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Gegeben ist AE gleich 12.
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Das ist diese Seite hier drüben.
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EC ist gleich 18.
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EC ist gleich 18.
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Dazu wurden die Seitenhalbierenden eingezeichnet.
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Wir wissen, dass dies Seitenhalbierende sind, denn dort, wo sie
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die gegenüberliegende Seite schneiden, ist diese Stecke
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gleich dieser Stecke, also ist ED gleich DC,
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CB ist gleich BA, AF ist gleich FE.
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F, B und und D sind die Mittelpunkte,
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womit dann G der Schwerpunkt ist,
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in dem sich die Seitenhalbierenden schneiden.
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Das erste, nach wir gefragt werden ist: Was ist die Fläche von BGC?
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BGC ist das hier drüben.
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Das ist dieses Dreieck hier drüben.
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Um diese Fläche zu berechnen,
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müssen wir uns nur daran erinnern, dass die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks
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das Dreieck in sechs Dreiecke teilen, die alle den gleichen Flächeninhalt haben.
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Wenn wir den Flächeninhalt des gesamten Dreiecks kennen-- und ich glaube
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das können wir herausfinden.
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Das ist ein rechtwinkliges Dreieck.
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Das sagen sie uns.
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AE-- das ist die gesamte Länge hier drüben-- ist 12.
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Das hier ist 12.
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Lass mich sicher gehen, dass ich hier genug Platz habe.
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Diese gesamte Länge hier drüben ist 18.
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Das sagen sie uns.
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Die Fläche von AEC wird dann
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gleich 1/2 mal der Basis sein-- das ist 18-- mal Höhe-- das ist 12--
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gleich 1/2 mal der Basis sein-- das ist 18-- mal Höhe-- das ist 12--
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9 mal 12 ergibt 108.
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Das ist die Fläche des gesamten Dreiecks, des Dreiecks AEC.
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Wenn wir nun die Fläche von BGC erreichnen wollen, oder eines der anderen kleinen Dreiecke--
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Wenn wir nun die Fläche von BGC erreichnen wollen, oder eines der anderen kleinen Dreiecke,
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die durch die Seitenhalbierenden begrenzt werden--
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dann müssen wir das Ergebnis lediglich durch 6 teilen.
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Denn sie haben ja alle den gleichen Flächeninhalt.
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Wir haben dies in einem vorherigen Video bewiesen.
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Somit ist die Fläche von BGC gleich der Fläche von AEC geteilt durch 6.
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Und das ist 108 geteilt durch 6.
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Und das ist?
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Das ist 60-- lass mal schauen.
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Du bekommst 10 und dann 48.
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Das sieht aus als wäre das 18.
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Das ist 18.
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Und das ist richtig, denn es wären--
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108 ist das gleiche wie 18 mal 6.
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Damit haben wir unsere erste Aufgabe erledigt.
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Die Fläche von dem hier drüben ist 18.
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Und wenn wir wollten, könnten wir sagen, hey,
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die Fläche von jedem dieser Dreiecke,
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die durch die Seitenhalbierenden begrenzt werden,
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wird 18 sein.
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Das hier wird 18 sein.
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Und das gesamte Dreieck FGE wird 18 sein,
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aber wir haben diesen ersten Teil schon hier drüben gemacht.
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Nun fragen sie uns:
Was ist die Länge von AG?
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AG ist der längere Teil dieser Seitenhalbierenden hier drüben.
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AG ist der längere Teil dieser Seitenhalbierenden hier drüben.
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Und um die Länge von AG herauszufinden,
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müssen wir uns nur daran erinnern, dass der Schwerpunkt immer
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auf 2/3 der Strecke der Seitenhalbierenden liegt,
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oder anders gesagt, dass er diese in zwei Teile teilt,
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die in einem Verhältnis von 2 zu 1 zueinander stehen.
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Wenn wir also die gesamte Länge dieser Seitenhalbierenden kennen,
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nehmen wir einfach 2/3 von dieser.
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Und das liefert uns die Länge von AG.
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Und, Glück für uns, dies ist ein rechtwinklieges Dreieck.
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Wir wissen dass F und D die Mittelpunkte sind.
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Zum Beispiel wissen wir, dass AE 12 ist.
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Das war gegeben.
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Wir wissen, dass ED die Hälfte von 18 ist.
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Also ED hier drüben-- ich mache das in einer neuen Farbe.
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ED ist 9.
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ED ist 9.
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Damit können wir den Satz des Pythargoras anwenden,
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um die Strecke AD herauszubekommen.
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AD ist die Hypotenuse von diesem rechtwinkligen Dreieck.
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Wir schauen uns gerade Dreieck AED an.
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Lass mich das aufschreiben.
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Wir wissen, dass 12 zum Quadrat plus 9 zum Quadrat
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gleich AD zum Quadrat sein wird.
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gleich AD zum Quadrat sein wird.
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12 zum Quadrat ist 144.
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144 plus 81
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144 plus 81
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Das ist gleich AD zum Quadrat.
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Das ist was?
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Das ist 225.
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Damit haben wir 225 gleich AD zum Quadrat.
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Und 225, vielleicht erinnerst du dich oder nicht, ist 15 zum Quadrat.
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Damit ist AD gleich 15.
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Wir nehmen die Hauprwurzel, die positive Wurzel,
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da wir über Entfernungen oder Längen der Seiten sprechen.
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Daher kümmern wir uns nicht um ein mögliches, negatives Ergebnis.
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Damit ist AD gleich 15.
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Damit wird diese ganze Seite hier drüben gleich 15 sein.
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Damit wird diese ganze Seite hier drüben gleich 15 sein.
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AG wird dann 2/3 von AD sein.
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In einem vorangegangenen Video haben wir bewiesen,
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dass der Schwerpunkt auf 2/3 der Seitenhalbierenden liegt.
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dass der Schwerpunkt auf 2/3 der Seitenhalbierenden liegt.
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Wir können dies für jede Seitenhalbierende zeigen.
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Das ist gleich 2/3 mal 15, das ist gleich 10.
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AG hier drüben ist gleich 10.
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Damit haben wir die zweite Aufgabe gelöst.
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Nun zur dritten Frage: Welche Flächengröße hat FGH?
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Nun zur dritten Frage: Welche Flächengröße hat FGH?
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Lass mich das farblich kennzeichnen-- FGH.
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Wir kennen HG und wenn wir FH kennen--
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dann können wir leicht herausfinden wie groß die Fläche ist.
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Es gibt mehrere Wege das herauszufinden.
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Es gibt mehrere Wege das herauszufinden.
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Eine Möglichkeit die Länge von HG zu berechnen ist es uns daran zu erinnern,
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dass HG die Höhe sowohl des Dreieck FGE als auch des Dreiecks AFG ist.
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dass HG die Höhe sowohl des Dreieck FGE als auch des Dreiecks AFG ist.
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Beide haben die Basis 6.
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Beide haben die Basis 6.
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Das hier ist 6 und das hier drüben ist 6.
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Und dann haben sie beide die Höhe GH.
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Und wir kennen die Größe der Fläche.
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Wir wissen schon, dass die Fläche gleich 18 ist.
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Also lass uns das Dreieck hier nehmen.
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Wir reden jetzt über die Fläche des Dreiecks AFG.
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Wir wissen, dass diese 1/2 mal der Basis ist, das ist 6,
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mal der Höhe, das ist GH-- mal GH.
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Das ist einfach 1/2 mal Basis mal Höhe
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was die Fläche des Dreiecks ist,
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die gleich 18 sein muss.
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Damit können wir sagen, hey, das ist
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3 mal GH gleich 18.
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Wenn wir beide Seiten durch 3 teilen, dann ist GH gleich 6.
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Das ist ein Weg.
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GH ist gleich 6.
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Du hättest auch mit dem Argument der Ähnlichkeit arbeiten können.
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Dann hättest du sagen können, schau, dieses Dreieck hier oben,
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das ist ähnlich zu diesem größeren Dreieck hier drüben.
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Diese Hypotenuse ist 2/3 der Länge von dieser Gesamtstrecke.
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Somit ist dies 2/3 von 9.
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Das ist ein anderer Weg um hier auf 6 zu kommen.
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Aber egal wie, wir haben die Länge herausgefunden.
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Nun müssen wir nur noch herausfinden was FH ist.
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Wir können dies herausfinden indem wir AH berechnen.
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Von A bis F sind es 6, das wissen wir.
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Damit ist FH gleich AH minus AF.
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Also lass uns AH ausrechnen.
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Auch hier können wir wieder mit Ähnlichkeit argumentieren.
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Formal würden wir sagen, wir sehen, dass
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beide, das größere rechtwinklige Dreieck und das kleinere
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rechtwinklige Dreieck, einen 90-Grad Winkel haben.
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Diese beiden Dreiecke haben auch diesen Winkel gemeinsam.
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Damit haben sie zwei gemeinsame Winkel.
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Sie sind einander ähnlich.
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Und wir wissen, dass das Verhältnis von AH-- ich mache das orange.
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Wir wissen, dass das Verhältnis von AH zu AE-- AE ist 12--
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gleich dem Verhältnis von AG--
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das ist 10-- zum Verhältnis von AD ist und das war 15.
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Ein Weg dies zu betrachten ist somit, dass AH 2/3 von 12 ist.
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Wir könnten dies auch durch Ähnlichkeit der Dreiecke lösen.
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Wir könnten dies auch durch Ähnlichkeit der Dreiecke lösen.
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Gekürzt ist diese rechte Seite hier 2/3.
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Damit ist AH-- wenn wir beide Seiten mit 12 multiplizieren--
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gleich 2/3 mal 12 und das ist 8.
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AH ist 8.
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AH ist 8.
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AF ist 6.
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FH hier drüben ist dann 2.
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Damit haben wir genug Informationen um die Fläche von FHG auszurechnen.
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Damit haben wir genug Informationen um die Fläche von FHG auszurechnen.
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Lass mich das hier machen.
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Das ist 1/2 mal die Basis.
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Ich nehme hier FH als die Basis,
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auch wenn ich es anders machen könnte.
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Nun, ich nehme FH als Basis.
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1/2 mal 2 mal Höhe-- mal 6-- das ist gleich 6.
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Und damit sind wir fertig.
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Du könntest hier noch weitermachen.
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Du könntest auch noch die Länge von so ziemlich allen
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Bestandteile hier berechnen, indem du die eine oder andere Technik anwendest.
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Bestandteile hier berechnen, indem du die eine oder andere Technik anwendest.
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Nun, wir haben aber schon das meiste herausgefunden.
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