絶対値を含む方程式問題をやってみましょう。
ちょっと復習しますが、数字の絶対値を
考えるとき
例えば、-１の絶対値の考えましょう。
絶対値の計算は
０からその数字までの距離を測ることになりますので
-１の場合では、数直線で表すと
あ、絵がへたくそですみません。
これが数直線、ここは０ですね。
-1はここですね。
０から１単位離れています。
つまり、-1の絶対値は１です。
１の絶対値も０から１単位離れていますので、
１に等しいです。
絶対値は０からの距離とのことで
けれど、もっと簡単に説明すると、
絶対値は常にその数字を正にして取り出した数です。
なので、-7,346の絶対値は7,346ですね。
それを覚えて、次の絶対値方程式を
解いてみましょう。
例えば、この方程式。
｜x - ５ ｜= １０
これを解釈すると
ｘと５の間の距離は
１０になります、ということですね。
では、５から１０離れている数字は何個ありますか？
みなさんにはすぐ答えが分かると思いますが
ここでは方程式をゆっくり解いていこうと思います。
この式は二つの場合に成り立ちます。
ｘ－５＝１０か
計算して１０を得て、
それを絶対値にすると
１０を得ることができます。
そして、ｘ－５＝ -１０の場合には、
ｘ－５＝ -10
絶対値にするとまた１０になりますので
つまり、ｘ－５＝ -１０というのも可能です。
どちらの場合でも成り立ちます。
これを解くには
方程式の両辺に５を足して
ｘ＝１５という答えが出ます。
で、こっちを解くには、また両辺に５を足して
ｘ＝ -５という答えが出てきます。
なので、答えとして、xの値は二つ
存在します。
ｘは１５のときだと、
１５－５＝１０、それを絶対値にして
１０になりますね。もしくは、ｘ＝ -５の場合だと
-５-５＝ -10
それを絶対値にすると、また１０になります。
注意して欲しいのは、この二つの数字はどちらも５から
１０、だけ離れているということです。
ではでは、次の問題に移りましょう。
つぎ～の問題っと。
例えばこの問題。
｜ｘ＋２｜＝６
この方程式はどういう意味でしょうか。
それは、絶対値記号の中の “ｘ＋２”が
６に等しいということですね。
もしくは記号の中の “ｘ＋２”は
－６に等しい、ということを意味しています。
この“ｘ＋２”の部分が－６に等しければ
絶対値を取ったら６になります。
なので、ｘ＋２＝ -６
で、この方程式の両辺から２を引くと
ｘ＝４という答えが出ますね。
この方程式の両辺から２を引くと
ｘ＝ -８という答えが出ます。
この二つが方程式の答えです。
覚えて欲しいのは
絶対値は「距離」で
この問題を
｜ｘ- （-２）｜＝６に書き換えることができます。
では、-２から６離れているときの
ｘの数値は何になるでしょうか。
さっきの問題で、５から１０離れているとき
ｘの数値は何だったでしょうか。
どの数字を引いても
５から１０だけ離れなければならないんですよ。
では、-2 から６離れているのは
何でしょうか。
答えは４か -８ですね。
以上の数字を使って試してみてくださいね。
他の問題やってみましょう。
次に行きましょう。紫色で行きましょう。
この絶対値問題｜４ｘ－１｜を
ちょっと書き直します。
４ｘ－１
｜４ｘ－１｜＝…
そのままにしよう。…＝19
先ほどの問題と同じように、４ｘ－１＝…
…＝19
もしくは、４ｘ－１を計算して、 -19を得ます。
絶対値にするということで
また１９を得ます。
もしくは、４ｘ－１＝ -19
そして、この二つの方程式を解いて
この方程式の両辺に１を足して
まあ、同時にやってもいいですね。
この方程式の両辺に１を足して、４ｘ＝ 20になりますね。
で、この方程式の両辺にまた１を足して
４ｘ＝ -18というのが出てきます。
両辺を４で割って、ｘ＝５になります。
で、この方程式の両辺を４で割って
ｘ＝ - 18/4になります。つまり - 9/2ですね。
この二つのｘの値はどちらも方程式を満たせますよ。
やってみましょう。
- 9/2 × ４
- 18になりますね。
-18から１を引いたら -19になります。
で、絶対値にすると、１９を得ることができます。
で、ここに５を入れて、４×５＝２０なので
１を引けば19になります。
で、絶対値にすると
また１９を得られます。
ちょっとグラフを描いてみましょう。
ｙ＝｜ｘ＋３｜という式を
考えてみましょう。
これは絶対値の含んだ
関数、あるいはグラフです。
絶対値記号があるので、２通りに分けて考えてみます。
まずは、絶対値記号の中身が
正のとき。
つまり、えっと、ここに書きますね。ｘ＋３＞０
のときです。
そして、ｘ＋３＜０のとき。
ｘ＋３＞０のときは、関数は
ｙ＝ｘ＋３ と
同じものになるということです。
この｜ｘ＋３｜というものものが＞０だと
絶対値記号が要らなくなってしまうから、
この部分は、ｙ＝ｘ＋３
と一緒だと考えていいです。
では、ｘ＋３＞０のときとは、どういう時でしょうか。
これを判断するには、両辺から３を引いて
ｘ＞－３のとき、ということが分かります。
なので、ｘ＞－３のとき、関数は
ｙ＝ｘ＋３の関数と同じものになります。
では次に、ｘ＋３＜０のときを考えてみましょう。
絶対値記号の中身が負のときは
絶対値記号を外すときに正にする必要があるので
ｙ＝－（ｘ＋３）
となります。
というのも、
ここが負になるとき、つまり ｘ＋３ が負になるときは、
ここで私たちが仮定しているわけですけども、
この部分が負になるときには
絶対値記号を取り外す際に
正にして取り出さなければなりません。
つまり、－１を掛ければいいんです。
負のものの絶対値記号を外すときは
－１を掛ける、と。
だって（負）×（負）＝（正）ですからね。
そして、こうなります。
ｘ＋３＜０
両辺から３を引くと
ｘ＜－３となりますね。
だから、ｘ＜－３ のとき、関数は
このようになります。
ｘ＞－３のときには、
これですね。
では、実際に二つ合わせたグラフを
描いてみましょう。
軸を描いて、と。
これがｘ軸、そしてこれがｙ軸です。
この式を少し整理して書きなおしてみますね。
カッコをとります。
そうすると、ｙ＝－ｘ－３ となりますね。
では、この式がどのような直線になるか
描いてみましょう。
－ｘ－３なので
ｙ切片は－３ですね、１、２、３、と。
－ｘ というのは、右下がりに傾き－１の直線
を描きます。
なので、このような感じですね。
ｘ切片を求めるには、
ｙが０のときを考えたらいいので、
ｘ＝－３ですね。
なので、ｙ＝－ｘ－３は、この点と
この点を通ります。
ここにあるｘの条件がなければ、
グラフはこのようになりますよ。
ｘ軸上でのｘの条件が何も
無い場合です。
では、この関数はどうなるでしょうか？
考えてみましょう。
ｙ切片は３ですね。
こんなもんかな。
では、ｘ切片は？
ｙ＝０の時なので、ｘ＝－３ となりますよ。
だから、この直線もこの点を通ることになって
傾きは１です。
こんな感じの直線になりますね。
こんな感じですね。
以上、ここで解いたのは、絶対値を含んだ関数の
グラフで、ｘ＜－３だと
この紫色のグラフになります。
で、ｘ＜－３だと
ここはｘ＝－３ですね。
ｘ＜－３の場合は、この紫色のグラフのようになります。
ここですね。
ｘ＜－３のときはこうなります。
けど、ｘ＞－３だと
緑のグラフになります。
こんな感じです。
このグラフは、このVの形になります。
ｘ＞－３の場合、正数になります。
ここに右上がり傾きのグラフがあります。
けど、ｘ＜－３の場合だと
関数を負数にして
右下がりの傾きを得ることができます。
このようなVの形の関数グラフは
絶対値関数であることを
示している。