny mianownik, więc możemy je

po prostu dodać.

I otrzymujemy - wybiorę jakiś ostry kolor -

może nie aż tak ostry, niech będzie zielony -

otrzymujemy x równa się, w liczniku minus B plus lub minus pierwiastek

kwadratowy z B kwadrat minus 4 A C, i to wszystko podzielić przez 2 A.

I to jest słynny wzór na pierwiastki równania kwadratowego, na pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Właśnie go udowodniliśmy.

Korzystając z metody dopełniania do kwadratu.

Mam nadzieję, że to Was choć trochę zaciekawiło.

Do zobaczenia na następnym wideo.