Mutlak Değer Eşitlikleri

Mutlak Değer Eşitlikleri

Haydi mutlak değer ile ilgili birkaç denklem çözelim.

Sadece küçük bir tekrar olarak, bir sayının

mutlak değerini aldığınızda.

Diyelim ki negatif 1'in mutlak değerini aldım.

Asıl yaptığımız şey, "Bu sayı 0'dan ne kadar uzak?"

sorusunu sormak.

Ve negatif 1 söz konusu olduğunda, bir sayı doğrusu çizersek

işte-- bu çok kötü çizilmiş bir sayı doğrusu oldu.

İşte buraya bir sayı doğrusu çizersek, bu 0.

Ve burada da negatif 1 var.

Ve 0'dan 1 birim uzak.

Yani, negatif 1'in mutlak değeri 1.

Ve 1 de 0'dan 1 birim uzak.

Yani, 1'in mutlak değeri de 1.

Sonuç olarak mutlak değer bir sayının 0'a olan uzaklığı.

Fakat, sanrım mutlak değeri bulmanın daha kolay bir yolu

çıkan sonucun her zaman o sayının pozitif versiyonu olduğunu düşünmek.

Mesela negatif 7346'nın mutlak değeri 7346'dır.

Şimdi öğrendiklerimizi aklımızda tutarak

mutlak değerlerle ilgili birkaç denklem çözelim.

Diyelim ki bu denklemde x eksi 5'in mutlak değeri

10'a eşit.

Aslında bunu şöyle düşünmenizi istiyorum,

bu, x ve 10 arasındaki uzaklık

10 birim demek.

Yani 10, 5'ten kaç birim uzak?

Siz şimdiden bu denklemin çözümünü düşünebiliyorsunuz,

ama ben sizlere bunun nasıl sistematik bir şekilde çözüleceğini göstereceğim.

Şimdi, bu denklemdeki eşitlik iki durumda sağlanacak.

Ya x eksi 5 pozitif 10'a eşit.

Bu, pozitif 10'a eşitse

mutlak değerini aldığımızda

pozitif 10'a eşit olacak.

Ya da, x eksi 5 negatif 10'a eşit olabilir.

Eğer x eksi 5 negatif 10'a eşitse

mutlak değerini aldığımızda yine 10 olacak.

Yani, x eksi 5 negatif 10'a da eşit olabilir.

Bunların ikisi de denklemde eşitliği sağlar.

Şimdi, bunu çözmek için,

denklemin iki tarafına da 5 ekleyin.

Cevap x eşittir 15 çıkıyor.

Bunu çözmek için de denklemin iki tarafına 5 ekleyin.

x eşittir negatif 5.

Yani sonucumuz, bu eşitliği sağlayan

iki x değeri var.

x 15 olabilir.

15 eksi 5 eşittir 10, mutlak değerini alalım

10 çıkacak, ya da x negatif 5 olabilir,

Negatif 5 eksi 5 eşittir 10.

Mutlak değerini alalım, 10 çıkıyor.

Ve farkındaysanız bu iki sayı da

5'ten 10 birim uzak.

Haydi bunlardan bir tane daha yapalım.

Bir tane daha yapalım.

Diyelim ki x artı 2'nin

mutlak değeri 6.

Peki bu ne demek?

Bu, ya mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2

6'ya eşit demek.

Ya da mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2

negatif 6'ya eşit demek.

Bu negatif 6'ya eşitse mutlak değerini alırız

ve 6 çıkar.

Yani, x eksi 2 negatif 6 da olabilir.

Ve bu denklemin iki tarafından da 2 çıkarırsak

cevabımız x eşittir 4 olur.

Fakat, bu denklemin iki tarafından 2 çıkarırsak

cevabımız x eşittir negatif 8 olur.

Sonuç olarak bunlar bu denklemin çözümleri.

Ve bu da aklınızda kalsın, mutlak değeri

0'a olan uzaklık olarak görebilirsiniz.

Böylece bu problemi x eksi negatif 2

eşittir 6 olarak da yazabilirsiniz.

Yani bu problem bana negatif 2'den

6 birim uzak olan x değerlerini soruyor.

Hatırlarsanız burada hangi x değerleri

pozitif 5'ten 10 birim uzak diye sormuştuk.

Pozitif 5'ten hangi sayıyı çıkarırsak çıkaralım

bu iki değer de pozitif 5'ten 10 birim uzak.

Bu da: "Hangi sayı negatif 2'den 6 birim uzak?",

diye sormak.

Ve, bu sayılar 4 ya da negatif 8 olacak.

Bu değerlerin eşitliği sağlayıp sağlamadığına siz de bakabilirsiniz.

Haydi bunlardan bir tane daha yapalım.

Bir tane daha, bu sefer de morla yapalım.

Diyelim ki 4x-- Bu problemi

biraz değiştireceğim.

4x eksi 1.

4x eksi 1'in mutlak değeri-- aslında,

yok böyle kalsın-- 19'a eşit.

Yani, geçen problemdeki gibi 4x eksi 1

19'a eşit olabilir.

Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir.

Çünkü bu durumda mutlak değeri aldığımızda

yine 19 çıkacak.

Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir.

Sonra sadece bu denklemleri çözüyoruz.

Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin-- bunları

eşanlı olarak bile çözebiliriz.

İki tarafa da 1 ekleyin, 4x eşittir 20 çıkacak.

Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin, 4x eşittir

negatif 18 çıkacak.

Bunun iki tarafını da 4'e bölün, x eşittir 5.

Bunun da iki tarafını 4'e bölün, x eşittir

negatif 18/4, yani negatif 9/2.

Yani x'in bu iki değeri de eşitliği sağlıyor.

Deneyelim.

Negatif 9/2 çarpı 4.

Bu da negatif 18 olacak.

Negatif 18 eksi 1 eşittir negatif 19.

Bunun mutlak değerini alalım, 19 oluyor.

Burada ise x yerine 5 koyuyoruz, 4 kere 5 eşittir 20.

20 eksi 1 eşittir pozitif 19.

Mutlak değerini alalım.

Yine, 19 çıkacak.

Şimdi de bunlardan birinin grafiğini çizelim, eğlencesine.

Diyelim ki elimde y'nin x artı 3'ün mutlak değerine eşit olduğu

bir denklem var.

Yani bu içinde mutlak değer olan

bir grafik ya da fonksiyon.

Şimdi, iki durum olduğunu düşünelim.

Bir durumda mutlak değer işaretinin içindeki değer

pozitif olacak.

Bu durumda ise x artı 3-- bu tarafa

yazalım-- x artı 3, 0'dan büyük olacak.

Ve bir de x artı 3'ün 0'dan küçük olduğu durum var.

x artı 3 0'dan büyük olduğunda bu grafik ya da

bu çizgi, yok çizgi değil fonksiyon

y eşittir x artı 3 ile aynı şey.

Eğer buradaki şey 0'dan büyükse, o zaman

mutlak değer işareti anlamsız.

O zaman da bu,

y eşittir x artı 3 ile aynı şey.

Fakat ne zaman x artı 3, 0'dan büyük?

Eşitsizliğin iki tarafından da 3 çıkarırsak cevap

x büyüktür negatif 3 çıkar.

Yani x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu grafik

y eşittir x artı 3 gibi gözükecek.

Şimdi, x artı 3, 0'dan küçük olunca.

Böyle bir durumda-- yani mutlak değer işaretinin içindeki

değer negatif olduğunda--

bu grafiğin denklemi

y, x artı 3'ün negatifine eşit olacak.

Bunu nasıl bulabiliriz?

Bakın eğer bu değer, x artı 3

negatif bir sayı olacaksa--

ki bizim de şu an tahminimiz bu--

o zaman biz negatif bir sayının mutlak değerini aldığımızda

onu pozitif yapmış olacağız.

Negatif 1'le çarpmak gibi.

Eğer negatif bir sayının mutlak değerini aldığınızı biliyorsanız

bu, o sayıyı negatif 1'le çarpmak gibidir

çünkü o negatif değeri pozitif yapacaksınız.

Ve durum böyle olacak,

x artı 3 küçüktür 0

Eğer iki taraftan da 3 çıkarırsak,

x küçüktür negatif 3.

Yani x negatif 3'ten küçük olduğunda

grafik böyle gözükecek.

x negatif 3'ten büyük olduğunda ise

grafik böyle gözükecek.

Şimdi bu denklemlerin

bütün grafiği nasıl göstereceğine bakalım.

Eksenleri çizeyim.

Bu x ekseni, bu da y ekseni.

Şimdi, bunu çarpalım ki denklem

y = mx + b formunda olsun.

Yani bu, negatif x eksi 3'e eşit.

Şimdi grafik genel olarak nasıl görünecek

bir bakalım.

Negatif x eksi 3.

y kesişimi negatif 3, yani-- 1, 2, 3.

Ve negatif x grafiğin eğimi aşağıya doğru demek yani

1'in aşağıya doğru eğimi.

Yani grafik böyle gözükecek.

x kesişimi ise--

Eğer y, 0'a eşit dersek, bu eşitlik

x negatif 3 'e eşit olursa sağlanır.

Yani değerlerimiz bu çizgiden geçip

tam bu noktada kesişecek.

Ve eğer buradaki kısıtlama olmasaydı grafik

buna benzer bir görünüme sahip olacaktı.

Bu, eğer x ekseni belli bir aralıkla kısıtlı olmaması halinde

grafiğin grafiğin görüntüsü

Peki bu grafik nasıl görünüyor?

Bakalım...

y kesişimi pozitif 3'te.

İşte böyle.

Peki bunun x kesişimi neresi?

y 0'a eşitken x eşittir negatif 3.

Yani bu da aynı noktadan geçiyor ve

eğimi 1.

Yani çizdiğimizde böyle gözükecek.

Grafik böyle gözüküyor.

Şimdi bulduğumuz şey, içinde mutlak değer olan bir

fonksiyonda, x negatif 3'ten küçük olduğunda

mor grafik ortaya çıkıyor.

Yani, x negatif üçten küçük olduğunda-- bu x eşittir

negatif 3-- x negatif 3'ten

küçük olduğunda buradaki mor grafik gibi gözükecek.

İşte burada.

Bu, x negatif 3'ten küçük olduğunda.

Fakat x negatif 3'ten büyük olduğunda bu,

yeşil grafik gibi gözükecek.

Bunun gibi gözükecek.

Yani bu grafik, garip bir v gibi gözüküyor.

x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu pozitif.

Yani elimizdeki grafikte bir pozitif eğimli denklem var.

Yani x negatif 3'ten küçük olunca,

kısaca fonksiyonun negatifini alıyoruz

ve bu negatif eğimli denklemi elde ediyoruz.

Yani elimizdeki v şekilli fonksiyon,

v şekilli grafik, bu fonksiyonun mutlak değer

içeren bir fonksiyon olduğunu gösterir.

.

.

.

.