WEBVTT

00:00:00.886 --> 00:00:04.250
완전제곱식 만들기 영상에서
이차방정식 근의 공식이

00:00:04.250 --> 00:00:07.900
빠르게 완전제곱식을 만든다고 말했어요

00:00:07.900 --> 00:00:11.203
그런데 제가 벌써 증명을 한 줄 알았더니

00:00:11.203 --> 00:00:12.626
아직 안했다는 것을 알아챘어요

00:00:12.626 --> 00:00:15.822
자 이제 완전제곱식 형태를 만들면서

00:00:15.822 --> 00:00:17.616
근의 공식을 증명해보겠습니다

00:00:20.905 --> 00:00:23.111
이차방정식 공식이 하나 있습니다

00:00:24.016 --> 00:00:26.896
사람들이 이차방정식 공식이라고 하는 것은

00:00:26.896 --> 00:00:29.979
사실 <b>근의 공식</b>입니다

00:00:30.478 --> 00:00:33.393
용어 얘기는 그만하죠

00:00:33.853 --> 00:00:46.828
Ax^2+Bx+C=0이라는 이차방정식이 있습니다

00:00:46.828 --> 00:00:48.622
여기서 완전제곱꼴을 만들면 되는겁니다

00:00:48.622 --> 00:00:49.553
그걸 어떻게 하죠?

00:00:49.987 --> 00:00:52.144
양변에서 C를 빼면

00:00:52.641 --> 00:01:01.036
Ax^2+Bx= -C 라는 식이 나옵니다

00:01:01.169 --> 00:01:03.414
완전 제곱식 만들기 영상에서 말했듯이

00:01:03.414 --> 00:01:05.537
계수가 있으니까 거슬리네요

00:01:05.715 --> 00:01:09.495
x^2항계수를1로 만들기 위해

00:01:09.495 --> 00:01:11.096
양변을 A로 나누어봅시다

00:01:12.270 --> 00:01:27.793
x^2+(B/A)x= -C/A 가 나옵니다

00:01:27.812 --> 00:01:29.473
그럼 완전제곱식 만들 준비가 끝났습니다

00:01:29.473 --> 00:01:30.637
완전제곱식이 무엇이었죠?

00:01:30.637 --> 00:01:33.868
그것은 무엇의 제곱 형태로만

00:01:33.868 --> 00:01:39.468
나타낼 수 있는 것을 말했습니다

00:01:39.468 --> 00:01:40.741
그게 무슨 말이냐고요?

00:01:43.758 --> 00:01:51.939
만약 x^2+2ax+a^2으로 전개되는

00:01:51.939 --> 00:01:59.159
(x+a)의 완전제곱식에다가

00:01:59.159 --> 00:02:00.782
무언가를 더해서 이런 꼴이 된다면

00:02:00.782 --> 00:02:02.492
좌변이 아래 식과 같이

00:02:02.602 --> 00:02:07.862
(x+무언가)의 제곱이 될 것이라고
말할 수 있게됩니다

00:02:07.862 --> 00:02:11.404
x에 무엇을 더해야 할까요?

00:02:11.404 --> 00:02:13.929
완전제곱식만들기 영상을 봤다면

00:02:13.939 --> 00:02:17.939
아마 이것은 당연할 겁니다

00:02:19.334 --> 00:02:23.032
여기 있는 B/A는 사실 2a 역할을 하는 것이므로

00:02:23.032 --> 00:02:28.645
a는 B/A의 절반, 즉 계수의 절반일 겁니다

00:02:28.645 --> 00:02:30.599
그것이 이 식에서, a가 되는 것이죠

00:02:30.599 --> 00:02:33.644
그런데 우리는 a의 제곱을 더해야합니다

00:02:33.644 --> 00:02:35.674
B/A의 절반을 가지고 와서 제곱하는 겁니다

00:02:35.674 --> 00:02:37.704
그리고 양변에 더하는거죠

00:02:37.704 --> 00:02:41.364
자주색으로

00:02:41.414 --> 00:02:43.396
계수의 절반을 제곱해서 양변에 더해봅시다

00:02:43.396 --> 00:02:44.087
마술같은 것은 아니고

00:02:44.087 --> 00:02:45.310
그저 완전제곱식을 만드는 겁니다

00:02:46.886 --> 00:02:50.220
계수의 절반은 B/2A죠?

00:02:50.220 --> 00:02:51.959
그냥 1/2을 곱한겁니다

00:02:52.670 --> 00:02:54.585
자 이제 제곱해봅시다

00:02:54.585 --> 00:02:58.181
좌변에 더해주었으니 
우변도 더해주세요

00:02:58.181 --> 00:03:07.625
+(B/2A)^2이 되겠네요

00:03:07.625 --> 00:03:14.677
드디어 우리는 좌변을
(x+무언가)의 완전제곱꼴로 만들었습니다

00:03:19.497 --> 00:03:20.403
그럼 좌변은

00:03:20.403 --> 00:03:22.092
x에다 무엇을 더한 완전제곱식일까요?

00:03:22.092 --> 00:03:23.448
이런식으로 하면 됩니다

00:03:25.228 --> 00:03:29.638
x에다 무엇을 더한건가요?

00:03:29.638 --> 00:03:39.387
a는 x의계수의 1/2이거나 상수항의 제곱근이죠

00:03:39.387 --> 00:03:40.129
그래서 B/2A가 아래 식의 a가 됩니다

00:03:41.203 --> 00:03:50.353
그래서 이것은 (x+B/2A)의 완전제곱과 같고

00:03:50.353 --> 00:04:00.693
그것은 - 식을 약간 깔끔하게 해봅시다

00:04:01.952 --> 00:04:04.371
만약 우리가 일반적인 분모가 있었더라면

00:04:04.371 --> 00:04:06.790
그냥 약간 계산해볼게요

00:04:06.790 --> 00:04:09.209
이걸 제곱하면 4A^2가 되었을 겁니다

00:04:09.209 --> 00:04:11.497
적어볼게요

00:04:11.497 --> 00:04:15.487
이것은 B^2/4A^2과 같죠?

00:04:15.487 --> 00:04:16.171
맞나요?

00:04:17.130 --> 00:04:30.986
이 두 분수를 더하니까
분모를 4A^2으로 통분합시다

00:04:30.986 --> 00:04:33.322
분모가 4A^2이면 -C/A는 무엇이 되나요?

00:04:34.188 --> 00:04:41.261
분자와 분모에 각각 4A를 곱해야하니까

00:04:41.261 --> 00:04:42.984
분자에도 4A를 곱해주면 됩니다

00:04:43.664 --> 00:04:52.087
그럼 분자는 -4AC가 되죠?

00:04:52.087 --> 00:04:55.478
B^2/4A^2의 분자는 그대로 남아있겠죠

00:04:55.478 --> 00:04:57.002
그냥 약간 계산한 것뿐입니다

00:04:57.002 --> 00:04:58.013
안 헷갈리셨으면 좋겠네요

00:04:58.094 --> 00:05:02.564
이걸 전개한 것을

00:05:02.564 --> 00:05:05.710
통분해서 더한 것뿐입니다

00:05:05.710 --> 00:05:09.327
그래서 -C/A는 결국 -4AC/4A^2 와 같은 것입니다

00:05:10.077 --> 00:05:13.548
그럼 드디어 양변에 루트를 씌울 수 있습니다

00:05:13.548 --> 00:05:17.630
이제 약간 더 친숙한 형태가 될 것입니다

00:05:17.630 --> 00:05:22.549
자 이제 우린 x를 구할 수 있게 됩니다

00:05:22.549 --> 00:05:28.451
좌변인 X+(B/2A)는 우변인 이것과 같을텐데

00:05:28.451 --> 00:05:30.261
양변에 루트를 씌우면

00:05:30.261 --> 00:05:32.126
분자분모에 각각 루트를 씌우면 되겠죠?

00:05:32.126 --> 00:05:47.295
그럼 분자가 루트 B^2-4AC가 되겠네요

00:05:47.295 --> 00:05:50.150
이제 분모도 루트를 씌워봅시다

00:05:50.150 --> 00:05:52.120
4A^2의 제곱근은 뭐죠?

00:05:52.120 --> 00:05:54.027
그냥 2A죠?

00:05:54.027 --> 00:05:54.719
2A

00:05:56.157 --> 00:05:57.518
자 이제 무엇을 할까요?

00:05:57.528 --> 00:05:59.066
아주 중요한 겁니다!

00:05:59.066 --> 00:06:00.447
우리가 제곱근을 구할 때는

00:06:00.447 --> 00:06:02.116
양의 제곱근뿐만 아니라

00:06:02.116 --> 00:06:06.862
음의 제곱근이 나올 수도 있습니다

00:06:06.862 --> 00:06:10.326
±라고 말할 수 있겠죠

00:06:10.326 --> 00:06:11.358
±를 분자분모 모두에
적을 필요는 없고

00:06:11.358 --> 00:06:13.189
분자에만 적어도 됩니다

00:06:15.719 --> 00:06:18.707
왜냐하면 가끔 같은 부호끼리 만나면

00:06:18.707 --> 00:06:21.064
부호가 사라지기도 하거든요

00:06:21.064 --> 00:06:22.061
어쨌든, 알아들었으리라 믿습니다

00:06:22.763 --> 00:06:28.330
자 이제 양변에서 B/2A를 빼봅시다

00:06:28.330 --> 00:06:33.244
이제 아주 신납니다!

00:06:33.244 --> 00:06:52.462
x=-B/2A±루트(B^2-4AC)/2A 가 나옵니다

00:06:52.462 --> 00:06:53.897
이제 우린 같은 분모가 나왔으니까

00:06:53.897 --> 00:06:55.764
그냥 분수끼리 더하기만 하면 됩니다

00:06:55.764 --> 00:07:01.056
색깔을 좀 써봅시다

00:07:01.056 --> 00:07:02.321
초록색 괜찮네요

00:07:02.321 --> 00:07:20.448
어쨌든 우리는 x=-B{±루트(B^2-4AC)}/2A 라는

00:07:20.448 --> 00:07:23.637
그 유명한 근의 공식을 얻게 됩니다

00:07:23.637 --> 00:07:26.192
드디어 이 공식을 증명했습니다

00:07:26.192 --> 00:07:28.454
단순히 완전제곱식으로 만드는 방법으로 증명을 했고

00:07:28.454 --> 00:07:31.654
당신이 조금이나마 흥미로웠으면 합니다

00:07:31.654 --> 00:07:33.470
다음 영상에서 봅시다