-
Vi vet, at AE er lik med 12. Det er den her siden.
-
EC er lik med 18.
-
Det er allerede tegnet masse medianer.
-
Det er medianer,
-
fordi de halverer den motstående side.
-
De her to lengdene er like store.
-
ED er lik med DC, og CB er lik med BA.
-
AF er lik med F. B og D er midtpunktene.
-
G er det geometriske tyngdepunktet,
-
hvor medianen krysser hverandre.
-
Hva er arealet av BGC?
-
BGC er den her trekanten.
-
Vi skal huske på,
-
at de tre medianene i en trekant deler
-
trekanten opp i 6 mindre trekanter
-
med like store arealer.
-
Hvis vi kan utregne hele trekantens areal,
-
kan vi finne arealet av BGC.
-
Det er en rettvinklet trekant.
-
AE er den her lengden.
-
Den er 12.
-
Hele den her lengden er 18.
-
Hva er arealet av AEC så?
-
En halv ganger grunnlinjen ganger høyden. Grunnlinjen er 18, og høyden er 12.
-
Det er altså en halv ganger 18 ganger 12, som er 108.
-
Det er arealet av hele trekanten AEC.
-
Hvis vi vil finne arealet av BGC,
-
som er dannet av medianene,
-
skal vi dividere hele trekantens areal med 6.
-
.
-
De har jo like store arealer.
-
Arealet av BGC er lik med arealet av AEC over 6.
-
Det er 108 dividert med 6.
-
Hva er det?
-
Det er 18.
-
108 er det samme som 18 ganger 6.
-
Det er altså den første delen av oppgaven. Arealet her er 18.
-
Enhver av de trekantene, som er dannet av medianene,
-
har areal på 18.
-
Det her er 18, og det her er 18.
-
FGE trekanten er 18.
-
Nå blir vi spurt,
-
hva lengden av AG er.
-
AG er den lange dele av den her medianen.
-
For å finne ut av lengden skal vi huske på,
-
at det geometriske tyngdepunktet alltid er
-
2 tredjedeler langs medianen.
-
Det deler medianen opp i 2 linjestykker,
-
som har et lengdeforhold på 2 til 1.
-
Hvis vi kjenner hele medianen lengde,
-
kan vi altså ta 2 tredjedeler av det.
-
Så vil vi få AG's lengde.
-
Heldigvis er det en rettvinklet trekant,
-
og vi vet, at F og D er midtpunkter.
-
Vi vet for eksempel, at AE er 12.
-
ED er det halve av 18.
-
ED er altså 9.
-
.
-
Vi kan nå bruke Pythagoras læresetning til å regne AD ut.
-
AD er hypotenusen i den rettvinklede trekanten AED.
-
.
-
Vi vet,
-
at 12 i andre pluss 9 i andre
-
er lik med AD i andre.
-
12 i andre er 144.
-
144 pluss 81.
-
144 pluss 81 er lik med AD i andre.
-
Det er 225.
-
225 er lik med AD i andre.
-
225 er lik med 15 i andre,
-
så AD er lik med 15.
-
Vi kan ta den positive kvadratroten av 225.
-
Vi jobber med sidelengder,
-
så vi vil ikke ha noe negativt tall.
-
AD er lik med 15.
-
Den her lengden er altså 15.
-
AG er lik med 2 tredjedeler av AD.
-
.
-
Vi har i en i annen video vist,
-
at det geometriske tyngdepunktet er 2 tredjedeler langs
-
en hvilken som helst median.
-
Den er lik med 2/3 ganger 15.
-
Det er lik 10.
-
AG her er altså lik 10.
-
Nå har vi løst den andre delen.
-
Hva er arealet av FGH?
-
Hvis vi kjente lengden av HG og FH,
-
kunne vi lett regnt,
-
hva arealet er.
-
Det er flere måter å gjøre det på.
-
.
-
En måte å finne lengden av HG på
-
er å huske,
-
at HG er høyden på enten trekant FGE eller trekant AFG.
-
De har begge en grunnlinje på 6.
-
Det her er 6,
-
og det her er 6.
-
De har en høyde lik med HG.
-
Vi kjenner allerede arealet.
-
Det er lik med 18.
-
.
-
Vi snakker om arealet av trekanten AFG.
-
Vi vet, at det er en halv ganger grunnlinjen,
-
som er 6, ganger høyden, som er HG.
-
En halv ganger grunnlinjen ganger høyden
-
er lik med arealet av trekanten.
-
Det er lik med 18.
-
.
-
Det her er 3 ganger HG er lik med 18.
-
Hvis vi dividerer begge sider med 3,
-
er HG lik med 6.
-
HG er lik med 6.
-
Vi kan også bruke et argument om formlikhet.
-
Vi kan se på den her trekanten,
-
som er formlik med den her trekanten.
-
Den her hypotenusen er 2/3 av lengden
-
av det hele.
-
Den er altså 2/3 av 9.
-
Det er 6.
-
Uansett hvilken måte vi bruker, får vi 6.
-
Nå skal vi regne ut, hva FH er.
-
Hvis vi kjenner AH, kan vi regne ut FH.
-
Vi kjenner AH, fordi vi vet, at A til F er 6.
-
FH er altså AH minus AF.
-
Hva er AH?
-
Igjen kan vi bruke argumentet om formlikhet.
-
Vi kan se,
-
at begge de store trekantene
-
og den her lille trekanten har en vinkel på 90 grader.
-
De har alle sammen den her vinkelen til felles.
-
De har altså 2 vinkler til felles,
-
se de er helt sikkert formlike.
-
Vi vet,
-
at forholdet mellom AH oh AE, som er 12,
-
er lik med forholdet mellom AG, som er 10, og AD,
-
som er 15.
-
H er altså 2/3 av 12.
-
Nå kan vi se på matematikken
-
ved å bruke de formlike trekantene.
-
Den her siden er 2/3.
-
Vi ganger begge sider med 12,
-
AH er lik med 2/3 ganger 12.
-
AH er altså 8, og AF er 6.
-
FH er lik med 2.
-
Nå har vi nok informasjon
-
til å regne ut arealet av FHG.
-
.
-
Det er en halv ganger grunnlinjen,
-
som er FH, ganger høyden.
-
.
-
En halv ganger 2 ganger 6.
-
Det er lik 6.
-
Vi kan fortsette på denne måten
-
og finne alle linjestykkenes lengde
-
ved å bruke disse metodene.
-
Vi har allerede regnet ut de fleste arealene.
-
Vi er nå ferdige.