완전제곱식 만들기 영상에서 이차방정식 근의 공식이
빠르게 완전제곱식을 만든다고 말했어요
그런데 제가 벌써 증명을 한 줄 알았더니
아직 안했다는 것을 알아챘어요
자 이제 완전제곱식 형태를 만들면서
근의 공식을 증명해보겠습니다
이차방정식 공식이 하나 있습니다
사람들이 이차방정식 공식이라고 하는 것은
사실 근의 공식입니다
용어 얘기는 그만하죠
Ax^2+Bx+C=0이라는 이차방정식이 있습니다
여기서 완전제곱꼴을 만들면 되는겁니다
그걸 어떻게 하죠?
양변에서 C를 빼면
Ax^2+Bx= -C 라는 식이 나옵니다
완전 제곱식 만들기 영상에서 말했듯이
계수가 있으니까 거슬리네요
x^2항계수를1로 만들기 위해
양변을 A로 나누어봅시다
x^2+(B/A)x= -C/A 가 나옵니다
그럼 완전제곱식 만들 준비가 끝났습니다
완전제곱식이 무엇이었죠?
그것은 무엇의 제곱 형태로만
나타낼 수 있는 것을 말했습니다
그게 무슨 말이냐고요?
만약 x^2+2ax+a^2으로 전개되는
(x+a)의 완전제곱식에다가
무언가를 더해서 이런 꼴이 된다면
좌변이 아래 식과 같이
(x+무언가)의 제곱이 될 것이라고 말할 수 있게됩니다
x에 무엇을 더해야 할까요?
완전제곱식만들기 영상을 봤다면
아마 이것은 당연할 겁니다
여기 있는 B/A는 사실 2a 역할을 하는 것이므로
a는 B/A의 절반, 즉 계수의 절반일 겁니다
그것이 이 식에서, a가 되는 것이죠
그런데 우리는 a의 제곱을 더해야합니다
B/A의 절반을 가지고 와서 제곱하는 겁니다
그리고 양변에 더하는거죠
자주색으로
계수의 절반을 제곱해서 양변에 더해봅시다
마술같은 것은 아니고
그저 완전제곱식을 만드는 겁니다
계수의 절반은 B/2A죠?
그냥 1/2을 곱한겁니다
자 이제 제곱해봅시다
좌변에 더해주었으니 우변도 더해주세요
+(B/2A)^2이 되겠네요
드디어 우리는 좌변을 (x+무언가)의 완전제곱꼴로 만들었습니다
그럼 좌변은
x에다 무엇을 더한 완전제곱식일까요?
이런식으로 하면 됩니다
x에다 무엇을 더한건가요?
a는 x의계수의 1/2이거나 상수항의 제곱근이죠
그래서 B/2A가 아래 식의 a가 됩니다
그래서 이것은 (x+B/2A)의 완전제곱과 같고
그것은 - 식을 약간 깔끔하게 해봅시다
만약 우리가 일반적인 분모가 있었더라면
그냥 약간 계산해볼게요
이걸 제곱하면 4A^2가 되었을 겁니다
적어볼게요
이것은 B^2/4A^2과 같죠?
맞나요?
이 두 분수를 더하니까 분모를 4A^2으로 통분합시다
분모가 4A^2이면 -C/A는 무엇이 되나요?
분자와 분모에 각각 4A를 곱해야하니까
분자에도 4A를 곱해주면 됩니다
그럼 분자는 -4AC가 되죠?
B^2/4A^2의 분자는 그대로 남아있겠죠
그냥 약간 계산한 것뿐입니다
안 헷갈리셨으면 좋겠네요
이걸 전개한 것을
통분해서 더한 것뿐입니다
그래서 -C/A는 결국 -4AC/4A^2 와 같은 것입니다
그럼 드디어 양변에 루트를 씌울 수 있습니다
이제 약간 더 친숙한 형태가 될 것입니다
자 이제 우린 x를 구할 수 있게 됩니다
좌변인 X+(B/2A)는 우변인 이것과 같을텐데
양변에 루트를 씌우면
분자분모에 각각 루트를 씌우면 되겠죠?
그럼 분자가 루트 B^2-4AC가 되겠네요
이제 분모도 루트를 씌워봅시다
4A^2의 제곱근은 뭐죠?
그냥 2A죠?
2A
자 이제 무엇을 할까요?
아주 중요한 겁니다!
우리가 제곱근을 구할 때는
양의 제곱근뿐만 아니라
음의 제곱근이 나올 수도 있습니다
±라고 말할 수 있겠죠
±를 분자분모 모두에 적을 필요는 없고
분자에만 적어도 됩니다
왜냐하면 가끔 같은 부호끼리 만나면
부호가 사라지기도 하거든요
어쨌든, 알아들었으리라 믿습니다
자 이제 양변에서 B/2A를 빼봅시다
이제 아주 신납니다!
x=-B/2A±루트(B^2-4AC)/2A 가 나옵니다
이제 우린 같은 분모가 나왔으니까
그냥 분수끼리 더하기만 하면 됩니다
색깔을 좀 써봅시다
초록색 괜찮네요
어쨌든 우리는 x=-B{±루트(B^2-4AC)}/2A 라는
그 유명한 근의 공식을 얻게 됩니다
드디어 이 공식을 증명했습니다
단순히 완전제곱식으로 만드는 방법으로 증명을 했고
당신이 조금이나마 흥미로웠으면 합니다
다음 영상에서 봅시다