.
Hai să rezolvăm câteva ecuații cu valori absolute
Ca și o scurtă recapitulare, când luăm valoarea
absolută a unui număr.
Hai să spunem că iau valoarea absolută a lui 1 negativ.
De fapt, ceea ce vrem să spunem este cât de departe este acel
număr față de zero?
Și în cazul lui 1 negativ, dacă desenăm linia numerelor chiar
acolo -- aceea este o linie a numerelor foarte rău desenată
Dacă desenăm o linie a numerelor chiar acolo, aici e 0.
Vom avea 1 negativ chiar acolo.
Adică este la 1 depărtare față de 0.
Deci valoarea absolută a lui 1 negativ este 1.
Și valoarea absolută a lui 1 este deasemenea la 1 depărtare față de 0.
Este tot egală cu 1.
Deci la un anumit nivel, valoarea absolută este distanța față de 0.
Dar un mod mai simplu, cred, de a gândi
întotdeauna este versiunea pozitivă a numărului
Valoarea absolută a lui 7.346 negativ este egală cu 7.346
Reținând acestea, hai să încercăm să rezolvăm câteva ecuații
conținând valori absolute.
Hai să spunem că am ecuația: valoarea absolută a lui
x minus 5 este egală cu 10
Un mod în care poți să interpretezi, și vreau să te gândești
la acest lucru, este de fapt să spui că distanța
între x și 5 este egală cu 10.
Deci câte numere sunt exact la 10 depărtare față de 5?
Poți să te gândești deja la soluția acestei ecuații,
dar am să-ți arăt cum să o rezolvi în general.
Aceasta va fi adevărată în două situații.
În primul caz x minus 5 este egal cu plus 10.
Dacă aceasta va fi egală cu 10 pozitiv, atunci când îi
iei valoarea absolută, vei
primi 10 pozitiv.
Sau x minus 5 s-ar putea evalua la 10 negativ.
Dacă x minus 5 s-a evaluat la 10 negativ, dacă îi iei
valoarea absolută, vei primi 10 din nou.
Deci x minus 5 poate să fie deasemenea egal cu 10 negativ.
Ambele valori vor satisface această ecuație.
Acum, ca să o rezolvăm, adunăm 5 la ambele
părți ale acestei ecuații.
Vom obține x este egal cu 15.
Pentru a o rezolva, adună 5 la ambele părți ale ecuației.
x este egal cu 5 negativ.
Deci soluția noastră, sunt doi x care
satisfac această ecuație.
x poate fi 15.
15 minus 5 este 10, ia valoarea absolută, o să
primești 10, sau x poate fi 5 negativ.
5 negativ minus 5 este 10 negativ.
Ia valoarea absolută, vei primi 10.
Observă, ambele numere sunt exact la 10 depărtare
față de numărul 5.
Hai să mai facem una la fel.
Hai să mai facem încă una.
Hai să spunem că avem valoarea absolută a lui x plus
2 este egală cu 6.
Deci ce ne spune?
Ne spune că x plus 2, lucrul din interiorul
semnului de valoare absolută, este egal cu 6.
Sau că lucrul din interiorul semnului de valoare absolută,
acel x plus 2, poate fi 6 negativ.
Dacă totul se evaluează la 6 negativ, iei valoarea absolută
vei primi 6.
Deci, sau x plus 2 poate fi egal cu 6 negativ.
Și atunci dacă scazi 2 de ambele părți ale acestei
ecuații, vei primi că x poate fi egal cu 4.
Dacă scazi 2 din ambele părți ale acestei ecuații
vei primi că x poate fi egal cu 8 negativ.
Deci acestea sunt cele două soluții ale ecuației.
Și doar ca să-ți rămână în minte ceva despre valoarea
absolută, poți să o privești ca și o distanță,
poți să rescrii această problemă ca și valoarea absolută a lui
x minus 2 negativ este egală cu 6.
Este ca și cum m-ai întreba, care sunt acei x care sunt exact la
6 depărtare față de 2 negativ?
Reamintește-ți, mai sus am spus, care sunt acei x care sunt
exact la 10 depărtare față de 5 pozitiv?
Oricare număr l-ai scade din 5 pozitiv,
ambele sunt la 10 depărtare față de 5 pozitiv.
Ca și cum ai întreba, ce este exact la 6 depărtare
față de 2 negativ?
Și vor fi 4 sau 8 negativ.
Poți să încerci singur aceste numere.
Hai să mai facem încă una din acestea.
Hai să facem încă una, și o vom face în violet.
Hai să spunem că avem valoarea absolută a lui 4x -- Am să
schimb această problemă un pic.
4x minus 1.
Valoarea absolută a lui 4x minus 1, este egală cu -- de fapt,
am să o păstrez -- este egală cu 19.
Deci, la fel ca și ultimele câteva probleme, 4x minus 1 ar putea
să fie egal cu 19.
Sau 4x minus 1 s-ar putea evalua la 19 negativ.
Pentru că atunci când iei valoarea absolută,
o să obții 19 din nou.
Sau 4x minus 1 poate să fie egal cu 19 negativ.
Atunci doar rezolvă aceste două ecuații.
Adună 1 la ambele părți ale acestei ecuații -- am putea
chiar să le facem simultan.
Adună 1 la ambele părți, vei primi 4x este egal cu 20.
Adună 1 la ambele părți ale acestei ecuații, vei primi 4x
este egal cu 18 negativ.
Împarte ambele părți cu 4, primești x este egal cu 5.
Împarte ambele părți cu 4, primești x este egal cu
18/4 negativ, ceea ce este egal cu 9/2 negativ.
Deci ambele valori ale lui x satisfac ecuația.
Încearcă.
9/2 negativ ori 4.
Aceasta va deveni 18 negativ.
18 negativ minus 1 este 19 negativ.
În valoare absolută, obții 19.
Pune un 5 aici, 4 ori 5 este 20.
Minus 1 este 19 pozitiv.
Aplică valoarea absolută.
Din nou, o sa primești un 19.
Hai să încercăm să facem graficul uneia din ele, doar de distracție.
Deci hai să spunem că am y este egal cu
valoarea absolută a lui x plus 3.
Deci aceasta este o funcție, sau un grafic, conținând
o valoarea absolută.
Hai să ne gândim la două scenarii.
Un scenariu este când lucrul din interiorul valorii
absolute este pozitiv.
Deci avem scenariul unde x plus 3 -- O să-l scriu
aici -- x plus 3 este mai mare ca 0.
Și mai avem scenariul unde x plus 3 este mai mic decât 0.
Când x plus 3 este mai mare ca 0, acest grafic, sau această linie --
cred că nu putem să o chemăm o linie -- această funcție,
este același lucru ca și y este egal cu x plus 3.
Dacă acest lucru de aici este mai mare ca 0, atunci
semnul valoare absolută este irelevant.
Deci acest lucru este la fel cu y este
egal cu x plus 3.
Dar când este x plus 3 mai mare ca 0?
Păi, dacă scazi 3 din ambele părți, o sa obții
x este mai mare ca 3 negativ.
Deci când x este mai mare ca 3 negativ, graficul funcției
o să arate ca și y este egal cu x plus 3.
Acum, când x plus 3 este mai mic ca 0.
Când situația este aceasta -- interiorul semnului
de valoare absolută -- este negativ, în această situație
ecuația o să fie y este egal cu
x negativ plus 3.
Cum pot să spun asta?
Păi, uite, dacă acesta o să fie un număr negativ, dacă x
plus 3 o să fie un număr negativ -- asta este
ceea ce considerăm aici -- dacă o să fie un număr negativ,
atunci când luăm valoarea absolută a unui număr
negativ, o să-l facem să fie pozitiv.
Asta este ca și cum l-am înmulți cu 1 negativ.
Dacă știm că luăm valoarea absolută a unui număr
negativ, este ca și cum l-am înmulți cu 1 negativ,
pentru că îl facem să fie pozitiv.
Și aceasta o să fie situația.
x plus 3 este mai mic ca 0.
Dacă scădem 3 din ambele părți, când x este mai mic
decât 3 negativ.
Deci când x este mai mic decât 3 negativ, graficul
va arăta așa.
Când x este mai mare decât 3 negativ, graficul va
arăta cam așa.
Deci hai să vedem cum va face
să arate întregul grafic.
Hai să desenez axele.
Asta e axa x, cealalaltă e axa y.
Deci hai să înmulțim ca să o avem sub forma
mx plus b
Deci acesta este egal cu x negativ minus 3.
Hai să ne gândim cum va arăta
acest grafic în general.
x negativ minus 3.
Intersecția cu axa y este 3 negativ, deci 1, 2, 3.
Și x negativ înseamnă că are panta în jos,
are o pantă de valoare 1 în jos.
Deci va arăta așa.
Intersecția cu axa x va fi când x este egal cu--
Deci dacă zici y este egal cu 0, asta se va întâmpla când
x este egal cu 3 negativ
Deci va trece prin acea linie,
chiar prin acel punct.
Și graficul, dacă nu am avea această constrângere
chiar aici, ar arăta cam așa.
Asta dacă nu l-am constrânge într-un anumit interval
pe axa x.
Acum acest grafic, oare cum arată?
Hai să vedem.
Are intersecția cu axa y la 3 pozitiv.
Chiar așa.
Și unde are intersecția cu axa x?
Când y este egal cu 0, x este 3 negativ.
De asemenea trece prin acel punct chiar acolo, și are
o pantă egală cu 1.
Deci va arăta cam așa
Cam așa arată acest grafic.
Acum, ce am aflat este că această funcție valoare
absolută, arată ca și acest grafic violet când x este
mai mic decât 3 negativ.
Deci când x este mai mic decât 3 negativ -- acesta este x egal
cu 3 negativ chiar acolo -- când x este mai mic decât
3 negativ, arată ca acest grafic violet.
Chiar acolo.
Deci asta când x este mai mic decât 3 negativ.
Dar când x este mai mare ca 3 negativ, atunci arată
ca și graficul verde.
Așa arată.
Deci acest grafic arată ca și acest v ciudat.
Când x este mai mare ca 3 negativ, acesta e pozitiv
Deci avem graficul unei -- avem o pantă pozitivă.
Dar când x este mai mic decât 3 negativ, de fapt
luăm funcția negativă, dacă vrei să o privești așa
și deci avem aceasta pantă negativă.
Deci avem această funcție în formă de v, acest
grafic în formă de v, care este specific
funcției valoare absolută.