絶対値方程式

絶対値方程式

絶対値を含む方程式問題をやってみましょう。

ちょっと復習しますが、数字の絶対値を

考えるとき

例えば、-１の絶対値の考えましょう。

絶対値の計算は

０からその数字までの距離を測ることになりますので

-１の場合では、数直線で表すと

あ、絵がへたくそですみません。

これが数直線、ここは０ですね。

-1はここですね。

０から１単位離れています。

つまり、-1の絶対値は１です。

１の絶対値も０から１単位離れていますので、

１に等しいです。

絶対値は０からの距離とのことで

けれど、もっと簡単に説明すると、

絶対値は常にその数字を正にして取り出した数です。

なので、-7,346の絶対値は7,346ですね。

それを覚えて、次の絶対値方程式を

解いてみましょう。

例えば、この方程式。

｜x - ５ ｜= １０

これを解釈すると

ｘと５の間の距離は

１０になります、ということですね。

では、５から１０離れている数字は何個ありますか？

みなさんにはすぐ答えが分かると思いますが

ここでは方程式をゆっくり解いていこうと思います。

この式は二つの場合に成り立ちます。

ｘ－５＝１０か

計算して１０を得て、

それを絶対値にすると

１０を得ることができます。

そして、ｘ－５＝ -１０の場合には、

ｘ－５＝ -10

絶対値にするとまた１０になりますので

つまり、ｘ－５＝ -１０というのも可能です。

どちらの場合でも成り立ちます。

これを解くには

方程式の両辺に５を足して

ｘ＝１５という答えが出ます。

で、こっちを解くには、また両辺に５を足して

ｘ＝ -５という答えが出てきます。

なので、答えとして、xの値は二つ

存在します。

ｘは１５のときだと、

１５－５＝１０、それを絶対値にして

１０になりますね。もしくは、ｘ＝ -５の場合だと

-５-５＝ -10

それを絶対値にすると、また１０になります。

注意して欲しいのは、この二つの数字はどちらも５から

１０、だけ離れているということです。

ではでは、次の問題に移りましょう。

つぎ～の問題っと。

例えばこの問題。

｜ｘ＋２｜＝６

この方程式はどういう意味でしょうか。

それは、絶対値記号の中の “ｘ＋２”が

６に等しいということですね。

もしくは記号の中の “ｘ＋２”は

－６に等しい、ということを意味しています。

この“ｘ＋２”の部分が－６に等しければ

絶対値を取ったら６になります。

なので、ｘ＋２＝ -６

で、この方程式の両辺から２を引くと

ｘ＝４という答えが出ますね。

この方程式の両辺から２を引くと

ｘ＝ -８という答えが出ます。

この二つが方程式の答えです。

覚えて欲しいのは

絶対値は「距離」で

この問題を

｜ｘ- （-２）｜＝６に書き換えることができます。

では、-２から６離れているときの

ｘの数値は何になるでしょうか。

さっきの問題で、５から１０離れているとき

ｘの数値は何だったでしょうか。

どの数字を引いても

５から１０だけ離れなければならないんですよ。

では、-2 から６離れているのは

何でしょうか。

答えは４か -８ですね。

以上の数字を使って試してみてくださいね。

他の問題やってみましょう。

次に行きましょう。紫色で行きましょう。

この絶対値問題｜４ｘ－１｜を

ちょっと書き直します。

４ｘ－１

｜４ｘ－１｜＝…

そのままにしよう。…＝19

先ほどの問題と同じように、４ｘ－１＝…

…＝19

もしくは、４ｘ－１を計算して、 -19を得ます。

絶対値にするということで

また１９を得ます。

もしくは、４ｘ－１＝ -19

そして、この二つの方程式を解いて

この方程式の両辺に１を足して

まあ、同時にやってもいいですね。

この方程式の両辺に１を足して、４ｘ＝ 20になりますね。

で、この方程式の両辺にまた１を足して

４ｘ＝ -18というのが出てきます。

両辺を４で割って、ｘ＝５になります。

で、この方程式の両辺を４で割って

ｘ＝ - 18/4になります。つまり - 9/2ですね。

この二つのｘの値はどちらも方程式を満たせますよ。

やってみましょう。

- 9/2 × ４

- 18になりますね。

-18から１を引いたら -19になります。

で、絶対値にすると、１９を得ることができます。

で、ここに５を入れて、４×５＝２０なので

１を引けば19になります。

で、絶対値にすると

また１９を得られます。

ちょっとグラフを描いてみましょう。

ｙ＝｜ｘ＋３｜という式を

考えてみましょう。

これは絶対値の含んだ

関数、あるいはグラフです。

絶対値記号があるので、２通りに分けて考えてみます。

まずは、絶対値記号の中身が

正のとき。

つまり、えっと、ここに書きますね。ｘ＋３＞０

のときです。

そして、ｘ＋３＜０のとき。

ｘ＋３＞０のときは、関数は

ｙ＝ｘ＋３　と

同じものになるということです。

この｜ｘ＋３｜というものものが＞０だと

絶対値記号が要らなくなってしまうから、

この部分は、ｙ＝ｘ＋３

と一緒だと考えていいです。

では、ｘ＋３＞０のときとは、どういう時でしょうか。

これを判断するには、両辺から３を引いて

ｘ＞－３のとき、ということが分かります。

なので、ｘ＞－３のとき、関数は

ｙ＝ｘ＋３の関数と同じものになります。

では次に、ｘ＋３＜０のときを考えてみましょう。

絶対値記号の中身が負のときは

絶対値記号を外すときに正にする必要があるので

ｙ＝－（ｘ＋３）

となります。

というのも、

ここが負になるとき、つまり　ｘ＋３　が負になるときは、

ここで私たちが仮定しているわけですけども、

この部分が負になるときには

絶対値記号を取り外す際に

正にして取り出さなければなりません。

つまり、－１を掛ければいいんです。

負のものの絶対値記号を外すときは

－１を掛ける、と。

だって（負）×（負）＝（正）ですからね。

そして、こうなります。

ｘ＋３＜０

両辺から３を引くと

ｘ＜－３となりますね。

だから、ｘ＜－３　のとき、関数は

このようになります。

ｘ＞－３のときには、

これですね。

では、実際に二つ合わせたグラフを

描いてみましょう。

軸を描いて、と。

これがｘ軸、そしてこれがｙ軸です。

この式を少し整理して書きなおしてみますね。

カッコをとります。

そうすると、ｙ＝－ｘ－３　となりますね。

では、この式がどのような直線になるか

描いてみましょう。

－ｘ－３なので

ｙ切片は－３ですね、１、２、３、と。

－ｘ　というのは、右下がりに傾き－１の直線

を描きます。

なので、このような感じですね。

ｘ切片を求めるには、

ｙが０のときを考えたらいいので、

ｘ＝－３ですね。

なので、ｙ＝－ｘ－３は、この点と

この点を通ります。

ここにあるｘの条件がなければ、

グラフはこのようになりますよ。

ｘ軸上でのｘの条件が何も

無い場合です。

では、この関数はどうなるでしょうか？

考えてみましょう。

ｙ切片は３ですね。

こんなもんかな。

では、ｘ切片は？

ｙ＝０の時なので、ｘ＝－３　となりますよ。

だから、この直線もこの点を通ることになって

傾きは１です。

こんな感じの直線になりますね。

こんな感じですね。

以上、ここで解いたのは、絶対値を含んだ関数の

グラフで、ｘ＜－３だと

この紫色のグラフになります。

で、ｘ＜－３だと

ここはｘ＝－３ですね。

ｘ＜－３の場合は、この紫色のグラフのようになります。

ここですね。

ｘ＜－３のときはこうなります。

けど、ｘ＞－３だと

緑のグラフになります。

こんな感じです。

このグラフは、このVの形になります。

ｘ＞－３の場合、正数になります。

ここに右上がり傾きのグラフがあります。

けど、ｘ＜－３の場合だと

関数を負数にして

右下がりの傾きを得ることができます。

このようなVの形の関数グラフは

絶対値関数であることを

示している。