-
Představte si, že žijeme v pravěku.
-
A teď přemýšlejte o následujícím:
-
Jak se zaznamenával čas bez hodin?
-
Všechny hodiny jsou založeny na opakujícím se jevu,
-
který dělí čas na stejné části.
-
Abychom tyto jevy našli,
-
díváme se na nebe.
-
Východu a západu Slunce si všimneme hned.
-
Abychom však dokázali pracovat s delšími obdobími,
-
potřebujeme delší cykly.
-
Proto se díváme na Měsíc,
-
který během několika dnů postupně roste a pak zase ubývá.
-
Když spočítáme dny mezi úplňky,
-
dostaneme se na číslo 29.
-
Proto rok dělíme i na měsíce.
-
Pokud ale chceme rozdělit číslo 29 na stejné části,
-
tak narazíme na problém. Je to nemožné.
-
29 se dá rozdělit pouze jedním způsobem,
-
na 29 stejných částí.
-
29 je prvočíslo.
-
Můžeme o něm přemýšlet jako o čísle nerozbitném.
-
Pokud se dá číslo rozdělit na stejné části větší než 1,
-
tak ho nazýváme číslem složeným.
-
Pokud jsme zvědaví, tak nás možná napadne otázka:
-
Kolik prvočísel existuje?
-
A jak velké mohou být?
-
Nejdříve rozdělíme čísla na 2 skupiny.
-
Prvočísla dáme nalevo
-
a složená čísla napravo.
-
Ze začátku se zdá, že čísla přeskakují sem a tam.
-
Není tam žádný vzor.
-
Tak použijme moderní techniku
-
a podíváme se na to z jiné perspektivy.
-
Pomůže nám Ulamova spirála.
-
Nejdříve seřadíme všechna čísla podle velikosti do spirály.
-
Pak označíme prvočísla modrou.
-
Nakonec se podíváme na miliony čísel.
-
Zde vidíme vzorec prvočísel,
-
který pokračuje donekonečna.
-
Je neuvěřitelné, že celková struktura tohoto obrazce
-
je dodnes nevyřešena.
-
Na něco jsme narazili.
-
Nyní se přesuneme do starodávného Řecka, zhruba do roku 300 p. n. l.
-
Filozof známý jako Eukleidés z Alexandrie pochopil,
-
že všechna čísla mohou být rozdělena do dvou oddělených kategorií.
-
Začal si uvědomovat, že jakékoli číslo může být děleno znovu a znovu,
-
dokud se nedostaneme ke skupině nejmenších stejných čísel.
-
A tato nejmenší čísla jsou podle definice vždy prvočísla.
-
Takže věděl, že všechna čísla jsou poskládaná z menších prvočísel.
-
Představte si vesmír všech čísel a ignorujte prvočísla.
-
Nyní si vyberte složené číslo a rozložte jej.
-
Vždy vám zůstanou prvočísla.
-
Eukleidés tedy věděl,
-
že každé číslo se dá vyjádřit pomocí menších prvočísel.
-
Prvočísla jsou jako stavební kostky.
-
Je jedno, jaké číslo si vyberete,
-
vždy se dá poskládat z menších prvočísel.
-
Toto je základ objevu známého jako
Základní věta aritmetiky.
-
Postup je následující: Vezmeme například číslo 30
-
a najdeme všechna prvočísla, do kterých lze číslo rovnoměrně rozdělit.
-
Tomu se říká prvočíselný rozklad (faktorizace).
-
Ukáže nám to prvočíselné dělitele.
-
V tomto případě jsou 2, 3 a 5 prvočíselnými děliteli 30.
-
Eukleidés si uvědomil, že pokud určité mocniny těchto prvočísel vzájemně vynásobíme,
-
tak sestaví původní číslo.
-
Aby vzniklo číslo 30, tak stačí umocnit každý dělitel jednou.
-
2 krát 3 krát 5 je prvočíselný rozklad 30.
-
Představte si to jako speciální klíč nebo kombinaci.
-
Neexistuje totiž jiný způsob jak poskládat 30 násobením jiné skupiny prvočísel.
-
Takže každé číslo má jeden
-
a pouze jeden prvočíselný rozklad.
-
Každé číslo si můžeme představit jako jiný zámek.
-
Jedinečným klíčem pro tento zámek by byl jeho prvočíselný rozklad.
-
Neexistují dva zámky se shodným klíčem.
-
Žádná 2 čísla nemají stejný prvočíselný rozklad.