-
Bylo nám řečeno, že AE je rovno 12,
to je tato strana zde
-
a EC je rovno 18.
-
EC je rovno 18.
-
A nakreslili nám tu pár těžnic.
-
Víme, že to jsou těžnice,
-
protože když protnou protější stranu,
-
říkají nám, že tato délka se rovná této.
-
Že ED je rovno DC,
-
CB je rovno BA,
-
AF je rovno FE,
tedy F, B a D jsou středy stran.
-
Takže G je pak těžištěm,
kde se těžnice protínají.
-
Nejdříve se nás ptají,
jaký je obsah BGC.
-
BGC je tento trojúhelník zde.
-
Ke zjištění obsahu si
jen musíme vzpomenout,
-
že tři těžnice trojúhelníku jej dělí
na 6 trojúhelníků stejného obsahu.
-
Pokud známe obsah celého trojúhelníku
a myslím, že na to přijdeme,
-
je to pravoúhlý trojúhelník, to nám řekli.
-
AE, celá tato vzdálenost, bude 12.
-
Takže to bude 12.
Ujistím se, že máme dost místa.
-
Tato celá vzdálenost je 18,
to nám také řekli.
-
Takže obsah AEC bude
-
polovina základny, což je 18,
krát výška, což je 12.
-
To je rovno 9 krát 12, což je 108.
-
To je obsah celého
pravoúhlého trojúhelníku AEC.
-
Chceme-li obsah BGC,
nebo kteréhokoli z těch šesti menších…
-
Když si nebudeme všímat této malé výšky.
-
… které jsou dány těmito těžnicemi,
-
pak nám stačí vydělit toto číslo šesti.
-
Neboť mají stejný obsah,
to jsme dělali v minulém videu.
-
Takže obsah BGC je roven obsahu AEC,
-
obsahu celého trojúhelníku, děleno 6,
což je 108 děleno 6,
-
což je… 60, dostanete 10,
pak zbyde 48…
-
Takže to bude 18.
-
A to je správně,
protože 108 je rovno 18 krát 6.
-
Takže máme první část,
obsah tohoto je 18.
-
A můžeme říct, chceme-li,
že obsah každého z těch trojúhelníků,
-
těch daných těžnicemi…
-
tohle bude 18,
tohle bude 18,
-
celý trojúhelník FGE bude 18…
-
Ale udělali jsme tuto první část.
-
Teď se nás ptají,
jaká je délka AG.
-
AG je ta delší část této těžnice.
-
A abychom to zjistili,
musíme si jen vzpomenout,
-
že těžiště,
-
že těžiště je vždy
ve dvou třetinách těžnice.
-
Tedy že rozděluje těžnici na dvě části,
které mají poměr 2 ku 1.
-
Takže známe-li délku celé těžnice,
-
můžeme vzít dvě třetiny té délky
a to nám dá AG.
-
Naštěstí pro nás to je
pravoúhlý trojúhelník
-
a my víme, že F a D jsou středy stran.
-
Takže například víme,
že AE je 12, to je dáno,
-
víme že ED je polovina 18,
-
Takže ED, použiji novou barvu, ED bude 9.
-
ED bude 9,
takže stačí využít Pythagorovy věty,
-
abychom zjistili délku AD.
-
AD je přepona tohoto pravého trojúhelníku.
-
Díváme se teď na trojúhelník AED.
-
Takže víme a zapíšeme si to,
-
že 12 na druhou plus 9 na druhou
bude rovno AD na druhou.
-
AD na druhou.
-
12 na druhou je 144,
144 plus 81,
-
to bude rovno AD na druhou.
-
Takže to je co? To je 225.
-
Takže 225 je rovno AD na druhou.
-
A možná jste poznali,
že 225 je 15 na druhou.
-
Takže AD je rovno 15.
-
Chcete vzít kladný kořen,
-
protože se bavíme o délkách stran,
nezajímají nás zápory.
-
Takže AD je rovno 15,
takže celá tato vzdálenost bude 15
-
a AG bude dvě třetiny AD.
-
AG je rovno dvěma třetinám AD.
-
To jsme dokázali v minulém videu,
že těžiště je ve dvou třetinách těžnice.
-
Kterékoli těžnice,
mohli bychom to udělat u všech.
-
Takže je to dvě třetiny krát 15,
-
což je rovno 10.
-
Takže AG je rovno 10,
takže jsme udělali druhou část.
-
Třetí část úkolu je zjistit obsah FGH.
-
Vybarvím to.
-
Pokud bychom znali tuto délku HG
a pokud bychom znali FH,
-
snadno bychom zjistili, jaký ten obsah je.
-
A je tu několik způsobů,
jak přijít na každou z těchto věcí.
-
Jeden způsob jak najít HG
je vzpomenout si,
-
vzpomenout si,
-
že HG je výška buď trojúhelníku FGE
nebo trojúhelníku AFG.
-
A oba mají základnu délky 6.
-
Oba mají základnu délky 6.
-
Takže tohle 6
a tohle je také 6.
-
A pak mají výšku rovnou GH.
-
A víme jaký je obsah.
-
A už víme, že obsah je roven 18.
-
Takže pokud si vezmeme trojúhelník nahoře,
-
mluvíme o obsahu trojúhelníku AFG.
-
Víme, že je to polovina krát základna,
což je 6,
-
krát jeho výška, což je GH.
-
Polovina krát základna krát výška
je rovno obsahu tohoto trojúhelníku,
-
což bude rovno 18.
-
Pak si musíme říct,
-
to je '3 krát GH je rovno 18',
-
vydělíme-li obě strany 3,
-
GH je rovno 6.
-
Takže to je jeden způsob,
GH je rovno 6.
-
Můžete také použít podobnost.
-
Tento trojúhelník nahoře je podobný
tomuto většímu trojúhelníku zde.
-
Tato přepona je rovna
dvou třetinám celé této délky,
-
takže tohle budou dvě třetiny z těchto 9.
-
To je další způsob, jak získat 6,
-
ale v každém případě jsme délku získali.
-
Teď musíme přijít na to,
kolik je FH.
-
A na FH můžeme přijít,
pokud budeme znát AH.
-
Pokud budeme znát AH,
protože AF je 6,
-
takže FH bude AH minus AF.
-
Pojďme tedy zjistit AH.
-
Znovu můžeme využít podobnosti.
-
A pokud to chceme formálně,
vidíme, že oba trojúhelníky,
-
tento větší i tento menší,
-
oba mají pravý úhel zde.
-
Oba mají tento úhel společný.
-
Mají tedy 2 úhly stejné,
-
rozhodně to jsou podobné trojúhelníky.
-
Víme, že poměr AH…
Udělám to oranžově…
-
Víme, že poměr AH ku AE,
což je 12,
-
je roven poměru AG, což je 10, ku AD,
což už jsme zjistili, že je 15.
-
Takže jeden způsob je říct si,
že AH bude dvě třetiny z 12.
-
Nebo si můžeme započítat
a využít podobnosti.
-
Takže tato pravá strana bude 2 lomeno 3,
-
Takže AH,
vynásobím obě strany 12,
-
bude rovno dvěma třetinám krát 12,
což když spočítáte bude 8.
-
Takže AH je 8,
AF je 6,
-
FH tedy bude 2.
-
Takže teď máme dostatek informací
ke zjištění obsahu FHG.
-
Bude to polovina… napíšu to zde…
-
Bude to polovina krát základna,
-
budu brát FH jako základnu,
i když bych mohl i jinak,
-
ale použiju FH jako základnu.
-
Polovina krát 2 krát výška, tedy 6.
-
Což se rovná 6 a jsme hotovi.
-
Mohli byste pokračovat,
-
mohli byste spočítat délky asi všech částí
s použitím několika těchto technik
-
nebo tyto obsahy,
ačkoliv jsme přišli na většinu z nich.