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Absolute Value Equations

  • 0:01 - 0:04
    讓我們來學習解絕對值方程式
  • 0:04 - 0:05
    先來複習下
  • 0:05 - 0:08
    當計算一個數值的絕對值時
  • 0:08 - 0:11
    以-1爲例 來計算絕對值
  • 0:11 - 0:12
    你需要做的是
  • 0:12 - 0:16
    計算出1與0之間的距離
  • 0:16 - 0:21
    對-1來說 下面以數軸示例
  • 0:21 - 0:23
    這個沒畫好
  • 0:23 - 0:26
    這是數軸 這是0
  • 0:26 - 0:28
    這是-1
  • 0:28 - 0:30
    -1與0之間的距離是1
  • 0:30 - 0:33
    那-1的絕對值就是1
  • 0:33 - 0:39
    1和0之間的距離也是1
  • 0:39 - 0:41
    所以1的絕對值同樣是1
  • 0:41 - 0:44
    也就是說 絕對值爲與0之間的距離
  • 0:44 - 0:46
    來換一種更簡單的方式來理解
  • 0:46 - 0:49
    絕對值其實就是取數值的正值
  • 0:49 - 0:59
    -7346的絕對值是7346.
  • 0:59 - 1:01
    理解這點以後 下面
  • 1:01 - 1:05
    開始學習解絕對值方程式
  • 1:05 - 1:07
    來看這個方程式
  • 1:07 - 1:14
    x-5的絕對值等於10
  • 1:14 - 1:16
    可以這樣解讀這個等式
  • 1:16 - 1:18
    也希望能夠這樣理解 這就是說
  • 1:18 - 1:23
    x與5之間的距離爲10
  • 1:23 - 1:27
    與5之間的距離是10的數值有幾個
  • 1:27 - 1:29
    大家應該已經想到解法了
  • 1:29 - 1:32
    不過下面要學習更係統的解法
  • 1:32 - 1:37
    這個方程式有兩種情況
  • 1:37 - 1:42
    一種是x-5等於10
  • 1:42 - 1:45
    如果假定絕對值裏面的值爲10
  • 1:45 - 1:47
    取絕對值後
  • 1:47 - 1:48
    會得到10
  • 1:48 - 1:53
    或者假設x-5等於-10
  • 1:53 - 1:59
    如果x-5等於-10 取絕對值後
  • 1:59 - 2:00
    也是10
  • 2:00 - 2:04
    所以第二種情況是 x-5等於-10
  • 2:04 - 2:08
    兩種情況同時滿足這個方程式
  • 2:08 - 2:09
    先解這個
  • 2:09 - 2:12
    等式兩邊加5
  • 2:12 - 2:14
    得到x=15
  • 2:14 - 2:18
    再解這個 等式兩邊加5
  • 2:18 - 2:21
    x等於-5
  • 2:21 - 2:22
    得出計算結果
  • 2:22 - 2:25
    有兩個x值滿足這個方程式
  • 2:25 - 2:27
    x可以是15
  • 2:27 - 2:30
    15-5等於10 取絕對值後
  • 2:30 - 2:33
    得到10 或者x爲-5
  • 2:33 - 2:36
    -5減5等於-10
  • 2:36 - 2:39
    取絕對值後 還是10
  • 2:39 - 2:42
    注意 這兩個值
  • 2:42 - 2:46
    與5之間的距離都是10
  • 2:46 - 2:48
    再解一個
  • 2:48 - 2:51
    再來一個
  • 2:51 - 2:52
    現在有
  • 2:52 - 2:59
    x+2的絕對值等於6
  • 2:59 - 3:00
    這說明什麽呢
  • 3:00 - 3:03
    也就是說 要麽x+2
  • 3:03 - 3:07
    也就是絕對值符號裏的這個值 它等於6
  • 3:07 - 3:10
    或者絕對值符號裏的這個值
  • 3:10 - 3:12
    x+2 它等於-6
  • 3:12 - 3:14
    假設等於-6時
  • 3:14 - 3:16
    取絕對值後 得到6
  • 3:16 - 3:20
    那麽 假設x+2等於-6
  • 3:20 - 3:23
    然後 等式兩邊減2
  • 3:23 - 3:26
    得到 x等於4
  • 3:26 - 3:30
    再看這個方程式 兩邊減2
  • 3:30 - 3:34
    得到x等於-8
  • 3:34 - 3:37
    這就是方程式的兩種解法
  • 3:37 - 3:40
    爲了加深理解
  • 3:40 - 3:42
    對於絕對值 可以把它看成是距離
  • 3:42 - 3:44
    這樣重寫這個絕對值方程式
  • 3:44 - 3:50
    x減-2的絕對值等於6
  • 3:50 - 3:53
    其實就是說
  • 3:53 - 3:58
    哪些值與-2之間的距離剛好是6呢
  • 3:58 - 3:59
    還記得嗎 在這裡講過
  • 3:59 - 4:04
    哪些值與5之間的距離是10
  • 4:04 - 4:06
    不管被5減的值是幾
  • 4:06 - 4:09
    它們與5之間的距離肯定是10
  • 4:09 - 4:10
    這邊呢
  • 4:10 - 4:13
    哪些值與-2之間的距離是6
  • 4:13 - 4:16
    那就是4 或-8
  • 4:16 - 4:18
    自己試著驗證下結果
  • 4:18 - 4:20
    再做一個
  • 4:20 - 4:25
    再來一個 這次用紫色
  • 4:25 - 4:30
    這有4x的絕對值
  • 4:30 - 4:31
    來計算一個有難度的
  • 4:31 - 4:33
    4x減1
  • 4:33 - 4:37
    4x-1的絕對值 等於--
  • 4:37 - 4:40
    這裡讓它等於19
  • 4:40 - 4:42
    這樣 跟之前的解法一樣
  • 4:42 - 4:48
    一種情況是4x減1等於19
  • 4:48 - 4:52
    另一種情況是4x減1等於-19
  • 4:52 - 4:53
    因爲當取絕對值以後
  • 4:53 - 4:55
    都會得到19
  • 4:55 - 4:59
    或者4x減1等於-19
  • 4:59 - 5:01
    現在只需要解這兩個方程式
  • 5:01 - 5:03
    等式兩邊加1
  • 5:03 - 5:04
    兩個同時做
  • 5:04 - 5:09
    兩邊加1後 得到4x等於20
  • 5:09 - 5:11
    這兩邊加1後
  • 5:11 - 5:15
    得到4x等於-18
  • 5:15 - 5:20
    等式兩邊除4 得到x等於5
  • 5:20 - 5:24
    這個等式兩邊除4 得到x等於-18/4
  • 5:24 - 5:32
    也等於-9/2
  • 5:32 - 5:36
    這兩個x值同時滿足這個絕對值方程式
  • 5:36 - 5:37
    試試看
  • 5:37 - 5:40
    -9/2乘4
  • 5:40 - 5:42
    等於-18
  • 5:42 - 5:44
    -18再減1就是-19
  • 5:44 - 5:47
    取絕對值後 得到19
  • 5:47 - 5:50
    等於5時 4乘5是20
  • 5:50 - 5:52
    減1等於19
  • 5:52 - 5:53
    再取絕對值以後
  • 5:53 - 5:56
    還是等於19
  • 5:56 - 5:59
    下面來畫絕對值方程式的圖形 增加趣味性
  • 5:59 - 5:59
    現在有
  • 5:59 - 6:05
    y等於x+3的絕對值
  • 6:05 - 6:08
    這是個函數 或者說圖形
  • 6:08 - 6:09
    並包含絕對值在裏面
  • 6:09 - 6:12
    這要考慮兩種情況
  • 6:12 - 6:13
    一種情況是
  • 6:13 - 6:16
    絕對值符號裏的這個值爲正
  • 6:16 - 6:19
    也就是x+3
  • 6:19 - 6:23
    寫這邊 x+3>0
  • 6:23 - 6:29
    另一種情況是x+3<0
  • 6:29 - 6:33
    當x+3>0時
  • 6:33 - 6:36
    這個圖形 或這條直線 這裡可能還不能稱爲一條直線
  • 6:36 - 6:42
    這個函數 就等同於y=x+3
  • 6:42 - 6:44
    如果這邊這個值是大於0的話
  • 6:44 - 6:47
    那麽絕對值符號就形同虛設
  • 6:47 - 6:49
    那麽這個就完全等同於
  • 6:49 - 6:50
    y=x+3
  • 6:50 - 6:53
    那麽什麽情況下x+3>0
  • 6:53 - 6:56
    不等式兩邊減3
  • 6:56 - 7:00
    得到x>-3
  • 7:00 - 7:02
    那麽當x>-3時
  • 7:02 - 7:08
    這個圖形與y=x+3是等同的
  • 7:08 - 7:12
    當x+3<0時
  • 7:12 - 7:13
    在這種情況下
  • 7:13 - 7:17
    絕對值符號裏的值爲負
  • 7:17 - 7:20
    在這種情況下等式就變成
  • 7:20 - 7:26
    y等於-（x+3）
  • 7:26 - 7:28
    爲什麽呢
  • 7:28 - 7:31
    仔細聽 現在這裡是負值 如果
  • 7:31 - 7:33
    x+3是負值
  • 7:33 - 7:36
    在這個前提下 如果它是負值的話
  • 7:36 - 7:38
    那麽當取負值的絕對值後
  • 7:38 - 7:40
    它肯定是得到正值
  • 7:40 - 7:43
    就相當於把它與-1相乘
  • 7:43 - 7:46
    如果知道是取負值的絕對值
  • 7:46 - 7:49
    就相當於用這個值乘-1
  • 7:49 - 7:51
    因爲絕對值都是正值
  • 7:51 - 7:54
    也就是這裡所討論的情況
  • 7:54 - 7:56
    x+3少於0
  • 7:56 - 8:00
    兩邊減3 當x少於-3
  • 8:00 - 8:01
    當x少於-3
  • 8:01 - 8:04
    那麽當x<-3時
  • 8:04 - 8:05
    圖形應該是這樣
  • 8:05 - 8:08
    當x>-3
  • 8:08 - 8:10
    圖形是這樣
  • 8:10 - 8:11
    下面一起來看
  • 8:11 - 8:14
    完整的圖形
  • 8:14 - 8:22
    先畫數軸
  • 8:22 - 8:26
    這是x軸 這是y軸
  • 8:26 - 8:29
    先把這個函數乘出來 這樣可以得到mx
  • 8:29 - 8:30
    加b的函數格式
  • 8:30 - 8:36
    這個等於-x-3
  • 8:36 - 8:37
    先看看這種函數圖形
  • 8:37 - 8:39
    的一般形式
  • 8:39 - 8:42
    -x-3
  • 8:42 - 8:47
    y軸截距是-3 所以1 2 3
  • 8:47 - 8:51
    -x那就應該是向下傾斜 也就是
  • 8:51 - 8:52
    向下斜率爲1
  • 8:52 - 8:54
    看起來就是這樣
  • 8:57 - 9:03
    x軸的截距應該是x等於
  • 9:03 - 9:08
    當假設y等於0時 這邊x
  • 9:08 - 9:09
    等於-3
  • 9:09 - 9:10
    穿過這條線
  • 9:10 - 9:12
    這個點
  • 9:12 - 9:14
    這個圖形 如果沒有這裡這個限制條件
  • 9:14 - 9:16
    應該是這樣
  • 9:20 - 9:23
    如果沒有區間限制條件
  • 9:23 - 9:24
    x軸的這個區間限制條件
  • 9:24 - 9:27
    那麽這個圖形 應該是怎樣的
  • 9:27 - 9:27
    來看看
  • 9:27 - 9:32
    y軸截距是3
  • 9:32 - 9:33
    像這樣
  • 9:33 - 9:35
    x軸的截距呢
  • 9:35 - 9:38
    當y等於0時 x等於-3
  • 9:38 - 9:40
    還是一樣穿過這個點
  • 9:40 - 9:41
    斜率爲1
  • 9:41 - 9:44
    那就應該是這樣的
  • 9:44 - 9:45
    這就是這個函數的圖形
  • 9:45 - 9:48
    現在 可以得出結論 絕對值
  • 9:48 - 9:52
    函數爲紫色直線
  • 9:52 - 9:54
    當x<-3時
  • 9:54 - 9:57
    當x<-3 這裡是x等於
  • 9:57 - 10:00
    -3 當x<-3
  • 10:00 - 10:03
    它就是這條紫線
  • 10:03 - 10:05
    就是這條
  • 10:05 - 10:07
    上面是當x<-3時的圖形
  • 10:07 - 10:11
    但是如果x>-3時 就應該是
  • 10:11 - 10:12
    這條綠線了
  • 10:12 - 10:15
    就是這條
  • 10:15 - 10:17
    圖形看起來很像奇怪的V
  • 10:17 - 10:21
    當x>-3時 應該是正值
  • 10:21 - 10:25
    所以這個圖形 斜率爲正
  • 10:25 - 10:28
    但當x<-3時 本質上
  • 10:28 - 10:31
    其實是取這個函數的負值 如果想要
  • 10:31 - 10:32
    這麽理解的話 所以這裡是負斜率
  • 10:32 - 10:35
    如果看到這種V型函數 或是
  • 10:35 - 10:38
    V型圖 那就表明它是
  • 10:38 - 10:40
    絕對值函數
Title:
Absolute Value Equations
Description:

Absolute Value Equations
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Video Language:
English
Duration:
10:41
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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