0:00:00.608,0:00:02.738
Bu videoda, "Karmaşık Sayılar"ın

0:00:02.738,0:00:06.533
gösterimi ve görselleştirilmesi

0:00:06.533,0:00:11.667
konuları üzerinde duracağım.

0:00:11.667,0:00:14.467
Karmaşık Sayılara belki aşinasınızdır.

0:00:14.467,0:00:16.667
Örneğin, "z" bir Karmaşık Sayı olsun.

0:00:16.667,0:00:20.933
Karmaşık Sayılar için genelde kullandığımız harf "z"dir.

0:00:21.625,0:00:26.400
"z", eşittir, "a" artı "b i" olsun.

0:00:26.400,0:00:29.600
"Karmaşık" dememizin nedeni, bir bölümünün GERÇEL,

0:00:29.600,0:00:31.733
bir bölümünün GERÇEL,

0:00:31.733,0:00:33.667
bir bölümünün de SANAL olması.

0:00:33.667,0:00:36.000
Bir bölümünün de SANAL olması.

0:00:36.000,0:00:39.400
Bu nedenle, bir "z" Karmaşık Sayısının

0:00:39.400,0:00:41.733
gerçel bölümünün yazılması

0:00:41.733,0:00:43.800
istendiğinde, şöyle gösterilir.

0:00:43.800,0:00:45.800
Bu fonksiyon bize, "z" Karmaşık Sayısının

0:00:45.800,0:00:47.733
gerçel bölümünü verir.

0:00:47.733,0:00:50.800
Bu Karmaşık Sayı'nın gerçel bölümü "a"dır.

0:00:50.800,0:00:53.067
Bir fonksiyonumuz daha var.

0:00:53.067,0:00:55.733
O da sanal bölümü verir.

0:00:55.733,0:00:57.667
"z"nin sanal bölümü.

0:00:57.667,0:00:59.267
Fonksiyona bir Karmaşık Sayı verirsiniz.

0:00:59.267,0:01:01.533
O da size, o sayının sanal bölümünü verir.

0:01:01.533,0:01:05.933
Sanal bölüm, "i"nin çarpanıdır.

0:01:05.933,0:01:07.933
Bu Karmaşık Sayı için "b"dir.

0:01:07.933,0:01:12.000
Bu sayı için "b"dir. "b" bir gerçel sayıdır ama "z"

0:01:12.000,0:01:15.333
Karmaşık Sayısındaki "i"nin katsayıdır.

0:01:15.333,0:01:16.733
-

0:01:16.733,0:01:19.133
Karmaşık Sayıları görselleştirmenin

0:01:19.133,0:01:21.467
bir yolu da şudur: Bu yol, sayıların kökleri, özellikle de

0:01:21.467,0:01:23.933
Karmaşık kökleri söz konusu olduğunda,

0:01:23.933,0:01:25.800
görselleştirmenin çok kolay bir yoludur.

0:01:25.800,0:01:29.308
Bu yol, "Argand Düzlemi" yoludur.

0:01:29.308,0:01:33.769
Argand Düzlemi. Argand Düzlemi.

0:01:33.769,0:01:35.067
İşte böyle.

0:01:35.067,0:01:36.667
Koordinat düzlemine benziyor.

0:01:36.667,0:01:38.133
Aslında bu bir koordinat düzlemidir

0:01:38.133,0:01:40.800
ama eksenleri iks ile "y" değil.

0:01:40.800,0:01:46.200
"Gerçel ekseni" ve "sanal ekseni" var.

0:01:46.200,0:01:50.200
"z", eşittir, "a" artı "b i" sayısını,

0:01:50.200,0:01:52.933
bir "konum vektörü" olarak gösteririz.

0:01:52.933,0:01:55.933
Gerçel bölümü, yatay eksendedir.

0:01:55.933,0:01:57.333
Burası "a" olsun.

0:01:57.333,0:02:01.000
Sanal bölüm de düşey eksendedir;

0:02:01.000,0:02:02.533
yani "sanal eksen"dedir.

0:02:02.533,0:02:04.533
"b" de burası olsun.

0:02:04.533,0:02:07.000
"z" vektörünü, Argand Düzlemi'nde

0:02:07.000,0:02:10.133
"konum vektörü" olarak gösteririz.

0:02:10.133,0:02:13.000
Bu vektör, sıfır noktasından başlar

0:02:13.000,0:02:15.595
ve ucu da "a virgül b" noktasındadır.

0:02:15.595,0:02:19.825
Yani, şu şekilde. Şu şekilde.

0:02:19.825,0:02:21.933
Karmaşık Sayımız budur.

0:02:21.933,0:02:25.667
Bu gördüğünüz, "z", eşittir, "a" artı "b i"

0:02:25.667,0:02:29.933
Karmaşık Sayısının, Argand Düzlemi'ndeki gösterimidir.

0:02:29.933,0:02:31.800
Bu şekilde, "konum vektörü"

0:02:31.800,0:02:33.133
olarak çizdiğinizde,

0:02:33.133,0:02:35.800
"kutupsal koordinatlar" konusunu biliyorsanız,

0:02:35.800,0:02:38.867
şöyle diyebilirsiniz: "Bir dakika!

0:02:38.867,0:02:41.467
Bir Karmaşık Sayı'yı, "a" artı "b i" şeklinde

0:02:41.467,0:02:47.533
değil de, bir açı kullanarak...

0:02:47.533,0:02:51.933
Bir açı kullanarak... O açı da "fi" açısı olsun...

0:02:51.933,0:02:55.452
ve bir uzaklık kullanarak gösterebilirim. O da "r" olsun.

0:02:55.452,0:02:57.179
"r" burada, vektörün büyüklüğüdür.

0:02:57.179,0:02:58.659
-

0:02:58.659,0:03:00.400
Bir açı ve bir uzaklık verdiğinizde,

0:03:00.400,0:03:04.600
Karmaşık Düzlem'de yine bu noktayı tanımlarsınız.

0:03:04.600,0:03:08.133
Açıya, Karmaşık Sayı'nın "argümanı";

0:03:08.133,0:03:10.133
"r"ye de, Karmaşık Sayı'nın büyüklüğü,

0:03:10.133,0:03:13.400
bazen de "modülü"

0:03:13.400,0:03:15.600
ya da "mutlak değeri" denir.

0:03:15.600,0:03:16.800
Şimdi bunları irdeleyelim.

0:03:16.800,0:03:19.333
Bu değerleri nasıl hesapladığımızı irdeleyelim.

0:03:19.333,0:03:23.133
"r" neydi? Modülü ya da büyüklüğüydü.

0:03:23.133,0:03:27.467
"r", "z 1" Karmaşık Sayısının büyüklüğü ya da mutlak değeridir.

0:03:27.467,0:03:29.067
Bu sayınınki nedir?

0:03:29.067,0:03:32.000
Burada bir üçgen var.

0:03:32.000,0:03:33.667
Burada bir üçgen var.

0:03:33.667,0:03:36.667
Bu kenarın uzunluğu "b"dir.

0:03:36.667,0:03:39.800
Üçgenin tabanı da "a"dır.

0:03:39.800,0:03:42.933
"r"yi hesaplamak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız.

0:03:42.933,0:03:45.467
"r kare", eşittir, "a kare" artı "b kare"dir.

0:03:45.467,0:03:53.333
Yani, "r" eşittir, karekök, "a kare" artı "b kare"dir.

0:03:53.333,0:03:55.333
Argümanı mı bulmak istiyoruz?

0:03:55.333,0:03:59.067
Diyelim ki, argümanı bulmak istiyoruz.

0:03:59.067,0:04:01.933
Kaça eşittir?

0:04:01.933,0:04:03.600
Şimdi onu bulalım.

0:04:03.600,0:04:08.333
Elimizde "a" ile "b" var. Bir açının karşısı ve

0:04:08.333,0:04:10.667
komşusu ile ilgili trigonometrik fonksiyon hangisiydi?

0:04:10.667,0:04:14.667
Ünlü kısaltmamızı yazayım.

0:04:14.667,0:04:20.267
Görüldüğü üzere, "karşı bölü komşu", tanjanttır.

0:04:20.267,0:04:25.067
Bu açının tanjantı, yani,

0:04:25.067,0:04:26.333
Karmaşık Sayı'nın

0:04:26.333,0:04:28.933
argümanının tanjantı, "karşı kenar

0:04:28.933,0:04:30.733
bölü komşu kenar"a eşittir.

0:04:30.733,0:04:34.400
Yani, "b bölü a"ya eşittir.

0:04:34.400,0:04:37.000
Bu eşitlikte, argümanı bulmak istersek;

0:04:37.000,0:04:40.267
argüman, eşittir, arktanjant,

0:04:40.267,0:04:45.000
yani tanjantın tersi, "b bölü a"dır.

0:04:45.000,0:04:49.600
Diyelim ki, elimizdeki Karmaşık Sayı...

0:04:49.600,0:04:53.410
Diyelim ki, bize yalnızca argüman ve...

0:04:53.410,0:04:56.462
Diyelim ki, bize...

0:04:56.462,0:05:00.867
Diyelim ki, bize modül ve argüman verilsin.

0:05:00.867,0:05:01.933
Bize onlar verilsin.

0:05:01.933,0:05:03.000
Tersten nasıl gideriz?

0:05:03.000,0:05:05.800
Burada, gerçel "a" ve sanal "b" verildiğinde,

0:05:05.800,0:05:07.933
Karmaşık Sayı'nın büyüklüğünü ve açısını,

0:05:07.933,0:05:10.062
yani argümanını nasıl bulacağımızı gösterdim.

0:05:10.062,0:05:12.215
Peki, bunlar verilirse, tersten nasıl gideceğiz?

0:05:12.518,0:05:17.000
Üçgende, "a"yı bulmanız için, "r" ve "fi" verilsin.

0:05:17.000,0:05:19.533
Yani, açı ve hipotenüs uzunluğu verilip

0:05:19.533,0:05:22.067
komşu kenarı bulmanız istensin.

0:05:22.067,0:05:25.067
"Komşu bölü hipotenüs", kosinüstür.

0:05:25.067,0:05:31.467
Argümanın kosinüsü neye eşittir?

0:05:31.467,0:05:35.733
Komşu kenar, bölü, hipotenüse eşittir.

0:05:35.733,0:05:39.733
"a" bölü "r"dir. Her iki yanı "r" ile çarpalım.

0:05:39.733,0:05:44.867
"r" çarpı kosinüs "fi", eşittir, "a".

0:05:44.867,0:05:48.200
Aynı şeyi "b" için de yapalım.

0:05:48.200,0:05:50.800
Sinüsü, yani, "karşı kenar bölü hipotenüs"ü kullanırız.

0:05:50.800,0:05:56.333
Argümanın sinüsü, eşittir, "b" bölü "r"dir.

0:05:56.333,0:05:58.933
Eşittir, "b" bölü, vektörün büyüklüğüdür.

0:05:58.933,0:06:05.467
Her iki yanı "r" ile çarpalım. "r" çarpı sinüs "fi", eşittir, "b".

0:06:05.467,0:06:08.067
Peki, bu Karmaşık Sayı'yı nasıl yazarız?

0:06:08.067,0:06:10.533
Karmaşık Sayımız, "z" olsun.

0:06:10.533,0:06:16.200
"z" Karmaşık Sayımız neye eşittir? Gerçel bölümü,

0:06:16.200,0:06:17.933
yani, "r" çarpı kosinüs "fi",

0:06:17.933,0:06:23.800
"r" çarpı kosinüs "fi", artı, sanal bölüm çarpı "i"dir.

0:06:23.800,0:06:31.867
Artı, "r"... Yine yeşille yazayım. Artı, "r" çarpı sinüs "fi", çarpı "i"dir.

0:06:31.867,0:06:37.667
Çarpı "i"dir. "Öyler Formülü"nü biliyorsanız,

0:06:37.667,0:06:39.467
ortaya çıkan bu denklem size ilginç gelmiştir.

0:06:39.467,0:06:41.267
"r" parantezine alalım.

0:06:41.267,0:06:43.867
Eşittir, "r" parantezinde,

0:06:43.867,0:06:46.133
kosinüs "fi",

0:06:46.133,0:06:50.867
kosinüs "fi", artı, "i"yi önce yazayım,

0:06:50.867,0:06:55.856
"i" sinüs "fi". "i" sinüs "fi".

0:06:55.856,0:06:57.577
Peki, bu nedir?

0:06:57.577,0:07:01.267
"Yüksek Matematik" başlığı altındaki videolarımı,

0:07:01.267,0:07:04.133
"Taylor Serileri"ndeki videolarımı izlediyseniz bilirsiniz,

0:07:04.133,0:07:07.267
ki "Taylor Serileri" matematiğin en derin konularından biridir,

0:07:07.267,0:07:10.000
hâlâ tüylerimi ürpertir. Bu, "Öyler Formülü"dür.

0:07:10.000,0:07:14.000
"Öyler Formülü"yle açıklanabilir, diyelim.

0:07:14.000,0:07:16.267
Aynı şeydir.

0:07:16.267,0:07:18.467
"e" üssü iks'in ya da kosinüs iks'in ya da

0:07:18.467,0:07:23.267
sinüs iks'in Taylor Serileri'ndeki gösterimlerine bakarak,

0:07:23.267,0:07:25.000
aynı şey olduğunu kanıtlayabiliriz.

0:07:25.000,0:07:30.533
Söz konusu olan radyanlarsa, bu, "e" üssü "i" "fi"dir.

0:07:30.533,0:07:31.667
"e" üssü "i" "fi"dir.

0:07:31.667,0:07:34.133
O hâlde, "z" eşittir, "r" çarpı...

0:07:34.133,0:07:39.267
"z" eşittir, "r" çarpı, "e" üssü "i" "fi"dir.

0:07:39.267,0:07:43.533
"e" üssü "i" "fi"dir.

0:07:43.533,0:07:47.333
Bir Karmaşık Sayı'yı yazmanın iki yolu vardır.

0:07:47.333,0:07:50.467
Bu şekilde, gerçel ve sanal bölümler şeklinde yazabiliriz.

0:07:50.467,0:07:52.067
Benim, "alışılageldik" dediğim yöntem.

0:07:52.067,0:07:54.800
Ya da, üstel biçimde yazabiliriz.

0:07:54.800,0:07:57.133
Bu biçimde, modül, yani vektörün büyüklüğü,

0:07:57.133,0:08:00.800
karmaşık bir üstel ifadeyle çarpılıyor.

0:08:00.800,0:08:02.933
Bu yöntemin, kökleri bulmaya çalışırken

0:08:02.933,0:08:04.982
çok yararlı olacağını göreceksiniz.

0:08:04.982,0:08:07.733
Bu konuyu daha somut hâle getirmek için

0:08:07.733,0:08:11.933
bir örnek çözelim. Şöyle diyebiliriz...

0:08:11.933,0:08:19.375
Ne desek? Örneğin, "z 1", eşittir,

0:08:19.375,0:08:30.200
"kök 3" bölü 2, artı "i".

0:08:30.200,0:08:32.267
Neyi bulmak istiyoruz?

0:08:32.267,0:08:37.200
Neyi bulmak istiyoruz? Vektörün büyüklüğünü

0:08:37.200,0:08:40.200
ve argümanını bulmak istiyoruz.

0:08:40.200,0:08:42.933
Bulalım o zaman. "z 1"in

0:08:44.966,0:08:47.000
vektör büyüklüğü, eşittir, kök içinde, bunun karesi...

0:08:47.000,0:08:48.867
Yani, ne yazacağız?

0:08:48.867,0:08:54.133
Burası, "3 bölü 4" olacak. "3 bölü 4",

0:08:54.133,0:08:58.000
artı 1. Tabii, 1 yerine

0:08:58.000,0:09:02.200
"4 bölü 4" yazabiliriz. Bu neye eşittir?

0:09:02.200,0:09:05.933
Kök içinde "7 bölü 4". Bu da eşittir,

0:09:05.933,0:09:09.133
"kök 7" bölü 2.

0:09:09.133,0:09:11.800
Şimdi de argümanını bulalım.

0:09:11.800,0:09:16.000
Argand Düzlemi üzerinde göstereyim.

0:09:16.000,0:09:21.533
Argand Düzlemi'ni çizeyim. Daha iyi olur.

0:09:21.533,0:09:25.333
"Birinci Bölge"de olacak. Yalnızca orayı çizsem, yeter.

0:09:25.333,0:09:27.800
Grafiği çizeyim.

0:09:27.800,0:09:30.600
Grafiği çizeyim.

0:09:30.600,0:09:33.800
Sayımız neydi?

0:09:33.800,0:09:35.733
Elimizde "kök 3"...

0:09:35.733,0:09:37.467
En iyisi, sayıyı değiştirelim.

0:09:37.467,0:09:38.933
Grafikte daha kolay gösteririz.

0:09:38.933,0:09:40.133
Kusura bakmayın.

0:09:40.133,0:09:42.605
Daha kesin sayılar olsun.

0:09:42.605,0:09:46.446
Daha tam sayılı ifadeler olsun.

0:09:46.446,0:09:50.400
İlk örneğimiz, kolay bir örnek olsun.

0:09:50.400,0:09:53.874
"kök 3", bölü 2, artı, "1 bölü 2" "i".

0:09:53.874,0:09:56.335
Artı, "1 bölü 2" "i".

0:09:56.335,0:09:58.192
Vektör büyüklüğünü bulalım.

0:09:58.192,0:10:02.419
"z 1"in vektör büyüklüğü, eşittir, kök içinde...

0:10:02.419,0:10:06.784
"kök 3" bölü 2'nin karesi, "3 bölü 4"tür.

0:10:06.784,0:10:10.128
Artı, "1 bölü 2"nin karesi, "1 bölü 4"tür.

0:10:10.128,0:10:11.706
Şimdi işimiz daha kolay.

0:10:11.706,0:10:14.493
Eşittir, kök içinde 1; yani 1'dir.

0:10:14.493,0:10:17.744
Şimdi, Argand Düzlemi çizip,

0:10:17.744,0:10:20.667
vektörün büyüklüğünü görsel hâle getirelim.

0:10:20.667,0:10:25.200
Bu, "sanal eksen"imiz.

0:10:25.200,0:10:29.200
Bu, "sanal eksen"imiz.

0:10:29.200,0:10:31.800
Bu da, "gerçel eksen"imiz.

0:10:31.800,0:10:34.400
"Gerçel eksen"imiz.

0:10:34.400,0:10:38.467
"kök 3" bölü 2'yi işaretleyelim.

0:10:38.467,0:10:41.133
"kök 3", yaklaşık olarak 1,7'dir.

0:10:41.133,0:10:45.533
Buraya 1 diyelim. "kök 3" bölü 2 de, yaklaşık olarak,

0:10:45.533,0:10:47.333
yaklaşık olarak buradadır.

0:10:47.333,0:10:49.667
Burası, "kök 3" bölü 2'dir.

0:10:49.667,0:10:51.333
Yani, gerçel bölüm.

0:10:51.333,0:10:52.533
Sanal bölüm de "1 bölü 2" idi.

0:10:52.533,0:10:57.133
Buraya 1 dersek, "1 bölü 2" de buradadır. Sanal bölüm burasıdır. "1 bölü 2".

0:10:57.133,0:11:01.467
Vektörün uzunluğunu, yani büyüklüğünü de biliyoruz. 1'dir.

0:11:01.467,0:11:04.333
Peki, buradaki,

0:11:04.333,0:11:06.067
buradaki "fi" açısını nasıl buluruz?

0:11:06.067,0:11:09.933
Üçgenin bu kenarı, "kök 3" bölü 2...

0:11:09.933,0:11:12.333
Ah, olur mu hiç? Bu kenar "1 bölü 2" idi.

0:11:12.333,0:11:16.600
Yani, sanal bölüm. Üçgenin tabanı da, "kök 3" bölü 2'dir.

0:11:16.600,0:11:19.333
"fi"yi pek çok farklı yoldan bulabiliriz.

0:11:19.333,0:11:23.800
Bunlardan biri, tanjantına bakmaktır.

0:11:23.800,0:11:25.867
Çünkü tanjant, "karşı bölü komşu"dur.

0:11:25.867,0:11:30.533
Şöyle yazalım: tanjant "fi", eşittir, karşı,

0:11:30.533,0:11:35.600
yani "1 bölü 2", bölü, "kök 3" bölü 2.

0:11:35.600,0:11:37.800
Her iki yanın "ters tanjantını" alırsak,

0:11:37.800,0:11:39.600
aynen şu yazacağıma eşit olur:

0:11:39.600,0:11:43.400
"fi", eşittir, tanjantın tersi,

0:11:43.400,0:11:44.933
"arktanjant" da diyebilirsiniz.

0:11:44.933,0:11:47.400
Pay'ı ve payda'yı 2 ile çarparsak,

0:11:47.400,0:11:49.667
1 bölü "kök 3" olur.

0:11:49.667,0:11:51.400
Böyle bulabiliriz.

0:11:51.400,0:11:56.200
Şöyle de yapabiliriz: "fi", eşittir, sinüsün tersi...

0:11:56.200,0:12:00.600
sinüs "fi" nedir? "karşı bölü hipotenüs"tür.

0:12:00.600,0:12:03.467
sinüs "fi", "1 bölü 2" bölü 1'dir.

0:12:03.467,0:12:08.733
"fi" neye eşittir? arksinüs "1 bölü 2"ye. Hesap makinasında bakabilirsiniz.

0:12:08.733,0:12:12.133
Belki de hatırlamışsınızdır. Bu bir "otuz altmış doksan" üçgeni.

0:12:12.133,0:12:14.400
Taban, "kök 3" bölü 2;

0:12:14.400,0:12:15.969
bu kenar "1 bölü 2"; hipotenüs 1.

0:12:15.969,0:12:18.867
O hâlde bu açı 30 derecedir.

0:12:18.867,0:12:21.667
"otuz altmış doksan" üçgeni kalıbına uyduğunu görünce hemen yazdım.

0:12:21.667,0:12:24.267
Bunları görünce de tanıdık gelmiştir tabii.

0:12:24.267,0:12:26.533
Şimdi bu açıyı radyan şeklinde yazmak istiyorum.

0:12:26.533,0:12:29.867
Çünkü üstel şekilde yazmanız gerektiğinde, açının radyan olması gerekir.

0:12:29.867,0:12:32.000
"fi", 30 derecedir.

0:12:32.000,0:12:39.667
"fi", 30 derecedir. Bu ne demektir? "pi" bölü 6, demektir.

0:12:39.667,0:12:43.000
"z 1"i üstel olarak göstermek istersem,

0:12:43.000,0:12:46.867
şöyle yazarım: "r", yani vektörün büyüklüğü, yani 1...

0:12:46.867,0:12:48.933
Ben 1'i yazdım ama etkisiz olacağı için yazmak zorunda değilsiniz tabii.

0:12:48.933,0:12:57.467
1 çarpı, "e" üssü, "pi bölü 6" "i".

0:12:57.467,0:13:01.810
"e" üssü, "pi bölü 6" "i".

0:13:01.810,0:13:03.441
İşte bu kadar!