.
Haydi mutlak değer ile ilgili birkaç denklem çözelim.
Sadece küçük bir tekrar olarak, bir sayının
mutlak değerini aldığınızda.
Diyelim ki negatif 1'in mutlak değerini aldım.
Asıl yaptığımız şey, "Bu sayı 0'dan ne kadar uzak?"
sorusunu sormak.
Ve negatif 1 söz konusu olduğunda, bir sayı doğrusu çizersek
işte-- bu çok kötü çizilmiş bir sayı doğrusu oldu.
İşte buraya bir sayı doğrusu çizersek, bu 0.
Ve burada da negatif 1 var.
Ve 0'dan 1 birim uzak.
Yani, negatif 1'in mutlak değeri 1.
Ve 1 de 0'dan 1 birim uzak.
Yani, 1'in mutlak değeri de 1.
Sonuç olarak mutlak değer bir sayının 0'a olan uzaklığı.
Fakat, sanrım mutlak değeri bulmanın daha kolay bir yolu
çıkan sonucun her zaman o sayının pozitif versiyonu olduğunu düşünmek.
Mesela negatif 7346'nın mutlak değeri 7346'dır.
Şimdi öğrendiklerimizi aklımızda tutarak
mutlak değerlerle ilgili birkaç denklem çözelim.
Diyelim ki bu denklemde x eksi 5'in mutlak değeri
10'a eşit.
Aslında bunu şöyle düşünmenizi istiyorum,
bu, x ve 10 arasındaki uzaklık
10 birim demek.
Yani 10, 5'ten kaç birim uzak?
Siz şimdiden bu denklemin çözümünü düşünebiliyorsunuz,
ama ben sizlere bunun nasıl sistematik bir şekilde çözüleceğini göstereceğim.
Şimdi, bu denklemdeki eşitlik iki durumda sağlanacak.
Ya x eksi 5 pozitif 10'a eşit.
Bu, pozitif 10'a eşitse
mutlak değerini aldığımızda
pozitif 10'a eşit olacak.
Ya da, x eksi 5 negatif 10'a eşit olabilir.
Eğer x eksi 5 negatif 10'a eşitse
mutlak değerini aldığımızda yine 10 olacak.
Yani, x eksi 5 negatif 10'a da eşit olabilir.
Bunların ikisi de denklemde eşitliği sağlar.
Şimdi, bunu çözmek için,
denklemin iki tarafına da 5 ekleyin.
Cevap x eşittir 15 çıkıyor.
Bunu çözmek için de denklemin iki tarafına 5 ekleyin.
x eşittir negatif 5.
Yani sonucumuz, bu eşitliği sağlayan
iki x değeri var.
x 15 olabilir.
15 eksi 5 eşittir 10, mutlak değerini alalım
10 çıkacak, ya da x negatif 5 olabilir,
Negatif 5 eksi 5 eşittir 10.
Mutlak değerini alalım, 10 çıkıyor.
Ve farkındaysanız bu iki sayı da
5'ten 10 birim uzak.
Haydi bunlardan bir tane daha yapalım.
Bir tane daha yapalım.
Diyelim ki x artı 2'nin
mutlak değeri 6.
Peki bu ne demek?
Bu, ya mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2
6'ya eşit demek.
Ya da mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2
negatif 6'ya eşit demek.
Bu negatif 6'ya eşitse mutlak değerini alırız
ve 6 çıkar.
Yani, x eksi 2 negatif 6 da olabilir.
Ve bu denklemin iki tarafından da 2 çıkarırsak
cevabımız x eşittir 4 olur.
Fakat, bu denklemin iki tarafından 2 çıkarırsak
cevabımız x eşittir negatif 8 olur.
Sonuç olarak bunlar bu denklemin çözümleri.
Ve bu da aklınızda kalsın, mutlak değeri
0'a olan uzaklık olarak görebilirsiniz.
Böylece bu problemi x eksi negatif 2
eşittir 6 olarak da yazabilirsiniz.
Yani bu problem bana negatif 2'den
6 birim uzak olan x değerlerini soruyor.
Hatırlarsanız burada hangi x değerleri
pozitif 5'ten 10 birim uzak diye sormuştuk.
Pozitif 5'ten hangi sayıyı çıkarırsak çıkaralım
bu iki değer de pozitif 5'ten 10 birim uzak.
Bu da: "Hangi sayı negatif 2'den 6 birim uzak?",
diye sormak.
Ve, bu sayılar 4 ya da negatif 8 olacak.
Bu değerlerin eşitliği sağlayıp sağlamadığına siz de bakabilirsiniz.
Haydi bunlardan bir tane daha yapalım.
Bir tane daha, bu sefer de morla yapalım.
Diyelim ki 4x-- Bu problemi
biraz değiştireceğim.
4x eksi 1.
4x eksi 1'in mutlak değeri-- aslında,
yok böyle kalsın-- 19'a eşit.
Yani, geçen problemdeki gibi 4x eksi 1
19'a eşit olabilir.
Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir.
Çünkü bu durumda mutlak değeri aldığımızda
yine 19 çıkacak.
Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir.
Sonra sadece bu denklemleri çözüyoruz.
Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin-- bunları
eşanlı olarak bile çözebiliriz.
İki tarafa da 1 ekleyin, 4x eşittir 20 çıkacak.
Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin, 4x eşittir
negatif 18 çıkacak.
Bunun iki tarafını da 4'e bölün, x eşittir 5.
Bunun da iki tarafını 4'e bölün, x eşittir
negatif 18/4, yani negatif 9/2.
Yani x'in bu iki değeri de eşitliği sağlıyor.
Deneyelim.
Negatif 9/2 çarpı 4.
Bu da negatif 18 olacak.
Negatif 18 eksi 1 eşittir negatif 19.
Bunun mutlak değerini alalım, 19 oluyor.
Burada ise x yerine 5 koyuyoruz, 4 kere 5 eşittir 20.
20 eksi 1 eşittir pozitif 19.
Mutlak değerini alalım.
Yine, 19 çıkacak.
Şimdi de bunlardan birinin grafiğini çizelim, eğlencesine.
Diyelim ki elimde y'nin x artı 3'ün mutlak değerine eşit olduğu
bir denklem var.
Yani bu içinde mutlak değer olan
bir grafik ya da fonksiyon.
Şimdi, iki durum olduğunu düşünelim.
Bir durumda mutlak değer işaretinin içindeki değer
pozitif olacak.
Bu durumda ise x artı 3-- bu tarafa
yazalım-- x artı 3, 0'dan büyük olacak.
Ve bir de x artı 3'ün 0'dan küçük olduğu durum var.
x artı 3 0'dan büyük olduğunda bu grafik ya da
bu çizgi, yok çizgi değil fonksiyon
y eşittir x artı 3 ile aynı şey.
Eğer buradaki şey 0'dan büyükse, o zaman
mutlak değer işareti anlamsız.
O zaman da bu,
y eşittir x artı 3 ile aynı şey.
Fakat ne zaman x artı 3, 0'dan büyük?
Eşitsizliğin iki tarafından da 3 çıkarırsak cevap
x büyüktür negatif 3 çıkar.
Yani x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu grafik
y eşittir x artı 3 gibi gözükecek.
Şimdi, x artı 3, 0'dan küçük olunca.
Böyle bir durumda-- yani mutlak değer işaretinin içindeki
değer negatif olduğunda--
bu grafiğin denklemi
y, x artı 3'ün negatifine eşit olacak.
Bunu nasıl bulabiliriz?
Bakın eğer bu değer, x artı 3
negatif bir sayı olacaksa--
ki bizim de şu an tahminimiz bu--
o zaman biz negatif bir sayının mutlak değerini aldığımızda
onu pozitif yapmış olacağız.
Negatif 1'le çarpmak gibi.
Eğer negatif bir sayının mutlak değerini aldığınızı biliyorsanız
bu, o sayıyı negatif 1'le çarpmak gibidir
çünkü o negatif değeri pozitif yapacaksınız.
Ve durum böyle olacak,
x artı 3 küçüktür 0
Eğer iki taraftan da 3 çıkarırsak,
x küçüktür negatif 3.
Yani x negatif 3'ten küçük olduğunda
grafik böyle gözükecek.
x negatif 3'ten büyük olduğunda ise
grafik böyle gözükecek.
Şimdi bu denklemlerin
bütün grafiği nasıl göstereceğine bakalım.
Eksenleri çizeyim.
Bu x ekseni, bu da y ekseni.
Şimdi, bunu çarpalım ki denklem
y = mx + b formunda olsun.
Yani bu, negatif x eksi 3'e eşit.
Şimdi grafik genel olarak nasıl görünecek
bir bakalım.
Negatif x eksi 3.
y kesişimi negatif 3, yani-- 1, 2, 3.
Ve negatif x grafiğin eğimi aşağıya doğru demek yani
1'in aşağıya doğru eğimi.
Yani grafik böyle gözükecek.
x kesişimi ise--
Eğer y, 0'a eşit dersek, bu eşitlik
x negatif 3 'e eşit olursa sağlanır.
Yani değerlerimiz bu çizgiden geçip
tam bu noktada kesişecek.
Ve eğer buradaki kısıtlama olmasaydı grafik
buna benzer bir görünüme sahip olacaktı.
Bu, eğer x ekseni belli bir aralıkla kısıtlı olmaması halinde
grafiğin grafiğin görüntüsü
Peki bu grafik nasıl görünüyor?
Bakalım...
y kesişimi pozitif 3'te.
İşte böyle.
Peki bunun x kesişimi neresi?
y 0'a eşitken x eşittir negatif 3.
Yani bu da aynı noktadan geçiyor ve
eğimi 1.
Yani çizdiğimizde böyle gözükecek.
Grafik böyle gözüküyor.
Şimdi bulduğumuz şey, içinde mutlak değer olan bir
fonksiyonda, x negatif 3'ten küçük olduğunda
mor grafik ortaya çıkıyor.
Yani, x negatif üçten küçük olduğunda-- bu x eşittir
negatif 3-- x negatif 3'ten
küçük olduğunda buradaki mor grafik gibi gözükecek.
İşte burada.
Bu, x negatif 3'ten küçük olduğunda.
Fakat x negatif 3'ten büyük olduğunda bu,
yeşil grafik gibi gözükecek.
Bunun gibi gözükecek.
Yani bu grafik, garip bir v gibi gözüküyor.
x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu pozitif.
Yani elimizdeki grafikte bir pozitif eğimli denklem var.
Yani x negatif 3'ten küçük olunca,
kısaca fonksiyonun negatifini alıyoruz
ve bu negatif eğimli denklemi elde ediyoruz.
Yani elimizdeki v şekilli fonksiyon,
v şekilli grafik, bu fonksiyonun mutlak değer
içeren bir fonksiyon olduğunu gösterir.