1
00:00:00,886 --> 00:00:04,250
완전제곱식 만들기 영상에서
이차방정식 근의 공식이

2
00:00:04,250 --> 00:00:07,900
빠르게 완전제곱식을 만든다고 말했어요

3
00:00:07,900 --> 00:00:11,203
그런데 제가 벌써 증명을 한 줄 알았더니

4
00:00:11,203 --> 00:00:12,626
아직 안했다는 것을 알아챘어요

5
00:00:12,626 --> 00:00:15,822
자 이제 완전제곱식 형태를 만들면서

6
00:00:15,822 --> 00:00:17,616
근의 공식을 증명해보겠습니다

7
00:00:20,905 --> 00:00:23,111
이차방정식 공식이 하나 있습니다

8
00:00:24,016 --> 00:00:26,896
사람들이 이차방정식 공식이라고 하는 것은

9
00:00:26,896 --> 00:00:29,979
사실 <b>근의 공식</b>입니다

10
00:00:30,478 --> 00:00:33,393
용어 얘기는 그만하죠

11
00:00:33,853 --> 00:00:46,828
Ax^2+Bx+C=0이라는 이차방정식이 있습니다

12
00:00:46,828 --> 00:00:48,622
여기서 완전제곱꼴을 만들면 되는겁니다

13
00:00:48,622 --> 00:00:49,553
그걸 어떻게 하죠?

14
00:00:49,987 --> 00:00:52,144
양변에서 C를 빼면

15
00:00:52,641 --> 00:01:01,036
Ax^2+Bx= -C 라는 식이 나옵니다

16
00:01:01,169 --> 00:01:03,414
완전 제곱식 만들기 영상에서 말했듯이

17
00:01:03,414 --> 00:01:05,537
계수가 있으니까 거슬리네요

18
00:01:05,715 --> 00:01:09,495
x^2항계수를1로 만들기 위해

19
00:01:09,495 --> 00:01:11,096
양변을 A로 나누어봅시다

20
00:01:12,270 --> 00:01:27,793
x^2+(B/A)x= -C/A 가 나옵니다

21
00:01:27,812 --> 00:01:29,473
그럼 완전제곱식 만들 준비가 끝났습니다

22
00:01:29,473 --> 00:01:30,637
완전제곱식이 무엇이었죠?

23
00:01:30,637 --> 00:01:33,868
그것은 무엇의 제곱 형태로만

24
00:01:33,868 --> 00:01:39,468
나타낼 수 있는 것을 말했습니다

25
00:01:39,468 --> 00:01:40,741
그게 무슨 말이냐고요?

26
00:01:43,758 --> 00:01:51,939
만약 x^2+2ax+a^2으로 전개되는

27
00:01:51,939 --> 00:01:59,159
(x+a)의 완전제곱식에다가

28
00:01:59,159 --> 00:02:00,782
무언가를 더해서 이런 꼴이 된다면

29
00:02:00,782 --> 00:02:02,492
좌변이 아래 식과 같이

30
00:02:02,602 --> 00:02:07,862
(x+무언가)의 제곱이 될 것이라고
말할 수 있게됩니다

31
00:02:07,862 --> 00:02:11,404
x에 무엇을 더해야 할까요?

32
00:02:11,404 --> 00:02:13,929
완전제곱식만들기 영상을 봤다면

33
00:02:13,939 --> 00:02:17,939
아마 이것은 당연할 겁니다

34
00:02:19,334 --> 00:02:23,032
여기 있는 B/A는 사실 2a 역할을 하는 것이므로

35
00:02:23,032 --> 00:02:28,645
a는 B/A의 절반, 즉 계수의 절반일 겁니다

36
00:02:28,645 --> 00:02:30,599
그것이 이 식에서, a가 되는 것이죠

37
00:02:30,599 --> 00:02:33,644
그런데 우리는 a의 제곱을 더해야합니다

38
00:02:33,644 --> 00:02:35,674
B/A의 절반을 가지고 와서 제곱하는 겁니다

39
00:02:35,674 --> 00:02:37,704
그리고 양변에 더하는거죠

40
00:02:37,704 --> 00:02:41,364
자주색으로

41
00:02:41,414 --> 00:02:43,396
계수의 절반을 제곱해서 양변에 더해봅시다

42
00:02:43,396 --> 00:02:44,087
마술같은 것은 아니고

43
00:02:44,087 --> 00:02:45,310
그저 완전제곱식을 만드는 겁니다

44
00:02:46,886 --> 00:02:50,220
계수의 절반은 B/2A죠?

45
00:02:50,220 --> 00:02:51,959
그냥 1/2을 곱한겁니다

46
00:02:52,670 --> 00:02:54,585
자 이제 제곱해봅시다

47
00:02:54,585 --> 00:02:58,181
좌변에 더해주었으니 
우변도 더해주세요

48
00:02:58,181 --> 00:03:07,625
+(B/2A)^2이 되겠네요

49
00:03:07,625 --> 00:03:14,677
드디어 우리는 좌변을
(x+무언가)의 완전제곱꼴로 만들었습니다

50
00:03:19,497 --> 00:03:20,403
그럼 좌변은

51
00:03:20,403 --> 00:03:22,092
x에다 무엇을 더한 완전제곱식일까요?

52
00:03:22,092 --> 00:03:23,448
이런식으로 하면 됩니다

53
00:03:25,228 --> 00:03:29,638
x에다 무엇을 더한건가요?

54
00:03:29,638 --> 00:03:39,387
a는 x의계수의 1/2이거나 상수항의 제곱근이죠

55
00:03:39,387 --> 00:03:40,129
그래서 B/2A가 아래 식의 a가 됩니다

56
00:03:41,203 --> 00:03:50,353
그래서 이것은 (x+B/2A)의 완전제곱과 같고

57
00:03:50,353 --> 00:04:00,693
그것은 - 식을 약간 깔끔하게 해봅시다

58
00:04:01,952 --> 00:04:04,371
만약 우리가 일반적인 분모가 있었더라면

59
00:04:04,371 --> 00:04:06,790
그냥 약간 계산해볼게요

60
00:04:06,790 --> 00:04:09,209
이걸 제곱하면 4A^2가 되었을 겁니다

61
00:04:09,209 --> 00:04:11,497
적어볼게요

62
00:04:11,497 --> 00:04:15,487
이것은 B^2/4A^2과 같죠?

63
00:04:15,487 --> 00:04:16,171
맞나요?

64
00:04:17,130 --> 00:04:30,986
이 두 분수를 더하니까
분모를 4A^2으로 통분합시다

65
00:04:30,986 --> 00:04:33,322
분모가 4A^2이면 -C/A는 무엇이 되나요?

66
00:04:34,188 --> 00:04:41,261
분자와 분모에 각각 4A를 곱해야하니까

67
00:04:41,261 --> 00:04:42,984
분자에도 4A를 곱해주면 됩니다

68
00:04:43,664 --> 00:04:52,087
그럼 분자는 -4AC가 되죠?

69
00:04:52,087 --> 00:04:55,478
B^2/4A^2의 분자는 그대로 남아있겠죠

70
00:04:55,478 --> 00:04:57,002
그냥 약간 계산한 것뿐입니다

71
00:04:57,002 --> 00:04:58,013
안 헷갈리셨으면 좋겠네요

72
00:04:58,094 --> 00:05:02,564
이걸 전개한 것을

73
00:05:02,564 --> 00:05:05,710
통분해서 더한 것뿐입니다

74
00:05:05,710 --> 00:05:09,327
그래서 -C/A는 결국 -4AC/4A^2 와 같은 것입니다

75
00:05:10,077 --> 00:05:13,548
그럼 드디어 양변에 루트를 씌울 수 있습니다

76
00:05:13,548 --> 00:05:17,630
이제 약간 더 친숙한 형태가 될 것입니다

77
00:05:17,630 --> 00:05:22,549
자 이제 우린 x를 구할 수 있게 됩니다

78
00:05:22,549 --> 00:05:28,451
좌변인 X+(B/2A)는 우변인 이것과 같을텐데

79
00:05:28,451 --> 00:05:30,261
양변에 루트를 씌우면

80
00:05:30,261 --> 00:05:32,126
분자분모에 각각 루트를 씌우면 되겠죠?

81
00:05:32,126 --> 00:05:47,295
그럼 분자가 루트 B^2-4AC가 되겠네요

82
00:05:47,295 --> 00:05:50,150
이제 분모도 루트를 씌워봅시다

83
00:05:50,150 --> 00:05:52,120
4A^2의 제곱근은 뭐죠?

84
00:05:52,120 --> 00:05:54,027
그냥 2A죠?

85
00:05:54,027 --> 00:05:54,719
2A

86
00:05:56,157 --> 00:05:57,518
자 이제 무엇을 할까요?

87
00:05:57,528 --> 00:05:59,066
아주 중요한 겁니다!

88
00:05:59,066 --> 00:06:00,447
우리가 제곱근을 구할 때는

89
00:06:00,447 --> 00:06:02,116
양의 제곱근뿐만 아니라

90
00:06:02,116 --> 00:06:06,862
음의 제곱근이 나올 수도 있습니다

91
00:06:06,862 --> 00:06:10,326
±라고 말할 수 있겠죠

92
00:06:10,326 --> 00:06:11,358
±를 분자분모 모두에
적을 필요는 없고

93
00:06:11,358 --> 00:06:13,189
분자에만 적어도 됩니다

94
00:06:15,719 --> 00:06:18,707
왜냐하면 가끔 같은 부호끼리 만나면

95
00:06:18,707 --> 00:06:21,064
부호가 사라지기도 하거든요

96
00:06:21,064 --> 00:06:22,061
어쨌든, 알아들었으리라 믿습니다

97
00:06:22,763 --> 00:06:28,330
자 이제 양변에서 B/2A를 빼봅시다

98
00:06:28,330 --> 00:06:33,244
이제 아주 신납니다!

99
00:06:33,244 --> 00:06:52,462
x=-B/2A±루트(B^2-4AC)/2A 가 나옵니다

100
00:06:52,462 --> 00:06:53,897
이제 우린 같은 분모가 나왔으니까

101
00:06:53,897 --> 00:06:55,764
그냥 분수끼리 더하기만 하면 됩니다

102
00:06:55,764 --> 00:07:01,056
색깔을 좀 써봅시다

103
00:07:01,056 --> 00:07:02,321
초록색 괜찮네요

104
00:07:02,321 --> 00:07:20,448
어쨌든 우리는 x=-B{±루트(B^2-4AC)}/2A 라는

105
00:07:20,448 --> 00:07:23,637
그 유명한 근의 공식을 얻게 됩니다

106
00:07:23,637 --> 00:07:26,192
드디어 이 공식을 증명했습니다

107
00:07:26,192 --> 00:07:28,454
단순히 완전제곱식으로 만드는 방법으로 증명을 했고

108
00:07:28,454 --> 00:07:31,654
당신이 조금이나마 흥미로웠으면 합니다

109
00:07:31,654 --> 00:07:33,470
다음 영상에서 봅시다