Why borrowing works

An explanation of why (not how) borrowing/regrouping works when subtracting numbers

مرحبا بكم في درس لماذا وليس كيف الاستلاف يعمل

وأنا اعتقد أن ذلك ضروري لأن الكثير من

الناس، حتى الذين يعرفون الرياضيات بشكل جيد، أو حاصلون

على درجة علمية متقدمة، لا يزالون غير متأكدين من --لماذا الاستلاف يعمل

هذا هو محور هذا الدرس

لنقل أن لدي مسألة الطرح التالية

هنا ألف وهذا صفر

هنا 1005 ناقص 616

ما سأقوم بفعله الآن هو أن اكتب هذه المسألة

بطريقة مختلفة قليلاً

ممكن أن نسمي ذلك بالصورة الممتدة

إذا 1005، سأقوم الآن بفصل

الأرقام تبعاً لمنزلتهم

إذا هذا يساوي 1000+ 0 مئات

و + صفر عشرات + 5

إذا 1005 عبارة عن 1000+0+0+5

ثم هذا ناقص 616

وهذا ناقص 600-1-6

يمكن إعادة كتابة 616 على شكل 600+10+6

وأضع ناقص هنا لأننا نريد أن نطرح

كل شيء

إذا لنقم بحل هذه المسألة

حسناً، اذا كان كيفية الاستلاف مألوفة لديك...هذه الـ5

أقل من 6، إذا علينا أن نجعل هذه الـ 5 عدد أكبر بطريقة ما

لنستطيع أن نطرح الـ 6 منه

حسناً، نحن نعلم من طريقة الاستلاف التقليدية أننا يجب أن

نستلف 1 من مكان ما لنحول الـ5 إلى 15

ولكن ما أريد أن أرى هنا حقيقة، هو فهم من أين

يأتي هذا الـ1 أو في الحقيقة من أين تأتي هذه الـ 10

لأنه إذا أردت تحويل الـ5 إلى 15 فإنك في الحقيقة

يجب أن تضيف 10 لها

حسناً، إذا نظرنا لهذا العدد العلوي، المكان الوحيد الذي

يمكن أن تأتي الـ10 منه هو من هذه الـ1000

ولكن ما الذي سنقوم بفعله، حيث أن هذه منزلة الألوف

بدلاً من استلاف 10 من هنا، والذي سيجعل

هذه المسألة غير منظمة، سوف أقوم باستلاف

ألف من هنا

سوف أتخلص من هذه الـ1000

لدي الآن 1000 التي أخذتها من هذه الـ1000

لدي 1000 الآن التي يمكن أن أوزعها

إلى ثلاثة أجزاء

إلى مئات وعشرات وآحاد

حسناً، احتاج إلى 10 هنا، إذا لنضع 10 هنا

هي 10 + 5 =15

حصلنا على 15 التي نريد

إذا أخذنا 10 من الـ1000 فإنه يصبح لدينا 990

إذا يمكن ان نضع 900 هنا و90 هنا

لاحظ، أننا لدينا 1000 الآن وقمنا بإعادة كتابتها

على شكل 900 + 10

وأضفنا 10 لهذه الـ5

والآن يمكن أن نقوم بالطرح تماماً كما

نفعل بمسألة عادية

هنا 15-6=9

و 90 -10 = 80

و 900 - 600 = 300

إذا 300 + 80


إذا 300 + 80 + 9 هو 389

لنرى كيف يمكن أن نحل هذه المسألة بالطريقة التقليدية

وأن نتأكد من ظانها تترجم بنفس الطريقة

حسناً، الطريقة التي أعلم فيها...ولا أعلم إذا كان ذلك في الحقيقة

الطريقة التقليدية لتعليم الاستلاف، هو أن أقول حسناً، احتاج إلى

تحويل هذه الـ5 إلى 15

إذا احتاج إلى استلاف 1 من مكان ما

حسناً، نعلم من هذه الناحية من المسألة أننا في الحقيقة

استلفنا 10 ولهذا تحولت الـ5 غلى 15

إذا كنا سنستلف 1، فأقول حسناً هل استطيع

أن استلف الـ 10 من الصفر؟

لا

هل استطيع أن استلف الـ1 من هذا الصفر

لا

استطيع أن استلفه من هنا، ولكن أنا استلفه

من الـ100ـ صحيح؟

إذا 100 - 1 = 99

إذا هكذا أقوم بذلك

وأقول أن 15 - 6 = 9

و 9 - 1 = 8

و 9 - 6 = 3 أي 300

من الواضح أن الطريقة التي عملت بها الآن أسرع، واعتقد

أنه يمكن القول أنها أسهل، ولكن يمكن لكثير من الناس أن يقولوا، حسناً

يبدو هذا بعضاَ من السحر

لقد أخذت هذه الـ5، اضفت لها 1 ثم

استلفت 1 من هذه الـ100

ولكن ما فعلته حقيقة يظهر هنا

أخذت 1000 من هذا الـ1 ووزعت

تلك الـ1000 إلى منازل الألوف والمئات والآحاد

دعوني أعطي مسألة أخرى

أظن أنها ستوضح بشكل أفضل

لماذا الاستلاف يعمل

دعوني أريكم مسألة أسهل

في الحقيقة بدأت بمسألة قد تؤدي إلى تحير

غالبية الناس أو العدد الاكبر منهم

لنقل أنه لدي

732

ناقص...دعوني بانصاف اختار رقم سهل

ناقص 23

أحياناً اختار رقم 3 بشكل غريب

حسنا، أننا علمت للتو أن هذا الشيء نفسه زائد 700

فـ 30 + 2 - 20 - 3

حسنا، نرى هذه 2، 2 أقل من 3، إذا لا نستطيع الطرح

أليس رائعاً أن نحصل على 10 من مكان ما؟

يمكن أن نحصل 10 من هنا

نجعل هذا 20 ونجمع 10 إلى 2 لنحصل على 12

ولاحظ، أن 700 + 20 + 12 لا يزال 732

حتى أنه حقاً لا يغير العدد في الأعلى أبداَ

إنه مجرد إعادة توزيع القيمة إلى

أماكن مختلفة

والآن نحن مستعدون للطرح

فـ 12 - 3 = 9

و 20 - 20 هو صفر، ونحن فقط ننزل الـ 700

تحصل على 700 + 0 + 9 وهي نفس الشيء كـ 709

وهذا السبب لماذا الاستلاف سيعمل

حسناً، نحن نقول، آها..لنستلف 1 من الـ 3

لتصبح 2

ويصبح هذا 12

ومن ثم نطرح

7، 0، 9

دعونا نتناول مسألة أخرى، واحدة أخيرة

ومرة أخرى، لست مجبراً أن تقوم بهذه الطريقة

أنت لست مجبراً في كل تقوم بعملية

طرح، أن تقوم بها بهذه الطريقة

على الرغم من أنه إذا تحيرت فإنك تستطيع أن تحلها

بهذه الطريقة ولن تخطئ، في الحقيقة سوف

تفهم ما الذي تقوم به

ولكن ان كنت في امتحان وتحتاج لحل المسائل بشكل سريع

يجب أن تحلها بطريقة مقبولة

ولكنها تتطلب الكثير من التمرين لتتأكد أنك لا تقوم

بشئ غير مناسب

وتلك هي المشكلة

الناس فقط يتعلمون القواعد، ثم ينسون

القواعد، ثم ينسون كيف يفعلونها

إذا كنتم تعلمون ما تفعلونه، لن تنسوها أبداَ

لأنها يجب أن تكون منطقية بالنسبة لكم

دعونا نحل مسألة أخرى

إذا كان لدي 512

ناقص 38

حسنا، دعونا نواصل القيام بهذه الطريقة التي شرحتها لكم

وهذا نفس الشيء مثل 500 + 10

و 2 - 30 - 8

حسناً، 2 أقل من 8

احتاج إلى 10 من مكان ما

حسناً، احدى الخيارات التي يمكن أن نفعلها هو أننا نستطيع أن نحضر

الـ 10 من هنا

وتصبح هذه صفر

ومن ثم هذه تصبح 12

لاحظ أن 500 + 0 + 12 هو 512

إذا نستطيع أن نطرح

فـ 12 - 8 = 4

لكن هنا نرى أن الصفر أقل من 30، إذا لا نستطيع أن نطرح

ولكن نستطيع أن نستلف من الـ 500

حسناً، كل ما نحتاجه هو 100، إذا نحول هذه إلى 100

نأخذ الـ 100 من الـ500

وهذا يصبح 400

سأقوم بكتابة 500 على شكل 400 + 100

الآن يمكن أن أطرح

هنا 100 - 30 = 70

ننزل الـ 400

وهذا نفس الشيء مثل 474

والطريقة التي تتعلمها في المدرسة هو أن تقول ...أوه

حسناً، 2 أقل من 8، لذا دعوني استلف الـ 1

ليصبح 12

وهذا يصبح 0

و 0 أقل من 3، اذا دعوني استلف 1 من الـ 5

لتصبح 4

وهذا يصبح 10

ثم تقول أن 12 - 8 = 4

و 10 - 3 هو 7 وننزل الـ 4

أتمنى أن ما قمت به هنا سيعطيك حدس

حول لماذا الاستلاف يعمل

وهذا شيء في الحقيقة لم

أستطع فهمة لمدة من الزمن بعد أن تعلمت الاستلاف

وإذا تعلمت هذا، سوف تدرك أن ما تفعله

هنا ليس حقاً سحر

ونأمل أن لا تنسى أبداً ما تفعله

حقيقة، ويمكنك دائماً أن تفكر بما يحدث

بشكل أساسي للأعداد عندما تستلف

أرجو أنكم وجدتم ذلك مفيداً

أتحدث إليكم في وقت لاحق.

وداعا