-
Bu videoda, "Karmaşık Sayılar"ın
-
gösterimi ve görselleştirilmesi
-
konuları üzerinde duracağım.
-
Karmaşık Sayılara belki aşinasınızdır.
-
Örneğin, "z" bir Karmaşık Sayı olsun.
-
Karmaşık Sayılar için genelde kullandığımız harf "z"dir.
-
"z", eşittir, "a" artı "b i" olsun.
-
"Karmaşık" dememizin nedeni, bir bölümünün GERÇEL,
-
bir bölümünün GERÇEL,
-
bir bölümünün de SANAL olması.
-
Bir bölümünün de SANAL olması.
-
Bu nedenle, bir "z" Karmaşık Sayısının
-
gerçel bölümünün yazılması
-
istendiğinde, şöyle gösterilir.
-
Bu fonksiyon bize, "z" Karmaşık Sayısının
-
gerçel bölümünü verir.
-
Bu Karmaşık Sayı'nın gerçel bölümü "a"dır.
-
Bir fonksiyonumuz daha var.
-
O da sanal bölümü verir.
-
"z"nin sanal bölümü.
-
Fonksiyona bir Karmaşık Sayı verirsiniz.
-
O da size, o sayının sanal bölümünü verir.
-
Sanal bölüm, "i"nin çarpanıdır.
-
Bu Karmaşık Sayı için "b"dir.
-
Bu sayı için "b"dir. "b" bir gerçel sayıdır ama "z"
-
Karmaşık Sayısındaki "i"nin katsayıdır.
-
-
-
Karmaşık Sayıları görselleştirmenin
-
bir yolu da şudur: Bu yol, sayıların kökleri, özellikle de
-
Karmaşık kökleri söz konusu olduğunda,
-
görselleştirmenin çok kolay bir yoludur.
-
Bu yol, "Argand Düzlemi" yoludur.
-
Argand Düzlemi. Argand Düzlemi.
-
İşte böyle.
-
Koordinat düzlemine benziyor.
-
Aslında bu bir koordinat düzlemidir
-
ama eksenleri iks ile "y" değil.
-
"Gerçel ekseni" ve "sanal ekseni" var.
-
"z", eşittir, "a" artı "b i" sayısını,
-
bir "konum vektörü" olarak gösteririz.
-
Gerçel bölümü, yatay eksendedir.
-
Burası "a" olsun.
-
Sanal bölüm de düşey eksendedir;
-
yani "sanal eksen"dedir.
-
"b" de burası olsun.
-
"z" vektörünü, Argand Düzlemi'nde
-
"konum vektörü" olarak gösteririz.
-
Bu vektör, sıfır noktasından başlar
-
ve ucu da "a virgül b" noktasındadır.
-
Yani, şu şekilde. Şu şekilde.
-
Karmaşık Sayımız budur.
-
Bu gördüğünüz, "z", eşittir, "a" artı "b i"
-
Karmaşık Sayısının, Argand Düzlemi'ndeki gösterimidir.
-
Bu şekilde, "konum vektörü"
-
olarak çizdiğinizde,
-
"kutupsal koordinatlar" konusunu biliyorsanız,
-
şöyle diyebilirsiniz: "Bir dakika!
-
Bir Karmaşık Sayı'yı, "a" artı "b i" şeklinde
-
değil de, bir açı kullanarak...
-
Bir açı kullanarak... O açı da "fi" açısı olsun...
-
ve bir uzaklık kullanarak gösterebilirim. O da "r" olsun.
-
"r" burada, vektörün büyüklüğüdür.
-
-
-
Bir açı ve bir uzaklık verdiğinizde,
-
Karmaşık Düzlem'de yine bu noktayı tanımlarsınız.
-
Açıya, Karmaşık Sayı'nın "argümanı";
-
"r"ye de, Karmaşık Sayı'nın büyüklüğü,
-
bazen de "modülü"
-
ya da "mutlak değeri" denir.
-
Şimdi bunları irdeleyelim.
-
Bu değerleri nasıl hesapladığımızı irdeleyelim.
-
"r" neydi? Modülü ya da büyüklüğüydü.
-
"r", "z 1" Karmaşık Sayısının büyüklüğü ya da mutlak değeridir.
-
Bu sayınınki nedir?
-
Burada bir üçgen var.
-
Burada bir üçgen var.
-
Bu kenarın uzunluğu "b"dir.
-
Üçgenin tabanı da "a"dır.
-
"r"yi hesaplamak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız.
-
"r kare", eşittir, "a kare" artı "b kare"dir.
-
Yani, "r" eşittir, karekök, "a kare" artı "b kare"dir.
-
Argümanı mı bulmak istiyoruz?
-
Diyelim ki, argümanı bulmak istiyoruz.
-
Kaça eşittir?
-
Şimdi onu bulalım.
-
Elimizde "a" ile "b" var. Bir açının karşısı ve
-
komşusu ile ilgili trigonometrik fonksiyon hangisiydi?
-
Ünlü kısaltmamızı yazayım.
-
Görüldüğü üzere, "karşı bölü komşu", tanjanttır.
-
Bu açının tanjantı, yani,
-
Karmaşık Sayı'nın
-
argümanının tanjantı, "karşı kenar
-
bölü komşu kenar"a eşittir.
-
Yani, "b bölü a"ya eşittir.
-
Bu eşitlikte, argümanı bulmak istersek;
-
argüman, eşittir, arktanjant,
-
yani tanjantın tersi, "b bölü a"dır.
-
Diyelim ki, elimizdeki Karmaşık Sayı...
-
Diyelim ki, bize yalnızca argüman ve...
-
Diyelim ki, bize...
-
Diyelim ki, bize modül ve argüman verilsin.
-
Bize onlar verilsin.
-
Tersten nasıl gideriz?
-
Burada, gerçel "a" ve sanal "b" verildiğinde,
-
Karmaşık Sayı'nın büyüklüğünü ve açısını,
-
yani argümanını nasıl bulacağımızı gösterdim.
-
Peki, bunlar verilirse, tersten nasıl gideceğiz?
-
Üçgende, "a"yı bulmanız için, "r" ve "fi" verilsin.
-
Yani, açı ve hipotenüs uzunluğu verilip
-
komşu kenarı bulmanız istensin.
-
"Komşu bölü hipotenüs", kosinüstür.
-
Argümanın kosinüsü neye eşittir?
-
Komşu kenar, bölü, hipotenüse eşittir.
-
"a" bölü "r"dir. Her iki yanı "r" ile çarpalım.
-
"r" çarpı kosinüs "fi", eşittir, "a".
-
Aynı şeyi "b" için de yapalım.
-
Sinüsü, yani, "karşı kenar bölü hipotenüs"ü kullanırız.
-
Argümanın sinüsü, eşittir, "b" bölü "r"dir.
-
Eşittir, "b" bölü, vektörün büyüklüğüdür.
-
Her iki yanı "r" ile çarpalım. "r" çarpı sinüs "fi", eşittir, "b".
-
Peki, bu Karmaşık Sayı'yı nasıl yazarız?
-
Karmaşık Sayımız, "z" olsun.
-
"z" Karmaşık Sayımız neye eşittir? Gerçel bölümü,
-
yani, "r" çarpı kosinüs "fi",
-
"r" çarpı kosinüs "fi", artı, sanal bölüm çarpı "i"dir.
-
Artı, "r"... Yine yeşille yazayım. Artı, "r" çarpı sinüs "fi", çarpı "i"dir.
-
Çarpı "i"dir. "Öyler Formülü"nü biliyorsanız,
-
ortaya çıkan bu denklem size ilginç gelmiştir.
-
"r" parantezine alalım.
-
Eşittir, "r" parantezinde,
-
kosinüs "fi",
-
kosinüs "fi", artı, "i"yi önce yazayım,
-
"i" sinüs "fi". "i" sinüs "fi".
-
Peki, bu nedir?
-
"Yüksek Matematik" başlığı altındaki videolarımı,
-
"Taylor Serileri"ndeki videolarımı izlediyseniz bilirsiniz,
-
ki "Taylor Serileri" matematiğin en derin konularından biridir,
-
hâlâ tüylerimi ürpertir. Bu, "Öyler Formülü"dür.
-
"Öyler Formülü"yle açıklanabilir, diyelim.
-
Aynı şeydir.
-
"e" üssü iks'in ya da kosinüs iks'in ya da
-
sinüs iks'in Taylor Serileri'ndeki gösterimlerine bakarak,
-
aynı şey olduğunu kanıtlayabiliriz.
-
Söz konusu olan radyanlarsa, bu, "e" üssü "i" "fi"dir.
-
"e" üssü "i" "fi"dir.
-
O hâlde, "z" eşittir, "r" çarpı...
-
"z" eşittir, "r" çarpı, "e" üssü "i" "fi"dir.
-
"e" üssü "i" "fi"dir.
-
Bir Karmaşık Sayı'yı yazmanın iki yolu vardır.
-
Bu şekilde, gerçel ve sanal bölümler şeklinde yazabiliriz.
-
Benim, "alışılageldik" dediğim yöntem.
-
Ya da, üstel biçimde yazabiliriz.
-
Bu biçimde, modül, yani vektörün büyüklüğü,
-
karmaşık bir üstel ifadeyle çarpılıyor.
-
Bu yöntemin, kökleri bulmaya çalışırken
-
çok yararlı olacağını göreceksiniz.
-
Bu konuyu daha somut hâle getirmek için
-
bir örnek çözelim. Şöyle diyebiliriz...
-
Ne desek? Örneğin, "z 1", eşittir,
-
"kök 3" bölü 2, artı "i".
-
Neyi bulmak istiyoruz?
-
Neyi bulmak istiyoruz? Vektörün büyüklüğünü
-
ve argümanını bulmak istiyoruz.
-
Bulalım o zaman. "z 1"in
-
vektör büyüklüğü, eşittir, kök içinde, bunun karesi...
-
Yani, ne yazacağız?
-
Burası, "3 bölü 4" olacak. "3 bölü 4",
-
artı 1. Tabii, 1 yerine
-
"4 bölü 4" yazabiliriz. Bu neye eşittir?
-
Kök içinde "7 bölü 4". Bu da eşittir,
-
"kök 7" bölü 2.
-
Şimdi de argümanını bulalım.
-
Argand Düzlemi üzerinde göstereyim.
-
Argand Düzlemi'ni çizeyim. Daha iyi olur.
-
"Birinci Bölge"de olacak. Yalnızca orayı çizsem, yeter.
-
Grafiği çizeyim.
-
Grafiği çizeyim.
-
Sayımız neydi?
-
Elimizde "kök 3"...
-
En iyisi, sayıyı değiştirelim.
-
Grafikte daha kolay gösteririz.
-
Kusura bakmayın.
-
Daha kesin sayılar olsun.
-
Daha tam sayılı ifadeler olsun.
-
İlk örneğimiz, kolay bir örnek olsun.
-
"kök 3", bölü 2, artı, "1 bölü 2" "i".
-
Artı, "1 bölü 2" "i".
-
Vektör büyüklüğünü bulalım.
-
"z 1"in vektör büyüklüğü, eşittir, kök içinde...
-
"kök 3" bölü 2'nin karesi, "3 bölü 4"tür.
-
Artı, "1 bölü 2"nin karesi, "1 bölü 4"tür.
-
Şimdi işimiz daha kolay.
-
Eşittir, kök içinde 1; yani 1'dir.
-
Şimdi, Argand Düzlemi çizip,
-
vektörün büyüklüğünü görsel hâle getirelim.
-
Bu, "sanal eksen"imiz.
-
Bu, "sanal eksen"imiz.
-
Bu da, "gerçel eksen"imiz.
-
"Gerçel eksen"imiz.
-
"kök 3" bölü 2'yi işaretleyelim.
-
"kök 3", yaklaşık olarak 1,7'dir.
-
Buraya 1 diyelim. "kök 3" bölü 2 de, yaklaşık olarak,
-
yaklaşık olarak buradadır.
-
Burası, "kök 3" bölü 2'dir.
-
Yani, gerçel bölüm.
-
Sanal bölüm de "1 bölü 2" idi.
-
Buraya 1 dersek, "1 bölü 2" de buradadır. Sanal bölüm burasıdır. "1 bölü 2".
-
Vektörün uzunluğunu, yani büyüklüğünü de biliyoruz. 1'dir.
-
Peki, buradaki,
-
buradaki "fi" açısını nasıl buluruz?
-
Üçgenin bu kenarı, "kök 3" bölü 2...
-
Ah, olur mu hiç? Bu kenar "1 bölü 2" idi.
-
Yani, sanal bölüm. Üçgenin tabanı da, "kök 3" bölü 2'dir.
-
"fi"yi pek çok farklı yoldan bulabiliriz.
-
Bunlardan biri, tanjantına bakmaktır.
-
Çünkü tanjant, "karşı bölü komşu"dur.
-
Şöyle yazalım: tanjant "fi", eşittir, karşı,
-
yani "1 bölü 2", bölü, "kök 3" bölü 2.
-
Her iki yanın "ters tanjantını" alırsak,
-
aynen şu yazacağıma eşit olur:
-
"fi", eşittir, tanjantın tersi,
-
"arktanjant" da diyebilirsiniz.
-
Pay'ı ve payda'yı 2 ile çarparsak,
-
1 bölü "kök 3" olur.
-
Böyle bulabiliriz.
-
Şöyle de yapabiliriz: "fi", eşittir, sinüsün tersi...
-
sinüs "fi" nedir? "karşı bölü hipotenüs"tür.
-
sinüs "fi", "1 bölü 2" bölü 1'dir.
-
"fi" neye eşittir? arksinüs "1 bölü 2"ye. Hesap makinasında bakabilirsiniz.
-
Belki de hatırlamışsınızdır. Bu bir "otuz altmış doksan" üçgeni.
-
Taban, "kök 3" bölü 2;
-
bu kenar "1 bölü 2"; hipotenüs 1.
-
O hâlde bu açı 30 derecedir.
-
"otuz altmış doksan" üçgeni kalıbına uyduğunu görünce hemen yazdım.
-
Bunları görünce de tanıdık gelmiştir tabii.
-
Şimdi bu açıyı radyan şeklinde yazmak istiyorum.
-
Çünkü üstel şekilde yazmanız gerektiğinde, açının radyan olması gerekir.
-
"fi", 30 derecedir.
-
"fi", 30 derecedir. Bu ne demektir? "pi" bölü 6, demektir.
-
"z 1"i üstel olarak göstermek istersem,
-
şöyle yazarım: "r", yani vektörün büyüklüğü, yani 1...
-
Ben 1'i yazdım ama etkisiz olacağı için yazmak zorunda değilsiniz tabii.
-
1 çarpı, "e" üssü, "pi bölü 6" "i".
-
"e" üssü, "pi bölü 6" "i".
-
İşte bu kadar!
