< Return to Video

Median Centroid Right Triangle Example

  • 0:00 - 0:05
    Vi vet, at AE er lik med 12. Det er den her siden.
  • 0:05 - 0:11
    EC er lik med 18.
  • 0:11 - 0:14
    Det er allerede tegnet masse medianer.
  • 0:14 - 0:15
    Det er medianer,
  • 0:15 - 0:17
    fordi de halverer den motstående side.
  • 0:17 - 0:20
    De her to lengdene er like store.
  • 0:20 - 0:24
    ED er lik med DC, og CB er lik med BA.
  • 0:24 - 0:28
    AF er lik med F. B og D er midtpunktene.
  • 0:28 - 0:30
    G er det geometriske tyngdepunktet,
  • 0:30 - 0:32
    hvor medianen krysser hverandre.
  • 0:32 - 0:38
    Hva er arealet av BGC?
  • 0:38 - 0:42
    BGC er den her trekanten.
  • 0:42 - 0:46
    Vi skal huske på,
  • 0:46 - 0:50
    at de tre medianene i en trekant deler
  • 0:50 - 0:53
    trekanten opp i 6 mindre trekanter
  • 0:53 - 0:55
    med like store arealer.
  • 0:55 - 0:57
    Hvis vi kan utregne hele trekantens areal,
  • 0:57 - 0:59
    kan vi finne arealet av BGC.
  • 0:59 - 1:01
    Det er en rettvinklet trekant.
  • 1:01 - 1:05
    AE er den her lengden.
  • 1:05 - 1:08
    Den er 12.
  • 1:08 - 1:12
    Hele den her lengden er 18.
  • 1:12 - 1:19
    Hva er arealet av AEC så?
  • 1:19 - 1:24
    En halv ganger grunnlinjen ganger høyden. Grunnlinjen er 18, og høyden er 12.
  • 1:24 - 1:30
    Det er altså en halv ganger 18 ganger 12, som er 108.
  • 1:30 - 1:34
    Det er arealet av hele trekanten AEC.
  • 1:34 - 1:36
    Hvis vi vil finne arealet av BGC,
  • 1:40 - 1:42
    som er dannet av medianene,
  • 1:42 - 1:44
    skal vi dividere hele trekantens areal med 6.
  • 1:44 - 1:47
    .
  • 1:47 - 1:50
    De har jo like store arealer.
  • 1:50 - 1:56
    Arealet av BGC er lik med arealet av AEC over 6.
  • 1:56 - 2:01
    Det er 108 dividert med 6.
  • 2:01 - 2:06
    Hva er det?
  • 2:06 - 2:09
    Det er 18.
  • 2:09 - 2:15
    108 er det samme som 18 ganger 6.
  • 2:15 - 2:18
    Det er altså den første delen av oppgaven. Arealet her er 18.
  • 2:18 - 2:20
    Enhver av de trekantene, som er dannet av medianene,
  • 2:20 - 2:23
    har areal på 18.
  • 2:23 - 2:26
    Det her er 18, og det her er 18.
  • 2:26 - 2:30
    FGE trekanten er 18.
  • 2:30 - 2:32
    Nå blir vi spurt,
  • 2:32 - 2:38
    hva lengden av AG er.
  • 2:38 - 2:43
    AG er den lange dele av den her medianen.
  • 2:43 - 2:47
    For å finne ut av lengden skal vi huske på,
  • 2:47 - 2:49
    at det geometriske tyngdepunktet alltid er
  • 2:49 - 2:52
    2 tredjedeler langs medianen.
  • 2:52 - 2:55
    Det deler medianen opp i 2 linjestykker,
  • 2:55 - 2:57
    som har et lengdeforhold på 2 til 1.
  • 2:57 - 2:59
    Hvis vi kjenner hele medianen lengde,
  • 2:59 - 3:01
    kan vi altså ta 2 tredjedeler av det.
  • 3:01 - 3:04
    Så vil vi få AG's lengde.
  • 3:04 - 3:07
    Heldigvis er det en rettvinklet trekant,
  • 3:07 - 3:10
    og vi vet, at F og D er midtpunkter.
  • 3:10 - 3:13
    Vi vet for eksempel, at AE er 12.
  • 3:13 - 3:16
    ED er det halve av 18.
  • 3:16 - 3:22
    ED er altså 9.
  • 3:22 - 3:25
    .
  • 3:25 - 3:28
    Vi kan nå bruke Pythagoras læresetning til å regne AD ut.
  • 3:28 - 3:32
    AD er hypotenusen i den rettvinklede trekanten AED.
  • 3:32 - 3:35
    .
  • 3:35 - 3:37
    Vi vet,
  • 3:37 - 3:43
    at 12 i andre pluss 9 i andre
  • 3:43 - 3:48
    er lik med AD i andre.
  • 3:48 - 3:54
    12 i andre er 144.
  • 3:54 - 4:02
    144 pluss 81.
  • 4:02 - 4:05
    144 pluss 81 er lik med AD i andre.
  • 4:05 - 4:08
    Det er 225.
  • 4:08 - 4:15
    225 er lik med AD i andre.
  • 4:15 - 4:19
    225 er lik med 15 i andre,
  • 4:19 - 4:22
    så AD er lik med 15.
  • 4:22 - 4:24
    Vi kan ta den positive kvadratroten av 225.
  • 4:24 - 4:27
    Vi jobber med sidelengder,
  • 4:27 - 4:28
    så vi vil ikke ha noe negativt tall.
  • 4:28 - 4:32
    AD er lik med 15.
  • 4:32 - 4:34
    Den her lengden er altså 15.
  • 4:34 - 4:37
    AG er lik med 2 tredjedeler av AD.
  • 4:37 - 4:39
    .
  • 4:39 - 4:41
    Vi har i en i annen video vist,
  • 4:41 - 4:43
    at det geometriske tyngdepunktet er 2 tredjedeler langs
  • 4:43 - 4:46
    en hvilken som helst median.
  • 4:46 - 4:51
    Den er lik med 2/3 ganger 15.
  • 4:51 - 4:53
    Det er lik 10.
  • 4:53 - 4:58
    AG her er altså lik 10.
  • 4:58 - 5:02
    Nå har vi løst den andre delen.
  • 5:02 - 5:09
    Hva er arealet av FGH?
  • 5:09 - 5:11
    Hvis vi kjente lengden av HG og FH,
  • 5:11 - 5:18
    kunne vi lett regnt,
  • 5:18 - 5:22
    hva arealet er.
  • 5:22 - 5:25
    Det er flere måter å gjøre det på.
  • 5:25 - 5:26
    .
  • 5:26 - 5:31
    En måte å finne lengden av HG på
  • 5:31 - 5:35
    er å huske,
  • 5:35 - 5:43
    at HG er høyden på enten trekant FGE eller trekant AFG.
  • 5:43 - 5:46
    De har begge en grunnlinje på 6.
  • 5:46 - 5:48
    Det her er 6,
  • 5:48 - 5:51
    og det her er 6.
  • 5:51 - 5:54
    De har en høyde lik med HG.
  • 5:54 - 5:55
    Vi kjenner allerede arealet.
  • 5:55 - 5:58
    Det er lik med 18.
  • 5:58 - 6:02
    .
  • 6:02 - 6:06
    Vi snakker om arealet av trekanten AFG.
  • 6:06 - 6:10
    Vi vet, at det er en halv ganger grunnlinjen,
  • 6:10 - 6:15
    som er 6, ganger høyden, som er HG.
  • 6:15 - 6:17
    En halv ganger grunnlinjen ganger høyden
  • 6:17 - 6:19
    er lik med arealet av trekanten.
  • 6:19 - 6:22
    Det er lik med 18.
  • 6:22 - 6:25
    .
  • 6:25 - 6:28
    Det her er 3 ganger HG er lik med 18.
  • 6:28 - 6:31
    Hvis vi dividerer begge sider med 3,
  • 6:31 - 6:35
    er HG lik med 6.
  • 6:35 - 6:40
    HG er lik med 6.
  • 6:40 - 6:42
    Vi kan også bruke et argument om formlikhet.
  • 6:42 - 6:45
    Vi kan se på den her trekanten,
  • 6:45 - 6:48
    som er formlik med den her trekanten.
  • 6:48 - 6:52
    Den her hypotenusen er 2/3 av lengden
  • 6:52 - 6:53
    av det hele.
  • 6:53 - 6:55
    Den er altså 2/3 av 9.
  • 6:55 - 6:57
    Det er 6.
  • 6:57 - 6:59
    Uansett hvilken måte vi bruker, får vi 6.
  • 6:59 - 7:02
    Nå skal vi regne ut, hva FH er.
  • 7:02 - 7:08
    Hvis vi kjenner AH, kan vi regne ut FH.
  • 7:08 - 7:12
    Vi kjenner AH, fordi vi vet, at A til F er 6.
  • 7:12 - 7:16
    FH er altså AH minus AF.
  • 7:16 - 7:18
    Hva er AH?
  • 7:18 - 7:20
    Igjen kan vi bruke argumentet om formlikhet.
  • 7:20 - 7:22
    Vi kan se,
  • 7:22 - 7:26
    at begge de store trekantene
  • 7:26 - 7:30
    og den her lille trekanten har en vinkel på 90 grader.
  • 7:30 - 7:32
    De har alle sammen den her vinkelen til felles.
  • 7:32 - 7:33
    De har altså 2 vinkler til felles,
  • 7:33 - 7:36
    se de er helt sikkert formlike.
  • 7:36 - 7:41
    Vi vet,
  • 7:41 - 7:46
    at forholdet mellom AH oh AE, som er 12,
  • 7:46 - 7:55
    er lik med forholdet mellom AG, som er 10, og AD,
  • 7:55 - 7:57
    som er 15.
  • 7:57 - 8:01
    H er altså 2/3 av 12.
  • 8:01 - 8:02
    Nå kan vi se på matematikken
  • 8:02 - 8:04
    ved å bruke de formlike trekantene.
  • 8:04 - 8:07
    Den her siden er 2/3.
  • 8:07 - 8:10
    Vi ganger begge sider med 12,
  • 8:10 - 8:14
    AH er lik med 2/3 ganger 12.
  • 8:14 - 8:22
    AH er altså 8, og AF er 6.
  • 8:22 - 8:27
    FH er lik med 2.
  • 8:27 - 8:29
    Nå har vi nok informasjon
  • 8:29 - 8:31
    til å regne ut arealet av FHG.
  • 8:31 - 8:34
    .
  • 8:34 - 8:38
    Det er en halv ganger grunnlinjen,
  • 8:38 - 8:40
    som er FH, ganger høyden.
  • 8:40 - 8:44
    .
  • 8:44 - 8:47
    En halv ganger 2 ganger 6.
  • 8:47 - 8:51
    Det er lik 6.
  • 8:52 - 8:53
    Vi kan fortsette på denne måten
  • 8:53 - 8:56
    og finne alle linjestykkenes lengde
  • 8:56 - 8:57
    ved å bruke disse metodene.
  • 8:57 - 8:58
    Vi har allerede regnet ut de fleste arealene.
  • 8:58 - 9:00
    Vi er nå ferdige.
Title:
Median Centroid Right Triangle Example
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:01

Norwegian Bokmal subtitles

Revisions