1
00:00:00,720 --> 00:00:03,130
Na filmie o dopełnianiu do kwadratu wspominałem kilka razy

2
00:00:03,130 --> 00:00:05,810
że wzory na pierwiastki równania kwadratowego to nic innego jak dopełnienie do kwadratu,

3
00:00:05,810 --> 00:00:07,450
coś w rodzaju skróconej wersji dopełnienia do kwadratu.

4
00:00:07,450 --> 00:00:10,220
Wydawało mi się, że omówiłem już z Wami

5
00:00:10,220 --> 00:00:12,120
ten dowód, ale okazuje się że nie.

6
00:00:12,120 --> 00:00:15,750
W takim razie zrobimy to teraz, rozwiąże dla Was równanie kwadratowe w najogólniejszej formie metodą

7
00:00:15,750 --> 00:00:16,690
dopełniania do kwadratu.

8
00:00:19,820 --> 00:00:23,210
Mamy równianie kwadratowe.

9
00:00:23,210 --> 00:00:25,870
Ściśle mówiąc, równanie kwadratowe to jest to, co chcemy

10
00:00:25,870 --> 00:00:28,760
rozwiązać, a wielu ludzi, mówiąc równanie kwadratowe ma na

11
00:00:28,760 --> 00:00:29,960
myśli trójmian kwadratowy.

12
00:00:29,960 --> 00:00:33,100
Nie ma sensu wdawać się w rozważania co jak się nazywa.

13
00:00:33,100 --> 00:00:36,030
Powiedzmy, że mam równanie kwadratowe

14
00:00:36,030 --> 00:00:46,450
A razy x kwadrat plus B razy x plus C równa się 0.

15
00:00:46,450 --> 00:00:48,280
Wykonajmy teraz dopełnienie do kwadratu.

16
00:00:48,280 --> 00:00:49,480
Jak to zrobimy?

17
00:00:49,480 --> 00:00:56,940
Najpierw odejmijmy C od obu stron, w ten sposób będziemy mieli A x kwadrat plus

18
00:00:56,940 --> 00:01:00,740
B x równa się minus C.

19
00:01:00,740 --> 00:01:03,040
I dokładnie tak jak na filmie wideo o dopełnianiu do kwadratu,

20
00:01:03,040 --> 00:01:06,200
chcę się pozbyć tego współczynnika A.

21
00:01:06,200 --> 00:01:08,355
Wygodniej będzie mieć jedynkę jako współczynnik przy x do kwadratu,

22
00:01:08,355 --> 00:01:10,980
więc podzielę obie strony równania przez A.

23
00:01:10,980 --> 00:01:21,440
Teraz mam x kwadrat plus B/A razy x równa się - musimy podzielić

24
00:01:21,440 --> 00:01:24,695
obie strony przez A - minus C/A.

25
00:01:27,940 --> 00:01:29,600
Teraz możemy już wykonać dopełnienie do kwadratu.

26
00:01:29,600 --> 00:01:30,890
Przypomnijcie sobie, na czym to polega dopełnianie do kwadratu?

27
00:01:30,890 --> 00:01:34,790
Polega na tym, żeby dodać do lewej strony tyle,

28
00:01:34,790 --> 00:01:38,590
żeby powstał pełen kwadrat

29
00:01:38,590 --> 00:01:39,140
pewnego dwumianu.

30
00:01:39,140 --> 00:01:39,940
Co to oznacza?

31
00:01:39,940 --> 00:01:43,400
Napiszę to tu na dole.

32
00:01:43,400 --> 00:01:51,950
Napiszmy ile to będzie x plus a do kwadratu, to się równa

33
00:01:51,950 --> 00:01:57,500
x do kwadratu, plus 2 a razy x, plus a do kwadratu, tak?

34
00:01:57,500 --> 00:02:01,330
Jeśli teraz dodam tutaj do lewej strony tyle, żeby

35
00:02:01,330 --> 00:02:05,810
to wyrażenie wyglądało jak tamto, x plus a do kwadratu,

36
00:02:05,810 --> 00:02:06,330
będę mógł odwrócić argument

37
00:02:06,330 --> 00:02:09,690
i powiedzieć że to tutaj to jest x plus coś do kwadratu.

38
00:02:09,690 --> 00:02:11,590
Co w takim razie powinienem dodać do obu stron?

39
00:02:11,590 --> 00:02:15,140
Jeśli oglądaliście wideo o dopełnianiu do kwadratu,

40
00:02:15,140 --> 00:02:17,730
pewnie znacie już intuicyjną odpowiedź.

41
00:02:17,730 --> 00:02:21,510
To co robimy teraz, to powiemy że to tutaj równa się B/A i to odpowiada

42
00:02:21,510 --> 00:02:26,183
wyrazowi 2 razy a tam, czyli a będzie równe połowie tego, to

43
00:02:26,183 --> 00:02:28,010
będzie połowa tego współczynnika.

44
00:02:28,010 --> 00:02:29,100
To będzie równe a.

45
00:02:29,100 --> 00:02:31,620
A potem to co trzeba zrobić, to dodać do obu stron a do kwadratu.

46
00:02:31,620 --> 00:02:34,930
Muszę teraz obliczyć, ile wynosi połowa tego współczynnika, podnieść wynik do kwadratu

47
00:02:34,930 --> 00:02:36,110
i dodać do obu stron równania.

48
00:02:36,110 --> 00:02:38,865
Zmienię teraz kolor pisaka.

49
00:02:38,865 --> 00:02:40,810
Niech będzie karmazynowy.

50
00:02:40,810 --> 00:02:42,650
Wezmę teraz połowę tego współczynnika - po prostu

51
00:02:42,650 --> 00:02:45,100
obliczam dopełnienie do kwadratu, to nie są żadne czary -

52
00:02:45,100 --> 00:02:47,450
to będzie połowa tego współczynnika.

53
00:02:47,450 --> 00:02:50,230
Czyli B/(2A), prawda?

54
00:02:50,230 --> 00:02:52,130
Po prostu trzeba pomnożyć przez 1/2.

55
00:02:52,130 --> 00:02:54,240
I teraz podnieść do kwadratu.

56
00:02:54,240 --> 00:02:55,893
Jeśli dodałem to do lewej strony równania,

57
00:02:55,893 --> 00:02:57,660
muszę także dodać to samo do prawej strony.

58
00:02:57,660 --> 00:03:01,206
A więc tutaj też będzie B/(2A) do kwadratu.

59
00:03:07,470 --> 00:03:10,670
Teraz wreszcie mamy lewą stronę równania w takiej

60
00:03:10,670 --> 00:03:13,750
formie, że jest ona równa kwadratowi wyrażenia

61
00:03:13,750 --> 00:03:14,950
x dodać coś.

62
00:03:14,950 --> 00:03:15,880
Ile wynosi to coś?

63
00:03:15,880 --> 00:03:19,970
Coś jest równe - znowu zmienię kolor pisaka -

64
00:03:19,970 --> 00:03:21,730
jak zapisać teraz lewą stronę równania?

65
00:03:21,730 --> 00:03:24,520
Spójrzmy na wzór i porównajmy go z lewą stroną.

66
00:03:24,520 --> 00:03:28,730
x plus ile?

67
00:03:28,730 --> 00:03:32,960
Coś ma być równe a, teraz a można wyznaczyć na dwa sposoby, albo jako 1/2 tego

68
00:03:32,960 --> 00:03:36,390
współczynnika, albo jako pierwiastek kwadratowy z tego wyrazu,

69
00:03:36,390 --> 00:03:38,310
ale lepiej wyznaczyć a po prostu jako B/(2A).

70
00:03:38,310 --> 00:03:40,970
a równa się B/(2A).

71
00:03:40,970 --> 00:03:49,060
Czyli lewa strona to jest to samo co x plus B/(2A) i wszystko razem

72
00:03:49,060 --> 00:03:55,980
podniesione do kwadratu i to się równa - zobaczmy, czy możemy trochę uprościć

73
00:03:55,980 --> 00:04:00,230
prawą stronę - to się równa -

74
00:04:00,230 --> 00:04:04,760
Jaki tu będzie wspólny mianownik - teraz

75
00:04:04,760 --> 00:04:07,600
będzie trochę przekształceń - jeśli podniosę to do kwadratu,

76
00:04:07,600 --> 00:04:10,780
otrzymam 4 razy A kwadrat - zapiszę to tutaj.

77
00:04:10,780 --> 00:04:15,740
To równa się B do kwadratu podzielić przez 4 A do kwadratu.

78
00:04:15,740 --> 00:04:16,710
Zgadza się?

79
00:04:16,710 --> 00:04:19,860
Jeśli mam teraz dodać te dwa ułamki, wspólny mianownik

80
00:04:19,860 --> 00:04:29,550
będzie równy 4 a kwadrat.

81
00:04:29,550 --> 00:04:30,330
Zgadza się?

82
00:04:30,330 --> 00:04:31,750
Jeśli wspólny mianownik jest 4 a kwadrat, to co

83
00:04:31,750 --> 00:04:34,360
dostaniemy z C/A?

84
00:04:34,360 --> 00:04:40,280
Jeśli pomnożyłem mianownik przez 4 A, muszę

85
00:04:40,280 --> 00:04:41,810
pomnożyć także licznik przez 4 A.

86
00:04:41,810 --> 00:04:50,090
Czyli dostaniemy minus $ razy A razy C, zgadza się?

87
00:04:50,090 --> 00:04:53,030
A z B kwadrat podzielić przez 4 A kwadrat, to będzie

88
00:04:53,030 --> 00:04:54,810
nadal B kwadrat.

89
00:04:54,810 --> 00:04:56,520
To są tylko przekształcenia, algebra.

90
00:04:56,520 --> 00:04:57,520
Mam nadzieję, że to Was nie myli.

91
00:04:57,520 --> 00:04:59,470
Po prostu rozwinąłem to.

92
00:04:59,470 --> 00:05:02,330
Potem wziąłem kwadrat tego, B do kwadratu podzielić przez 4 A do kwadratu.

93
00:05:02,330 --> 00:05:04,790
I dodałem te dwa wyrazy, wspólny mianownik jest 4 A kwadrat.

94
00:05:04,790 --> 00:05:09,710
Minus C/A jest równe minus 4 A C podzielić przez 4 A do kwadratu.

95
00:05:09,710 --> 00:05:11,570
Teraz możemy wziąć pierwiastek kwadratowy

96
00:05:11,570 --> 00:05:13,240
z obu stron tego równania.

97
00:05:13,240 --> 00:05:15,760
W tym momencie zacznie to wyglądać, mam nadzieję,

98
00:05:15,760 --> 00:05:17,490
bardziej znajomo.

99
00:05:17,490 --> 00:05:19,290
Zobaczmy co otrzymamy.

100
00:05:19,290 --> 00:05:21,080
Jeśli weźmiemy pierwiastek kwadratowy z obu stron tego równania

101
00:05:21,080 --> 00:05:29,780
otrzymamy x plus B/2A) równa się pierwiastkowi kwadratowemu z

102
00:05:29,780 --> 00:05:32,180
- weźmy pierwiastek kwadratowy z licznika i z mianownika.

103
00:05:32,180 --> 00:05:35,950
Licznik równa się - zapiszę B do kwadratu jako pierwsze - zamienię

104
00:05:35,950 --> 00:05:38,110
tu kolejność, przy dodawaniu nie ma to znaczenia -

105
00:05:38,110 --> 00:05:43,660
pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 A C, zgadza się?

106
00:05:43,660 --> 00:05:46,440
To jest licznik.

107
00:05:46,440 --> 00:05:48,240
Musimy teraz obliczyć pierwiastek

108
00:05:48,240 --> 00:05:49,770
kwadratowy z mianownika.

109
00:05:49,770 --> 00:05:51,970
Ile wynosi pierwiastek kwadratowy z 4 A do kwadratu?

110
00:05:51,970 --> 00:05:54,020
To jest po prostu 2 A, nieprawdaż?

111
00:05:54,020 --> 00:05:55,950
2 A.

112
00:05:55,950 --> 00:05:56,800
I co teraz?

113
00:05:56,800 --> 00:05:58,640
Bardzo ważna sprawa.

114
00:05:58,640 --> 00:06:00,400
Jeśli obliczamy pierwiastek kwadratowy z czegoś,

115
00:06:00,400 --> 00:06:01,070
to dostaniemy nie tylko dodatni pierwiastek.

116
00:06:01,070 --> 00:06:03,450
To będzie zawsze dodatni albo ujemny pierwiastek.

117
00:06:03,450 --> 00:06:06,600
Już parę razy mieliśmy z tym do czynienia,

118
00:06:06,600 --> 00:06:09,090
możemy powiedzieć że wynik to plus lub minus pierwiastek także tutaj,

119
00:06:09,090 --> 00:06:10,800
ale czy zapiszemy ten plus lub minus w liczniku, czy

120
00:06:10,800 --> 00:06:12,290
w mianowniku, to wszystko jedno, więc zapiszmy go w liczniku, tak ładniej wygląda.

121
00:06:12,290 --> 00:06:14,930
Zastanówcie się sami, dlaczego musimy napisać plus lub minus tylko raz.

122
00:06:14,930 --> 00:06:17,560
Co będzie, jeśli mamy minus i plus, czasami się skrócą,

123
00:06:17,560 --> 00:06:19,250
jeśli mamy minus i minus.

124
00:06:19,250 --> 00:06:20,790
To jest to samo co plus zapisany na górze.

125
00:06:20,790 --> 00:06:22,210
Mam nadzieję że to jest jasne.

126
00:06:22,210 --> 00:06:26,140
Teraz pozostaje tylko odjąć B/(2A) od obu stron.

127
00:06:26,140 --> 00:06:33,680
Dostaniemy, co dostaniemy, to jest ta najbardziej podniecająca chwila, dostaniemy x

128
00:06:33,680 --> 00:06:42,850
równa się minus B przez @ A plus lub minus to tutaj,

129
00:06:42,850 --> 00:06:51,790
czyli pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 A C, podzielić przez 2 A.

130
00:06:51,790 --> 00:06:53,850
Oba te ułamki mają wspólny mianownik, więc możemy je

131
00:06:53,850 --> 00:06:55,130
po prostu dodać.

132
00:06:55,130 --> 00:06:58,880
I otrzymujemy - wybiorę jakiś ostry kolor -

133
00:06:58,880 --> 00:07:02,570
może nie aż tak ostry, niech będzie zielony -

134
00:07:02,570 --> 00:07:10,970
otrzymujemy x równa się, w liczniku minus B plus lub minus pierwiastek

135
00:07:10,970 --> 00:07:19,470
kwadratowy z B kwadrat minus 4 A C, i to wszystko podzielić przez 2 A.

136
00:07:19,470 --> 00:07:23,010
I to jest słynny wzór na pierwiastki równania kwadratowego, na pierwiastki trójmianu kwadratowego.

137
00:07:23,010 --> 00:07:25,480
Właśnie go udowodniliśmy.

138
00:07:25,480 --> 00:07:28,410
Korzystając z metody dopełniania do kwadratu.

139
00:07:28,410 --> 00:07:31,570
Mam nadzieję, że to Was choć trochę zaciekawiło.

140
00:07:31,570 --> 00:07:33,450
Do zobaczenia na następnym wideo.