Median Centroid Right Triangle Example

Vi vet, at AE er lik med 12. Det er den her siden.

EC er lik med 18.

Det er allerede tegnet masse medianer.

Det er medianer,

fordi de halverer den motstående side.

De her to lengdene er like store.

ED er lik med DC, og CB er lik med BA.

AF er lik med F. B og D er midtpunktene.

G er det geometriske tyngdepunktet,

hvor medianen krysser hverandre.

Hva er arealet av BGC?

BGC er den her trekanten.

Vi skal huske på,

at de tre medianene i en trekant deler

trekanten opp i 6 mindre trekanter

med like store arealer.

Hvis vi kan utregne hele trekantens areal,

kan vi finne arealet av BGC.

Det er en rettvinklet trekant.

AE er den her lengden.

Den er 12.

Hele den her lengden er 18.

Hva er arealet av AEC så?

En halv ganger grunnlinjen ganger høyden. Grunnlinjen er 18, og høyden er 12.

Det er altså en halv ganger 18 ganger 12, som er 108.

Det er arealet av hele trekanten AEC.

Hvis vi vil finne arealet av BGC,

som er dannet av medianene,

skal vi dividere hele trekantens areal med 6.

.

De har jo like store arealer.

Arealet av BGC er lik med arealet av AEC over 6.

Det er 108 dividert med 6.

Hva er det?

Det er 18.

108 er det samme som 18 ganger 6.

Det er altså den første delen av oppgaven. Arealet her er 18.

Enhver av de trekantene, som er dannet av medianene,

har areal på 18.

Det her er 18, og det her er 18.

FGE trekanten er 18.

Nå blir vi spurt,

hva lengden av AG er.

AG er den lange dele av den her medianen.

For å finne ut av lengden skal vi huske på,

at det geometriske tyngdepunktet alltid er

2 tredjedeler langs medianen.

Det deler medianen opp i 2 linjestykker,

som har et lengdeforhold på 2 til 1.

Hvis vi kjenner hele medianen lengde,

kan vi altså ta 2 tredjedeler av det.

Så vil vi få AG's lengde.

Heldigvis er det en rettvinklet trekant,

og vi vet, at F og D er midtpunkter.

Vi vet for eksempel, at AE er 12.

ED er det halve av 18.

ED er altså 9.

.

Vi kan nå bruke Pythagoras læresetning til å regne AD ut.

AD er hypotenusen i den rettvinklede trekanten AED.

.

Vi vet,

at 12 i andre pluss 9 i andre

er lik med AD i andre.

12 i andre er 144.

144 pluss 81.

144 pluss 81 er lik med AD i andre.

Det er 225.

225 er lik med AD i andre.

225 er lik med 15 i andre,

så AD er lik med 15.

Vi kan ta den positive kvadratroten av 225.

Vi jobber med sidelengder,

så vi vil ikke ha noe negativt tall.

AD er lik med 15.

Den her lengden er altså 15.

AG er lik med 2 tredjedeler av AD.

.

Vi har i en i annen video vist,

at det geometriske tyngdepunktet er 2 tredjedeler langs

en hvilken som helst median.

Den er lik med 2/3 ganger 15.

Det er lik 10.

AG her er altså lik 10.

Nå har vi løst den andre delen.

Hva er arealet av FGH?

Hvis vi kjente lengden av HG og FH,

kunne vi lett regnt,

hva arealet er.

Det er flere måter å gjøre det på.

.

En måte å finne lengden av HG på

er å huske,

at HG er høyden på enten trekant FGE eller trekant AFG.

De har begge en grunnlinje på 6.

Det her er 6,

og det her er 6.

De har en høyde lik med HG.

Vi kjenner allerede arealet.

Det er lik med 18.

.

Vi snakker om arealet av trekanten AFG.

Vi vet, at det er en halv ganger grunnlinjen,

som er 6, ganger høyden, som er HG.

En halv ganger grunnlinjen ganger høyden

er lik med arealet av trekanten.

Det er lik med 18.

.

Det her er 3 ganger HG er lik med 18.

Hvis vi dividerer begge sider med 3,

er HG lik med 6.

HG er lik med 6.

Vi kan også bruke et argument om formlikhet.

Vi kan se på den her trekanten,

som er formlik med den her trekanten.

Den her hypotenusen er 2/3 av lengden

av det hele.

Den er altså 2/3 av 9.

Det er 6.

Uansett hvilken måte vi bruker, får vi 6.

Nå skal vi regne ut, hva FH er.

Hvis vi kjenner AH, kan vi regne ut FH.

Vi kjenner AH, fordi vi vet, at A til F er 6.

FH er altså AH minus AF.

Hva er AH?

Igjen kan vi bruke argumentet om formlikhet.

Vi kan se,

at begge de store trekantene

og den her lille trekanten har en vinkel på 90 grader.

De har alle sammen den her vinkelen til felles.

De har altså 2 vinkler til felles,

se de er helt sikkert formlike.

Vi vet,

at forholdet mellom AH oh AE, som er 12,

er lik med forholdet mellom AG, som er 10, og AD,

som er 15.

H er altså 2/3 av 12.

Nå kan vi se på matematikken

ved å bruke de formlike trekantene.

Den her siden er 2/3.

Vi ganger begge sider med 12,

AH er lik med 2/3 ganger 12.

AH er altså 8, og AF er 6.

FH er lik med 2.

Nå har vi nok informasjon

til å regne ut arealet av FHG.

.

Det er en halv ganger grunnlinjen,

som er FH, ganger høyden.

.

En halv ganger 2 ganger 6.

Det er lik 6.

Vi kan fortsette på denne måten

og finne alle linjestykkenes lengde

ved å bruke disse metodene.

Vi har allerede regnet ut de fleste arealene.

Vi er nå ferdige.