Median Centroid Right Triangle Example

Bylo nám řečeno, že AE je rovno 12,
to je tato strana zde

a EC je rovno 18.

EC je rovno 18.

A nakreslili nám tu pár těžnic.

Víme, že to jsou těžnice,

protože když protnou protější stranu,

říkají nám, že tato délka se rovná této.

Že ED je rovno DC,

CB je rovno BA,

AF je rovno FE,
tedy F, B a D jsou středy stran.

Takže G je pak těžištěm,
kde se těžnice protínají.

Nejdříve se nás ptají,
jaký je obsah BGC.

BGC je tento trojúhelník zde.

Ke zjištění obsahu si
jen musíme vzpomenout,

že tři těžnice trojúhelníku jej dělí
na 6 trojúhelníků stejného obsahu.

Pokud známe obsah celého trojúhelníku
a myslím, že na to přijdeme,

je to pravoúhlý trojúhelník, to nám řekli.

AE, celá tato vzdálenost, bude 12.

Takže to bude 12.
Ujistím se, že máme dost místa.

Tato celá vzdálenost je 18,
to nám také řekli.

Takže obsah AEC bude

polovina základny, což je 18,
krát výška, což je 12.

To je rovno 9 krát 12, což je 108.

To je obsah celého
pravoúhlého trojúhelníku AEC.

Chceme-li obsah BGC,
nebo kteréhokoli z těch šesti menších…

Když si nebudeme všímat této malé výšky.

… které jsou dány těmito těžnicemi,

pak nám stačí vydělit toto číslo šesti.

Neboť mají stejný obsah,
to jsme dělali v minulém videu.

Takže obsah BGC je roven obsahu AEC,

obsahu celého trojúhelníku, děleno 6,
což je 108 děleno 6,

což je… 60, dostanete 10,
pak zbyde 48…

Takže to bude 18.

A to je správně,
protože 108 je rovno 18 krát 6.

Takže máme první část,
obsah tohoto je 18.

A můžeme říct, chceme-li,
že obsah každého z těch trojúhelníků,

těch daných těžnicemi…

tohle bude 18,
tohle bude 18,

celý trojúhelník FGE bude 18…

Ale udělali jsme tuto první část.

Teď se nás ptají,
jaká je délka AG.

AG je ta delší část této těžnice.

A abychom to zjistili,
musíme si jen vzpomenout,

že těžiště,

že těžiště je vždy
ve dvou třetinách těžnice.

Tedy že rozděluje těžnici na dvě části,
které mají poměr 2 ku 1.

Takže známe-li délku celé těžnice,

můžeme vzít dvě třetiny té délky
a to nám dá AG.

Naštěstí pro nás to je
pravoúhlý trojúhelník

a my víme, že F a D jsou středy stran.

Takže například víme,
že AE je 12, to je dáno,

víme že ED je polovina 18,

Takže ED, použiji novou barvu, ED bude 9.

ED bude 9,
takže stačí využít Pythagorovy věty,

abychom zjistili délku AD.

AD je přepona tohoto pravého trojúhelníku.

Díváme se teď na trojúhelník AED.

Takže víme a zapíšeme si to,

že 12 na druhou plus 9 na druhou
bude rovno AD na druhou.

AD na druhou.

12 na druhou je 144,
144 plus 81,

to bude rovno AD na druhou.

Takže to je co? To je 225.

Takže 225 je rovno AD na druhou.

A možná jste poznali,
že 225 je 15 na druhou.

Takže AD je rovno 15.

Chcete vzít kladný kořen,

protože se bavíme o délkách stran,
nezajímají nás zápory.

Takže AD je rovno 15,
takže celá tato vzdálenost bude 15

a AG bude dvě třetiny AD.

AG je rovno dvěma třetinám AD.

To jsme dokázali v minulém videu,
že těžiště je ve dvou třetinách těžnice.

Kterékoli těžnice,
mohli bychom to udělat u všech.

Takže je to dvě třetiny krát 15,

což je rovno 10.

Takže AG je rovno 10,
takže jsme udělali druhou část.

Třetí část úkolu je zjistit obsah FGH.

Vybarvím to.

Pokud bychom znali tuto délku HG
a pokud bychom znali FH,

snadno bychom zjistili, jaký ten obsah je.

A je tu několik způsobů,
jak přijít na každou z těchto věcí.

Jeden způsob jak najít HG
je vzpomenout si,

vzpomenout si,

že HG je výška buď trojúhelníku FGE
nebo trojúhelníku AFG.

A oba mají základnu délky 6.

Oba mají základnu délky 6.

Takže tohle 6
a tohle je také 6.

A pak mají výšku rovnou GH.

A víme jaký je obsah.

A už víme, že obsah je roven 18.

Takže pokud si vezmeme trojúhelník nahoře,

mluvíme o obsahu trojúhelníku AFG.

Víme, že je to polovina krát základna,
což je 6,

krát jeho výška, což je GH.

Polovina krát základna krát výška
je rovno obsahu tohoto trojúhelníku,

což bude rovno 18.

Pak si musíme říct,

to je '3 krát GH je rovno 18',

vydělíme-li obě strany 3,

GH je rovno 6.

Takže to je jeden způsob,
GH je rovno 6.

Můžete také použít podobnost.

Tento trojúhelník nahoře je podobný
tomuto většímu trojúhelníku zde.

Tato přepona je rovna
dvou třetinám celé této délky,

takže tohle budou dvě třetiny z těchto 9.

To je další způsob, jak získat 6,

ale v každém případě jsme délku získali.

Teď musíme přijít na to,
kolik je FH.

A na FH můžeme přijít,
pokud budeme znát AH.

Pokud budeme znát AH,
protože AF je 6,

takže FH bude AH minus AF.

Pojďme tedy zjistit AH.

Znovu můžeme využít podobnosti.

A pokud to chceme formálně,
vidíme, že oba trojúhelníky,

tento větší i tento menší,

oba mají pravý úhel zde.

Oba mají tento úhel společný.

Mají tedy 2 úhly stejné,

rozhodně to jsou podobné trojúhelníky.

Víme, že poměr AH…
Udělám to oranžově…

Víme, že poměr AH ku AE,
což je 12,

je roven poměru AG, což je 10, ku AD,
což už jsme zjistili, že je 15.

Takže jeden způsob je říct si,
že AH bude dvě třetiny z 12.

Nebo si můžeme započítat
a využít podobnosti.

Takže tato pravá strana bude 2 lomeno 3,

Takže AH,
vynásobím obě strany 12,

bude rovno dvěma třetinám krát 12,
což když spočítáte bude 8.

Takže AH je 8,
AF je 6,

FH tedy bude 2.

Takže teď máme dostatek informací
ke zjištění obsahu FHG.

Bude to polovina… napíšu to zde…

Bude to polovina krát základna,

budu brát FH jako základnu,
i když bych mohl i jinak,

ale použiju FH jako základnu.

Polovina krát 2 krát výška, tedy 6.

Což se rovná 6 a jsme hotovi.

Mohli byste pokračovat,

mohli byste spočítat délky asi všech částí
s použitím několika těchto technik

nebo tyto obsahy,
ačkoliv jsme přišli na většinu z nich.