Return to Video

Základní věta aritmetiky

  • 0:04 - 0:07
    Představte si, že žijeme v pravěku.
  • 0:07 - 0:09
    A teď přemýšlejte o následujícím:
  • 0:09 - 0:13
    Jak se zaznamenával čas bez hodin?
  • 0:13 - 0:15
    Všechny hodiny jsou založeny na opakujícím se jevu,
  • 0:15 - 0:19
    který dělí čas na stejné části.
  • 0:19 - 0:21
    Abychom tyto jevy našli,
  • 0:21 - 0:23
    díváme se na nebe.
  • 0:23 - 0:26
    Východu a západu Slunce si všimneme hned.
  • 0:26 - 0:29
    Abychom však dokázali pracovat s delšími obdobími,
  • 0:29 - 0:31
    potřebujeme delší cykly.
  • 0:31 - 0:33
    Proto se díváme na Měsíc,
  • 0:33 - 0:37
    který během několika dnů postupně roste a pak zase ubývá.
  • 0:37 - 0:39
    Když spočítáme dny mezi úplňky,
  • 0:39 - 0:41
    dostaneme se na číslo 29.
  • 0:41 - 0:43
    Proto rok dělíme i na měsíce.
  • 0:43 - 0:46
    Pokud ale chceme rozdělit číslo 29 na stejné části,
  • 0:46 - 0:49
    tak narazíme na problém. Je to nemožné.
  • 0:49 - 0:52
    29 se dá rozdělit pouze jedním způsobem,
  • 0:52 - 0:55
    na 29 stejných částí.
  • 0:55 - 0:57
    29 je prvočíslo.
  • 0:57 - 0:59
    Můžeme o něm přemýšlet jako o čísle nerozbitném.
  • 0:59 - 1:03
    Pokud se dá číslo rozdělit na stejné části větší než 1,
  • 1:03 - 1:05
    tak ho nazýváme číslem složeným.
  • 1:05 - 1:07
    Pokud jsme zvědaví, tak nás možná napadne otázka:
  • 1:07 - 1:08
    Kolik prvočísel existuje?
  • 1:08 - 1:10
    A jak velké mohou být?
  • 1:10 - 1:14
    Nejdříve rozdělíme čísla na 2 skupiny.
  • 1:14 - 1:16
    Prvočísla dáme nalevo
  • 1:16 - 1:18
    a složená čísla napravo.
  • 1:18 - 1:20
    Ze začátku se zdá, že čísla přeskakují sem a tam.
  • 1:20 - 1:23
    Není tam žádný vzor.
  • 1:23 - 1:24
    Tak použijme moderní techniku
  • 1:24 - 1:26
    a podíváme se na to z jiné perspektivy.
  • 1:26 - 1:29
    Pomůže nám Ulamova spirála.
  • 1:29 - 1:34
    Nejdříve seřadíme všechna čísla podle velikosti do spirály.
  • 1:34 - 1:37
    Pak označíme prvočísla modrou.
  • 1:37 - 1:41
    Nakonec se podíváme na miliony čísel.
  • 1:41 - 1:43
    Zde vidíme vzorec prvočísel,
  • 1:43 - 1:45
    který pokračuje donekonečna.
  • 1:45 - 1:48
    Je neuvěřitelné, že celková struktura tohoto obrazce
  • 1:48 - 1:50
    je dodnes nevyřešena.
  • 1:50 - 1:52
    Na něco jsme narazili.
  • 1:52 - 1:56
    Nyní se přesuneme do starodávného Řecka, zhruba do roku 300 p. n. l.
  • 1:56 - 1:59
    Filozof známý jako Eukleidés z Alexandrie pochopil,
  • 1:59 - 2:03
    že všechna čísla mohou být rozdělena do dvou oddělených kategorií.
  • 2:03 - 2:07
    Začal si uvědomovat, že jakékoli číslo může být děleno znovu a znovu,
  • 2:07 - 2:11
    dokud se nedostaneme ke skupině nejmenších stejných čísel.
  • 2:11 - 2:16
    A tato nejmenší čísla jsou podle definice vždy prvočísla.
  • 2:16 - 2:21
    Takže věděl, že všechna čísla jsou poskládaná z menších prvočísel.
  • 2:21 - 2:26
    Představte si vesmír všech čísel a ignorujte prvočísla.
  • 2:26 - 2:31
    Nyní si vyberte složené číslo a rozložte jej.
  • 2:31 - 2:33
    Vždy vám zůstanou prvočísla.
  • 2:33 - 2:34
    Eukleidés tedy věděl,
  • 2:34 - 2:38
    že každé číslo se dá vyjádřit pomocí menších prvočísel.
  • 2:38 - 2:40
    Prvočísla jsou jako stavební kostky.
  • 2:40 - 2:42
    Je jedno, jaké číslo si vyberete,
  • 2:42 - 2:46
    vždy se dá poskládat z menších prvočísel.
  • 2:46 - 2:51
    Toto je základ objevu známého jako
    Základní věta aritmetiky.
  • 2:51 - 2:54
    Postup je následující: Vezmeme například číslo 30
  • 2:54 - 2:57
    a najdeme všechna prvočísla, do kterých lze číslo rovnoměrně rozdělit.
  • 2:57 - 3:00
    Tomu se říká prvočíselný rozklad (faktorizace).
  • 3:00 - 3:02
    Ukáže nám to prvočíselné dělitele.
  • 3:02 - 3:06
    V tomto případě jsou 2, 3 a 5 prvočíselnými děliteli 30.
  • 3:06 - 3:11
    Eukleidés si uvědomil, že pokud určité mocniny těchto prvočísel vzájemně vynásobíme,
  • 3:11 - 3:13
    tak sestaví původní číslo.
  • 3:13 - 3:16
    Aby vzniklo číslo 30, tak stačí umocnit každý dělitel jednou.
  • 3:16 - 3:20
    2 krát 3 krát 5 je prvočíselný rozklad 30.
  • 3:20 - 3:23
    Představte si to jako speciální klíč nebo kombinaci.
  • 3:23 - 3:29
    Neexistuje totiž jiný způsob jak poskládat 30 násobením jiné skupiny prvočísel.
  • 3:29 - 3:31
    Takže každé číslo má jeden
  • 3:31 - 3:34
    a pouze jeden prvočíselný rozklad.
  • 3:34 - 3:38
    Každé číslo si můžeme představit jako jiný zámek.
  • 3:38 - 3:42
    Jedinečným klíčem pro tento zámek by byl jeho prvočíselný rozklad.
  • 3:42 - 3:44
    Neexistují dva zámky se shodným klíčem.
  • 3:44 - 3:48
    Žádná 2 čísla nemají stejný prvočíselný rozklad.
Title:
Základní věta aritmetiky
Description:

Co je to prvočíselný rozklad? Existuje pro každé přirozené číslo pouze jeden rozklad nebo je jich více?

more » « less
Video Language:
English
Duration:
03:52

Czech subtitles

Revisions Compare revisions