Ecuații cu valori absolute

Ecuații cu valori absolute

Hai să rezolvăm câteva ecuații cu valori absolute

Ca și o scurtă recapitulare, când luăm valoarea

absolută a unui număr.

Hai să spunem că iau valoarea absolută a lui 1 negativ.

De fapt, ceea ce vrem să spunem este cât de departe este acel

număr față de zero?

Și în cazul lui 1 negativ, dacă desenăm linia numerelor chiar

acolo -- aceea este o linie a numerelor foarte rău desenată

Dacă desenăm o linie a numerelor chiar acolo, aici e 0.

Vom avea 1 negativ chiar acolo.

Adică este la 1 depărtare față de 0.

Deci valoarea absolută a lui 1 negativ este 1.

Și valoarea absolută a lui 1 este deasemenea la 1 depărtare față de 0.

Este tot egală cu 1.

Deci la un anumit nivel, valoarea absolută este distanța față de 0.

Dar un mod mai simplu, cred, de a gândi

întotdeauna este versiunea pozitivă a numărului

Valoarea absolută a lui 7.346 negativ este egală cu 7.346

Reținând acestea, hai să încercăm să rezolvăm câteva ecuații

conținând valori absolute.

Hai să spunem că am ecuația: valoarea absolută a lui

x minus 5 este egală cu 10

Un mod în care poți să interpretezi, și vreau să te gândești

la acest lucru, este de fapt să spui că distanța

între x și 5 este egală cu 10.

Deci câte numere sunt exact la 10 depărtare față de 5?

Poți să te gândești deja la soluția acestei ecuații,

dar am să-ți arăt cum să o rezolvi în general.

Aceasta va fi adevărată în două situații.

În primul caz x minus 5 este egal cu plus 10.

Dacă aceasta va fi egală cu 10 pozitiv, atunci când îi

iei valoarea absolută, vei

primi 10 pozitiv.

Sau x minus 5 s-ar putea evalua la 10 negativ.

Dacă x minus 5 s-a evaluat la 10 negativ, dacă îi iei

valoarea absolută, vei primi 10 din nou.

Deci x minus 5 poate să fie deasemenea egal cu 10 negativ.

Ambele valori vor satisface această ecuație.

Acum, ca să o rezolvăm, adunăm 5 la ambele

părți ale acestei ecuații.

Vom obține x este egal cu 15.

Pentru a o rezolva, adună 5 la ambele părți ale ecuației.

x este egal cu 5 negativ.

Deci soluția noastră, sunt doi x care

satisfac această ecuație.

x poate fi 15.

15 minus 5 este 10, ia valoarea absolută, o să

primești 10, sau x poate fi 5 negativ.

5 negativ minus 5 este 10 negativ.

Ia valoarea absolută, vei primi 10.

Observă, ambele numere sunt exact la 10 depărtare

față de numărul 5.

Hai să mai facem una la fel.

Hai să mai facem încă una.

Hai să spunem că avem valoarea absolută a lui x plus

2 este egală cu 6.

Deci ce ne spune?

Ne spune că x plus 2, lucrul din interiorul

semnului de valoare absolută, este egal cu 6.

Sau că lucrul din interiorul semnului de valoare absolută,

acel x plus 2, poate fi 6 negativ.

Dacă totul se evaluează la 6 negativ, iei valoarea absolută

vei primi 6.

Deci, sau x plus 2 poate fi egal cu 6 negativ.

Și atunci dacă scazi 2 de ambele părți ale acestei

ecuații, vei primi că x poate fi egal cu 4.

Dacă scazi 2 din ambele părți ale acestei ecuații

vei primi că x poate fi egal cu 8 negativ.

Deci acestea sunt cele două soluții ale ecuației.

Și doar ca să-ți rămână în minte ceva despre valoarea

absolută, poți să o privești ca și o distanță,

poți să rescrii această problemă ca și valoarea absolută a lui

x minus 2 negativ este egală cu 6.

Este ca și cum m-ai întreba, care sunt acei x care sunt exact la

6 depărtare față de 2 negativ?

Reamintește-ți, mai sus am spus, care sunt acei x care sunt

exact la 10 depărtare față de 5 pozitiv?

Oricare număr l-ai scade din 5 pozitiv,

ambele sunt la 10 depărtare față de 5 pozitiv.

Ca și cum ai întreba, ce este exact la 6 depărtare

față de 2 negativ?

Și vor fi 4 sau 8 negativ.

Poți să încerci singur aceste numere.

Hai să mai facem încă una din acestea.

Hai să facem încă una, și o vom face în violet.

Hai să spunem că avem valoarea absolută a lui 4x -- Am să

schimb această problemă un pic.

4x minus 1.

Valoarea absolută a lui 4x minus 1, este egală cu -- de fapt,

am să o păstrez -- este egală cu 19.

Deci, la fel ca și ultimele câteva probleme, 4x minus 1 ar putea

să fie egal cu 19.

Sau 4x minus 1 s-ar putea evalua la 19 negativ.

Pentru că atunci când iei valoarea absolută,

o să obții 19 din nou.

Sau 4x minus 1 poate să fie egal cu 19 negativ.

Atunci doar rezolvă aceste două ecuații.

Adună 1 la ambele părți ale acestei ecuații -- am putea

chiar să le facem simultan.

Adună 1 la ambele părți, vei primi 4x este egal cu 20.

Adună 1 la ambele părți ale acestei ecuații, vei primi 4x

este egal cu 18 negativ.

Împarte ambele părți cu 4, primești x este egal cu 5.

Împarte ambele părți cu 4, primești x este egal cu

18/4 negativ, ceea ce este egal cu 9/2 negativ.

Deci ambele valori ale lui x satisfac ecuația.

Încearcă.

9/2 negativ ori 4.

Aceasta va deveni 18 negativ.

18 negativ minus 1 este 19 negativ.

În valoare absolută, obții 19.

Pune un 5 aici, 4 ori 5 este 20.

Minus 1 este 19 pozitiv.

Aplică valoarea absolută.

Din nou, o sa primești un 19.

Hai să încercăm să facem graficul uneia din ele, doar de distracție.

Deci hai să spunem că am y este egal cu

valoarea absolută a lui x plus 3.

Deci aceasta este o funcție, sau un grafic, conținând

o valoarea absolută.

Hai să ne gândim la două scenarii.

Un scenariu este când lucrul din interiorul valorii

absolute este pozitiv.

Deci avem scenariul unde x plus 3 -- O să-l scriu

aici -- x plus 3 este mai mare ca 0.

Și mai avem scenariul unde x plus 3 este mai mic decât 0.

Când x plus 3 este mai mare ca 0, acest grafic, sau această linie --

cred că nu putem să o chemăm o linie -- această funcție,

este același lucru ca și y este egal cu x plus 3.

Dacă acest lucru de aici este mai mare ca 0, atunci

semnul valoare absolută este irelevant.

Deci acest lucru este la fel cu y este

egal cu x plus 3.

Dar când este x plus 3 mai mare ca 0?

Păi, dacă scazi 3 din ambele părți, o sa obții

x este mai mare ca 3 negativ.

Deci când x este mai mare ca 3 negativ, graficul funcției

o să arate ca și y este egal cu x plus 3.

Acum, când x plus 3 este mai mic ca 0.

Când situația este aceasta -- interiorul semnului

de valoare absolută -- este negativ, în această situație

ecuația o să fie y este egal cu

x negativ plus 3.

Cum pot să spun asta?

Păi, uite, dacă acesta o să fie un număr negativ, dacă x

plus 3 o să fie un număr negativ -- asta este

ceea ce considerăm aici -- dacă o să fie un număr negativ,

atunci când luăm valoarea absolută a unui număr

negativ, o să-l facem să fie pozitiv.

Asta este ca și cum l-am înmulți cu 1 negativ.

Dacă știm că luăm valoarea absolută a unui număr

negativ, este ca și cum l-am înmulți cu 1 negativ,

pentru că îl facem să fie pozitiv.

Și aceasta o să fie situația.

x plus 3 este mai mic ca 0.

Dacă scădem 3 din ambele părți, când x este mai mic

decât 3 negativ.

Deci când x este mai mic decât 3 negativ, graficul

va arăta așa.

Când x este mai mare decât 3 negativ, graficul va

arăta cam așa.

Deci hai să vedem cum va face

să arate întregul grafic.

Hai să desenez axele.

Asta e axa x, cealalaltă e axa y.

Deci hai să înmulțim ca să o avem sub forma

mx plus b

Deci acesta este egal cu x negativ minus 3.

Hai să ne gândim cum va arăta

acest grafic în general.

x negativ minus 3.

Intersecția cu axa y este 3 negativ, deci 1, 2, 3.

Și x negativ înseamnă că are panta în jos,

are o pantă de valoare 1 în jos.

Deci va arăta așa.

Intersecția cu axa x va fi când x este egal cu--

Deci dacă zici y este egal cu 0, asta se va întâmpla când

x este egal cu 3 negativ

Deci va trece prin acea linie,

chiar prin acel punct.

Și graficul, dacă nu am avea această constrângere

chiar aici, ar arăta cam așa.

Asta dacă nu l-am constrânge într-un anumit interval

pe axa x.

Acum acest grafic, oare cum arată?

Hai să vedem.

Are intersecția cu axa y la 3 pozitiv.

Chiar așa.

Și unde are intersecția cu axa x?

Când y este egal cu 0, x este 3 negativ.

De asemenea trece prin acel punct chiar acolo, și are

o pantă egală cu 1.

Deci va arăta cam așa

Cam așa arată acest grafic.

Acum, ce am aflat este că această funcție valoare

absolută, arată ca și acest grafic violet când x este

mai mic decât 3 negativ.

Deci când x este mai mic decât 3 negativ -- acesta este x egal

cu 3 negativ chiar acolo -- când x este mai mic decât

3 negativ, arată ca acest grafic violet.

Chiar acolo.

Deci asta când x este mai mic decât 3 negativ.

Dar când x este mai mare ca 3 negativ, atunci arată

ca și graficul verde.

Așa arată.

Deci acest grafic arată ca și acest v ciudat.

Când x este mai mare ca 3 negativ, acesta e pozitiv

Deci avem graficul unei -- avem o pantă pozitivă.

Dar când x este mai mic decât 3 negativ, de fapt

luăm funcția negativă, dacă vrei să o privești așa

și deci avem aceasta pantă negativă.

Deci avem această funcție în formă de v, acest

grafic în formă de v, care este specific

funcției valoare absolută.

.

.

.

.