Absolute Value Equations

Absolute Value Equations

Poďme si urobiť nejaké rovnice, ktoré sa zaoberajú absolútnymi hodnotami.

A len trochu na zopakovanie, ak si vezmeme absolútnu hodnotu

hodnotu čísla.

Vezmime si napríklad absolútnu hodnotu mínus jednej.

Čo naozaj urobíte je, že poviete, ako ďaleko je toto

číslo od nuly.

A v prípade mínus jednej, ak si tu nakreslíme číselnú os,

...to je ale škaredá os...

Ak si nakreslíme číselnú os, toto je 0,

tu máme -1.

Teda, vzdialenosť od 0 je 1.

Takže absolútna hodnota -1 je 1.

Absolútna hodnota 1 je tiež 1; vzdialenosť od nuly

je tiež rovná 1.

Takže do istej miery, absolútna hodnota je vzdialenosť od nuly.

Ale ďalší a myslím si jednoduchší spôsob, ako o tom rozmýšľať je, že vždy

je výsledkom kladná hodnota tohoto čísla.

Absolútna hodnota -7,346 je 7,346.

Takže ,s týmto na pamäti, poďme skúsiť vyriešiť nejaké rovnice

s absolútnymi hodnotami.

Povedzme, že mám rovnicu....absolútna hodnota

x - 5 = 10

Jeden spôsob, ako to interpretovať, a chcem aby ste sa

nad tým zamysleli, toto nám hovorí, že vzdialenosť

medzi "x" a 5 je 10.

Takže koľko je čísel, ktoré sú presne vo vzdialenosti 10 od 5?

A už môžete myslieť na riešenie tejto rovnice,

ale ja vám ukážem, ako to vyriešiť systematicky.

Bude to platiť v dvoch situáciách.

Za prvé, buď sa x - 5 =10

Ak nám vyjde plus 10, tak keď

vezmete absolútnu hodnotu, dostanete

opäť plus 10.

alebo x - 5 = -10

Ak x - 5 je mínus 10, ak vezmete

absolútnu hodnotu, dostanete opäť 10.

Takže x - 5 sa môže rovnať -10.

Obidva tieto príklady spíňajú túto rovnicu.

Teraz, ako vyriešiť toto? Pripočítajte 5 k obidvom

stranám tej to rovnice.

Vyjde vám, že x = 15.

K vyriešeniu tohoto, pripočítajte 5 k obidvom stranám tejto rovnice,

x = -5

Takže naše riešenie...existujú dve "x", ktoré

spĺňajú túto rovnicu.

Za prvé: "x" môže byť 15;

15 - 5 = 10, absolútna hodnota 10 je 10.

Za druhé: "x" môže byť -5;

-5 - 5 = -10;

absolútna hodnota -10 je 10.

A všimnite si, obidve tieto čísla sú vo vzdialenosti 10

od čísla 5.

Urobme ešte jeden podobný.

Poďme si urobiť ešte jeden.

Povedzme, že máme absolútnu hodnotu

x + 2 = 6

Čo nám hovorí?

Hovorí nám to, že buď x + 2 ...že tá vec vo vnútri

absolútnej hodnoty ....sa rovná 6.

Alebo, to vo vnútri absolútnej hodnoty...

x + 2 môže byť aj mínus 6.

Ak táto celá vec vyjde -6, vezmite

absolútnu hodnotu a dostanete 6.

Alebo x + 2 sa môže rovnať -6.

A potom, ak odčítate 2 od obidvoch strán tejto

rovnice, dostanete, že x = 4.

Ak odčítame 2 od obidvoch strán tejto rovnice,

dostanete, že x = -8.

Takže toto sú dve riešenia rovnice.

A len tak, aby ste to mali v hlave,

môžete na absolútnu hodnotu pozerať ako na druh vzdielenosti,

môžete popísať tento problém ako absolútna hodnota x - (-2) sa rovná 6.

Absolútna hodnota x - (-2) sa rovná 6.

A to sa ma pýta, ktoré "x" sú vzdialené presne 6

od -2.

Pamätajte si, že tu sme si povedali, ktoré "x" sú

presne 10 od 5.

Ak ktorékoľvek z týchto čísel odčítate od 5,

obidve sú vzdialené 10 od 5.

Toto sa ma pýta, čo presne je vzdialené 6

od -2?

A bude to buď 4 alebo -8.

Mohli by ste to s týmito číslami skúsiť sami.

Urobme ešte jeden takýto príklad.

Urobme ešte jeden, a urobíme ho fialový.

Povedzme, že máme absolútnu hodnotu 4x - ...

trochu ten problém pozmením...

4x - 1

Absolútna hodnota 4x - 1 =

napríklad... = 19.

Takže, rovnako, ako v posledných niekoľkých problémoch, 4x -1 môže byť

rovné 19,

alebo 4x -1 môže vyjsť -19.

Pretože potom, keď budete mať absolútnum hodnotu,

dostanete znovu 19.

Alebo 4x -1 môže byť rovné -19.

Potom už stačí vyriešiť tieto dve rovnice.

Pripočítajte 1k obidvom stranám tejto rovnice...môžeme to urobiť

zároveň.

Pripočítajte 1 na obidvoch stranách, dostanete 4x = 20

Pripočítajte 1 na obidvoch stranách tejto rovnice, dostanete 4x =

-18.

Vydelte obidve strany 4, dostanete x = 5

Vydelte obidve strany 4, dostanete, že x =

-18 /4, čo sa rovná -9/2.

Takže obidve tieto hodnoty "x" spĺňajú rovnicu.

Skúste to.

-9/2 . 4...

to nám vyjde -18;

-18 -1 = -19

Vezmite absolútnu hodnotu, dostanete 19.

Dosadíte 5, 4 . 5 = 20

20 - 1 = 19

Vezmite absolútnu hodnotu,

a opäť dostanete 19.

Poďme si jeden príklad nakresliť do grafu, len tak pre zábavu.

Takže povedzme, že máme "y", ktoré sa rovná absolútnej

hodnote x + 3.

Takže, toto je funkcia, alebo graf, s

absolútniu hodnotou.

Uvažujme dve situácie.

Existuje prvá situácia, kde je táto vec vo vnútri absolútnej

hodnoty kladná.

Takže budete mať situáciu, kde x + 3 ... napíšem to

tu.... x + 3 je väčšie ako 0.

A potom máte situáciu, kde x + 3 je menšie ako 0.

Keď x + 3 je väčšie ako 0, tento graf, alebo táto priamka,

...myslím, že to môžeme nazvať priamka...táto funkcia je

to isté, ako y = x + 3.

Ak táto vec tu je väčšia ako 0,

znamienko absolútnej hodnoty nehrá úlohu.

Takže toto je to isté ako

y = x + 3

Ale v akom prípade je x + 3 väčšie ako 0?

Teda, ak od obidvoch strán odčítame 3, dostaneme, že

x je väčšie ako -3.

Takže, ak x je väčšie ako -3, tento graf bude

vyzerať rovnako ako y = x + 3.

Teraz, keď x + 3 je menšie ako 0,

v situácii, keď toto...vnútro našej

absolútnej hodnoty... je záporné, v takom prípade

bude táto rovnica rovná

y = -(x + 3)

Ako to môžem povedať?

Pozrite sa, ak má toto byť záporné číslo, ak

x + 3 bude záporné číslo...to je to,

čo tu predpokladáme....ak to bude záporné číslo,

potom, ak vezmeme absolútnu hodnotu záporného

čísla, vyjde nám číslo kladné.

Je to to isté, akoby ste ho vynásobili -1.

Ak viete, že pracujete s absolútnou hodnotou záporného

čísla, je to to isté, akoby ste ho vynásobili -1,

pretože z neho vytvoríte číslo kladné.

A to bude táto situácia.

x + 3 je menšie ako 0.

Ak odčítame 3 od obidvoch strán, potom

x je menšie ako -3.

Takže, keď x je menšie ako -3, náš graf bude

vyzerať takto.

Keď je x väčšie ako -3, graf bude

vyzerať takto.

Takže sa pozrime, ako bude náš

celý graf vyzerať.

Nakreslím si osi,

toto je moja os x, tot je moja os y .

Takže, toto si vynásobím, aby sme mali vzorec

vo forme ax + b

Tak, toto roznásobím: -x - 3

Takže teraz skúsme prísť na to, ako bude tento graf

všeobecne vyzerať.

-x-3

Priesečník s osou "y" je v bode -3, takže 1,2,3

a -x znamená, že bude klesať,

klesať o hodnotu 1.

Takže to bude vyzerať takto.

Priesečník s osou "x" bude v bode, keď x =

Ak povieme, že y = 0,tak to nastane v prípade, že x =

-3.

Takže to pôjde po tejto priamke,

do tohoto bodu.

A graf, pokiaľ by sme nemali toto obmedzenie

tu, by vyzeral približne takto.

To znamená, že pokiaľ by sme ho neobmedzili len na určitý interval na

osi "x".

Ako tento graf teda vyzerá?

Poďme sa pozrieť.

Priesečník s osou "y" má v bode 3.

Presne tu.

A kde je jeho priesečník s osou "x" ?

Ak y = 0, x = -3

Takže to prechádza presne týmto bodom tu a má

sklon 1.

Takže to bude vyzrerať asi takto.

Takto teda graf vyzerá.

A teraz, to čo sme zistili je, že funkcia absolútnej

hodnoty, vyzerá ako tento fialový graf, ak je "x"

menšie ako -3.

Takže, ak je "x" menšie ako -3....že "x" sa rovná

-3 práve tu....keď je "x" menšie ako

-3, vyzerá ako tento fialový graf.

Presne tu.

Tak to je, keď je "x" menšie ako -3.

Ale keď je "x" väčšie než -3, vyzerá ako tento

zelený graf.

Vyterá to takto.

Takže tento graf vyzerá ako také divné "V".

Keď je "x" väčšie ako -3, táto časť je kladná.

Takže máme graf....máme rastúci sklon.

Ale keď je "x" menšie asko -3, tak v podstate

berieme zápornú časť funkcie, ak sa nato pozriete

takto, a preto máme klesajúci sklon.

Takže máte niečo ako takúto funkciu mv tvare "V", tento

graf v tvare "V", ktorý naznačuje funkciu

absolútnej hodnoty.