< Return to Video

Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

  • 0:01 - 0:04
    완전제곱식 만들기 영상에서
    이차방정식 근의 공식이
  • 0:04 - 0:08
    빠르게 완전제곱식을 만든다고 말했어요
  • 0:08 - 0:11
    그런데 제가 벌써 증명을 한 줄 알았더니
  • 0:11 - 0:13
    아직 안했다는 것을 알아챘어요
  • 0:13 - 0:16
    자 이제 완전제곱식 형태를 만들면서
  • 0:16 - 0:18
    근의 공식을 증명해보겠습니다
  • 0:21 - 0:23
    이차방정식 공식이 하나 있습니다
  • 0:24 - 0:27
    사람들이 이차방정식 공식이라고 하는 것은
  • 0:27 - 0:30
    사실 <b>근의 공식</b>입니다
  • 0:30 - 0:33
    용어 얘기는 그만하죠
  • 0:34 - 0:47
    Ax^2+Bx+C=0이라는 이차방정식이 있습니다
  • 0:47 - 0:49
    여기서 완전제곱꼴을 만들면 되는겁니다
  • 0:49 - 0:50
    그걸 어떻게 하죠?
  • 0:50 - 0:52
    양변에서 C를 빼면
  • 0:53 - 1:01
    Ax^2+Bx= -C 라는 식이 나옵니다
  • 1:01 - 1:03
    완전 제곱식 만들기 영상에서 말했듯이
  • 1:03 - 1:06
    계수가 있으니까 거슬리네요
  • 1:06 - 1:09
    x^2항계수를1로 만들기 위해
  • 1:09 - 1:11
    양변을 A로 나누어봅시다
  • 1:12 - 1:28
    x^2+(B/A)x= -C/A 가 나옵니다
  • 1:28 - 1:29
    그럼 완전제곱식 만들 준비가 끝났습니다
  • 1:29 - 1:31
    완전제곱식이 무엇이었죠?
  • 1:31 - 1:34
    그것은 무엇의 제곱 형태로만
  • 1:34 - 1:39
    나타낼 수 있는 것을 말했습니다
  • 1:39 - 1:41
    그게 무슨 말이냐고요?
  • 1:44 - 1:52
    만약 x^2+2ax+a^2으로 전개되는
  • 1:52 - 1:59
    (x+a)의 완전제곱식에다가
  • 1:59 - 2:01
    무언가를 더해서 이런 꼴이 된다면
  • 2:01 - 2:02
    좌변이 아래 식과 같이
  • 2:03 - 2:08
    (x+무언가)의 제곱이 될 것이라고
    말할 수 있게됩니다
  • 2:08 - 2:11
    x에 무엇을 더해야 할까요?
  • 2:11 - 2:14
    완전제곱식만들기 영상을 봤다면
  • 2:14 - 2:18
    아마 이것은 당연할 겁니다
  • 2:19 - 2:23
    여기 있는 B/A는 사실 2a 역할을 하는 것이므로
  • 2:23 - 2:29
    a는 B/A의 절반, 즉 계수의 절반일 겁니다
  • 2:29 - 2:31
    그것이 이 식에서, a가 되는 것이죠
  • 2:31 - 2:34
    그런데 우리는 a의 제곱을 더해야합니다
  • 2:34 - 2:36
    B/A의 절반을 가지고 와서 제곱하는 겁니다
  • 2:36 - 2:38
    그리고 양변에 더하는거죠
  • 2:38 - 2:41
    자주색으로
  • 2:41 - 2:43
    계수의 절반을 제곱해서 양변에 더해봅시다
  • 2:43 - 2:44
    마술같은 것은 아니고
  • 2:44 - 2:45
    그저 완전제곱식을 만드는 겁니다
  • 2:47 - 2:50
    계수의 절반은 B/2A죠?
  • 2:50 - 2:52
    그냥 1/2을 곱한겁니다
  • 2:53 - 2:55
    자 이제 제곱해봅시다
  • 2:55 - 2:58
    좌변에 더해주었으니
    우변도 더해주세요
  • 2:58 - 3:08
    +(B/2A)^2이 되겠네요
  • 3:08 - 3:15
    드디어 우리는 좌변을
    (x+무언가)의 완전제곱꼴로 만들었습니다
  • 3:19 - 3:20
    그럼 좌변은
  • 3:20 - 3:22
    x에다 무엇을 더한 완전제곱식일까요?
  • 3:22 - 3:23
    이런식으로 하면 됩니다
  • 3:25 - 3:30
    x에다 무엇을 더한건가요?
  • 3:30 - 3:39
    a는 x의계수의 1/2이거나 상수항의 제곱근이죠
  • 3:39 - 3:40
    그래서 B/2A가 아래 식의 a가 됩니다
  • 3:41 - 3:50
    그래서 이것은 (x+B/2A)의 완전제곱과 같고
  • 3:50 - 4:01
    그것은 - 식을 약간 깔끔하게 해봅시다
  • 4:02 - 4:04
    만약 우리가 일반적인 분모가 있었더라면
  • 4:04 - 4:07
    그냥 약간 계산해볼게요
  • 4:07 - 4:09
    이걸 제곱하면 4A^2가 되었을 겁니다
  • 4:09 - 4:11
    적어볼게요
  • 4:11 - 4:15
    이것은 B^2/4A^2과 같죠?
  • 4:15 - 4:16
    맞나요?
  • 4:17 - 4:31
    이 두 분수를 더하니까
    분모를 4A^2으로 통분합시다
  • 4:31 - 4:33
    분모가 4A^2이면 -C/A는 무엇이 되나요?
  • 4:34 - 4:41
    분자와 분모에 각각 4A를 곱해야하니까
  • 4:41 - 4:43
    분자에도 4A를 곱해주면 됩니다
  • 4:44 - 4:52
    그럼 분자는 -4AC가 되죠?
  • 4:52 - 4:55
    B^2/4A^2의 분자는 그대로 남아있겠죠
  • 4:55 - 4:57
    그냥 약간 계산한 것뿐입니다
  • 4:57 - 4:58
    안 헷갈리셨으면 좋겠네요
  • 4:58 - 5:03
    이걸 전개한 것을
  • 5:03 - 5:06
    통분해서 더한 것뿐입니다
  • 5:06 - 5:09
    그래서 -C/A는 결국 -4AC/4A^2 와 같은 것입니다
  • 5:10 - 5:14
    그럼 드디어 양변에 루트를 씌울 수 있습니다
  • 5:14 - 5:18
    이제 약간 더 친숙한 형태가 될 것입니다
  • 5:18 - 5:23
    자 이제 우린 x를 구할 수 있게 됩니다
  • 5:23 - 5:28
    좌변인 X+(B/2A)는 우변인 이것과 같을텐데
  • 5:28 - 5:30
    양변에 루트를 씌우면
  • 5:30 - 5:32
    분자분모에 각각 루트를 씌우면 되겠죠?
  • 5:32 - 5:47
    그럼 분자가 루트 B^2-4AC가 되겠네요
  • 5:47 - 5:50
    이제 분모도 루트를 씌워봅시다
  • 5:50 - 5:52
    4A^2의 제곱근은 뭐죠?
  • 5:52 - 5:54
    그냥 2A죠?
  • 5:54 - 5:55
    2A
  • 5:56 - 5:58
    자 이제 무엇을 할까요?
  • 5:58 - 5:59
    아주 중요한 겁니다!
  • 5:59 - 6:00
    우리가 제곱근을 구할 때는
  • 6:00 - 6:02
    양의 제곱근뿐만 아니라
  • 6:02 - 6:07
    음의 제곱근이 나올 수도 있습니다
  • 6:07 - 6:10
    ±라고 말할 수 있겠죠
  • 6:10 - 6:11
    ±를 분자분모 모두에
    적을 필요는 없고
  • 6:11 - 6:13
    분자에만 적어도 됩니다
  • 6:16 - 6:19
    왜냐하면 가끔 같은 부호끼리 만나면
  • 6:19 - 6:21
    부호가 사라지기도 하거든요
  • 6:21 - 6:22
    어쨌든, 알아들었으리라 믿습니다
  • 6:23 - 6:28
    자 이제 양변에서 B/2A를 빼봅시다
  • 6:28 - 6:33
    이제 아주 신납니다!
  • 6:33 - 6:52
    x=-B/2A±루트(B^2-4AC)/2A 가 나옵니다
  • 6:52 - 6:54
    이제 우린 같은 분모가 나왔으니까
  • 6:54 - 6:56
    그냥 분수끼리 더하기만 하면 됩니다
  • 6:56 - 7:01
    색깔을 좀 써봅시다
  • 7:01 - 7:02
    초록색 괜찮네요
  • 7:02 - 7:20
    어쨌든 우리는 x=-B{±루트(B^2-4AC)}/2A 라는
  • 7:20 - 7:24
    그 유명한 근의 공식을 얻게 됩니다
  • 7:24 - 7:26
    드디어 이 공식을 증명했습니다
  • 7:26 - 7:28
    단순히 완전제곱식으로 만드는 방법으로 증명을 했고
  • 7:28 - 7:32
    당신이 조금이나마 흥미로웠으면 합니다
  • 7:32 - 7:33
    다음 영상에서 봅시다
Title:
Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:34

Korean subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.